第八章 特征值问题的计算方法1
特征值计算方法
y2
=
Au1
=
⎡151 / 13⎤
⎢ ⎣
25
/
13
⎥ ⎦
=
⎡11.6154⎤
⎢ ⎣
1.9231
⎥ ⎦
,
u2
=
y2
max( y2 )
=
⎡1⎤ ⎢⎣25 /151⎥⎦
=
⎡1⎤ ⎢⎣0.1656⎥⎦
μ2 = max( y2 ) = 151/13 = 11.6154 --------------------------------------------（6 分）
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
1⎥⎦
⎡2.236068
A1
=
R1 A0 R1T
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣0.525731
0 −2.236068 0.850651
0.525731⎤ 0.850651⎥⎥ ，-------------------------（10 分）
3 ⎥⎦
⎡0.850651
H1T
=
H
T 0
R1T
五、（12 分）
解：（1）因为 w = x + v = x + Hx = 2x − 2(uT x)u ，则
wT u = [2 xT − 2(uT x)uT ]u = 2 xT u − 2(uT x)uT u = 0 。----------------------------（3 分）
⎛0⎞
（2）由 Hb = (0
=
IR1T
=
⎢⎢0.525731
⎢⎣ 0
−0.525731 0.850651
0
0⎤ 0⎥⎥ （列存放相应的特征向量）， 1⎥⎦
矩阵特征值与特征向量的计算_OK
n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0
的根.
A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通
过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，
“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
可得
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11 m ax (11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
i
(
i 1
)
k
i
)
7
i2
所以
8.1.1 幂法
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
max(11
i
(
i 1
)
k
i
)
lim
k
xk
11 max (11 )
i2 1
max (1 )
y=x/max(x)为向量x例的如规,范设化向向量量x=. (2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-
0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.
幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
yk
Axk1
mk max(yk ) xk yk / mk , k 1,2,3,
1 1 1 1
n
n1
n2
1
对应的特征向量为ξn, ξn-1,…, ξ1.
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
上页 下页
定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
Chapter 8特征值问题的计算方法
ɶ ɶ ɶ ɶ Qm+1Rm+1 = AQmRm
ɶ R = A2Q R = ⋯= AmQ R = Am+1 ɶ ɶ Qm+1 ɶm+1 m−1 m−1 1 1
即A
m
ɶ ɶ = QmRm
QR方法的收敛性 方法的收敛 收敛性
方法的收敛性质） 收敛性质 （ Th8.4.1 QR方法的收敛性质） 设 A 的特征值满足 λ1 > λ 2 > ⋯ > λ n > 0 ，且 Y 的 左特征向量 向量； 分解， 第i行是 A 对应于 λi 的左特征向量；若 Y 有 LU分解， 行是 则由QR迭代算法产生的矩阵 Am = [a 下的元素趋于0， 下的元素趋于 ，同时对角元素 a
∗ 其中A2 = α 2 ∗ ɶ A3
1 0 ɶ 令 H2 = ˆ 0 H 2
∗ 1 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ ɶ ɶ H2 A2 H2 = = ˆ ɶ 0 H ˆ AH ˆ ˆ H2α2 H2 ɶ3 ˆ 2 0 H2 α2 A3 2
第八章 特征值问题的计算方法
/*Computational Method of Eigenvalue Problem*/ 本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。 本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。 特征值 的计算方法
§1 基本概念与性质
特征值和特征向量的基本概念与性质 特征值和特征向量的
1 0 令 H2 = ɶ 0 H 2
∗ ∗ ɶ ɶ H2 A2 H2 = ˆ ˆ ɶ ˆ H2α2 H2 A H2 3
det(λ I − A) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) ...(λ − λ p ) 其中 n1 + n2 + ... + np = n; λi ≠ λ j (i ≠ j )
第8章特征值问题的计算方法
第8章特征值问题的计算方法第8章特征值问题的计算方法本章中讨论求n 阶实矩阵的特征值的数值方法。
8.1 基本概念与性质设A 是n 阶方阵，若数λ和非0向量x 满足：x Ax λ=则λ称为A 的特征值，x 称为A 的对应于λ的特征向量。
A 的特征值的全体()A λ称为A 的谱集。
n 次多项式方程()0det =?A I λ称为A 的特征方程，()A I ?λdet 称为A 的特征多项式。
8.2 幂法矩阵的模最大的特征值称为主特征值。
幂法可用于求矩阵的主特征值及其相应的特征向量。
设n 阶方阵A 有有n 个线性无关的特征向量。
设j j j x Ax λ=,j=1..n,其中j λ是A 的特征值，设A 的主特征值1λ是实数且是单重，n λλλ≥≥>L 21.特征向量乘以非0常数仍然是特征向量，故可增加约束，只求范数为1的向量。
设v 0是任意一个非0向量，则v 0可惟一地表示成n 个特征向量的线性组合，设∑==ni i i x v 10α,假设01≠α，令01v A Av v k k k ==?,则111211111~x x x x v k n i i ki i k ni i k i i k αλλλααλλα+==∑∑==，∞→k ，当k>>1时,11?≈k k v v λ,11λ→?k k v v ，1x v v k k →。
为避免计算机出现上溢或下溢现象，在每步计算中将v k 规格化。
111??≈=k k k v Av u λ，k k k m u v =,，k=1,2,…… 则 1x v k →，()()()111111,,,≈=k k k k k k v v v Av v u λ())1111,,≈k k k k v v v u λ若取2kk u m =(k=0,1,2,…)，则()11,?≈k k v u λ，简化了运算。
算法8.1功能：用幂法求矩阵主特征值。
形参：阶数n,矩阵A,特征向量v,误差限e,迭代次数上限m ，主特征值L. 条件：计算前v 是初始近似值，非零。
求解特征值的方法技巧
求解特征值的方法技巧求解特征值是线性代数中的一个重要问题，它在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论求解特征值的方法和技巧。
特征值的定义是在线性代数中非常基础的概念。
对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个标量（实数或复数），则λ称为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量之间具有一一对应的关系。
1. 特征多项式法：特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。
对于一个n×n的矩阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = |A-λI| = det(A-λI)其中，I是n×n单位矩阵，det表示行列式。
特征多项式的根就是矩阵A的特征值。
通过计算特征多项式的根，我们可以求解矩阵A的所有特征值。
2. 幂法：幂法是求解矩阵特征值中的最大特征值的一种有效方法。
它的基本思想是通过反复迭代使一个向量v不断与矩阵A相乘，直到收敛到矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = Av0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最大特征值对应的特征向量。
3. 反幂法：反幂法是求解特征值中的最小特征值的一种方法。
它与幂法的思想相似，只是在每一次迭代中，需要对向量进行归一化处理。
具体步骤如下：1) 选择一个任意非零向量v0；2) 计算v1 = (A-1)v0；3) 对v1进行归一化处理，得到v1' = v1 / ||v1||；4) 重复步骤2和3，直到v收敛到A的最小特征值对应的特征向量。
4. QR算法：QR算法是一种迭代算法，用于计算矩阵的所有特征值。
它的基本思想是通过反复进行QR分解将矩阵A转化为上三角矩阵，使得其特征值可以从对角线上读出。
具体步骤如下：1) 将矩阵A进行QR分解，得到A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵；2) 将上一步得到的R矩阵再进行QR分解，得到新的矩阵A1=Q1R1；3) 重复步骤2，直到A收敛到上三角矩阵。
特征值的计算
特征值的计算
特征值（eigenvalues）是矩阵的一个重要概念，在线性代数和矩阵理论中广泛应用。
特征值用于描述线性变换在某些方向上的放大或缩小的程度。
要计算一个矩阵的特征值，可以按照以下步骤进行：
1. 假设A 是一个n ×n 的矩阵，要计算它的特征值。
2. 定义单位向量x，即||x|| = 1。
3. 假设λ是A 的特征值，x 是对应的特征向量。
4. 根据特征值和特征向量的定义，有A x = λx。
5. 将上述等式重写为(A -λI) x = 0，其中I 是n ×n 的单位矩阵。
6. 上述等式对应一个齐次线性方程组。
为了使方程组有非零解，必须满足行列式|A -λI| = 0，即特征方程。
7. 解特征方程，计算行列式|A -λI| 的根，即特征值λ的值。
8. 对于每个特征值λ，求解线性方程组(A -λI) x = 0，得到对应的特征向量x。
需要注意的是，特征值和特征向量通常是成对存在的。
一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。
特征值的计算可以使用数值计算方法，如雅可比迭代、幂迭代、QR分解等。
这些方法可以通过迭代过程逼近矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵地特征值与特征向量地数值解法某些工程计算涉及到矩阵地特征值与特征向量地求解 .如果从原始矩阵出发，先求 出特征多项式，再求特征多项式地根，在理论上是无可非议地•但一般不用这种方 法,因为了这种算法往往不稳定•常用地方法是迭代法或变换法•本章介绍求解特 征值与特征向量地一些方法•§ 1乘幂法乘幕法是通过求矩阵地特征向量来求特征值地一种 迭代法，它适用于求矩阵 地按模最大地特征值 及对应地特征向量.b5E2RGbCAP 定理8 • 1设矩阵Ai x n 有n 个线性无关地特征向量 X<i=1,2,…,n ）,其对应地特征 值入 i （i =1,2,…,n> 满足 plEanqFDPw|入1|>|入2|三…三|入n |则对任何n 维非零初始向量 乙,构造Z k = AZ k-1（k=1,2.其中（Z k >j 表示向量Z<地第j 个分量. 证明：只就入i 是实数地情况证明如下 因为A 有n 个线性无关地特征向量X,<i = 1,2,用X<i = 1,2, …,n ）线性表示，即Z 0=a 1X 1 + 用A 构造向量序列｛Z k ｝其中由矩阵特征值定义知 AXm i X(i=1,2,…,n>,故Z k 二A k Z^ ：1A k X^ ： 2A k X 2nA kX n 「T ；X1 *〉2'；X2- :'n'n Xn同理有li m (ZQ j_______________ <22?=■ 1<8 • 1) Z 1 二 AZ 0,乙二 AZ= A^Z。
,川，Zk-AZ kj-A Zo(8・2>- k' nkTX ii zz2-nJ 2-7k -AZk」=人X ii =2<A1」<8.3)<8.4 ),设a 1工0,并且注意到…,n )所以任何非零向量Z o 都可 a 2茨 + …+a nX <a 1 工 0) DXDiTa9E3d将<8.3 ）与<8.4 ）所得乙及Z k-1地第j个分量相除| 入i|<| 入…,n> 得RTCrpUDGiT1|(i=1,2,定理8 • 1地证明过程实际上是给出了矩阵地按模最大特征值地计算方法:1） 先任取一非零向量Z 0, 一般可取Z o =（1,1,1> T； 2） 按<8.2 ）式计算 乙=AZ -i （k=1,2,…>;3）当K足够大时,即可求出詔;=6为了减少"1对于所选地第j个分量地依赖性，还可用各个分量比地平均值来代替，即关于对应于入1地特征向量地计算：由<8.1 ）知，当k 充分大时,Z k =入1Z k-1,又由迭代式 Z k = AZ k-1,可知AZ k-1 =入1Z k-1故 由特征值定义知 Z k-1即为入1对应地特征向量，或Z k =入1Z k-1为入1对应地特征向 量.5PCzVD7HxA这种求矩阵地按模最大特征值及其对应特征向量地方法称为 乘幕法. 应用乘幕法计算A 地按模最大特征值入1和对应特征向量时，由<8.3）易知Z k = *-n厲入+送码J y1X ii 2当|入1|>1或|入1|<1时,Z k 中不为零地分量将会随 K 地增大而无限增大，或随K 地 「 ------------ 增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢” .为了克服这个缺点，一」无 穷 常将迭代向量 乙先规范化，然后再计算，具体做法是:jLBHrnAILg 一，一用max （Z>S 示向量Z k 地绝对值最大地分量，任取一初始向量Z o =a 1X 1+ a 汎+…+ a n X^V a 1工0）构造与<8.2 ）对应地向量序列.xHAQX74J0XAZ o由<8.3）可知Yk = maZk A kZ o max A kZ o max n:X 亠1 1 j ii =2X inM • r ii -2X i丿丿(k tmax X i<8.7J 二 AYA 2Z omax AZ0J 'max 乙max AZ oA 2Z 。
矩阵特征值问题的数值计算
矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。
结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。
（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。
结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。
（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。
但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。
二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
第八章 特征值问题
n
| x p | ¹ 0 ，因此
a p k xk
k 1, k p
k 1, k p
n
| a p k | | xk |
| xp |
从而
n
| a p k | | x p | Rp
| app | Rp
例 5
矩阵
骣 5 0.8 20 琪 A = 琪 10 1 4 琪 琪 琪 2 10i 1 桫
工程计算中，求解特征值问题 的特征对 ( , x ) 时，由于数据往往带有误差， 因此我们计算出的特征对 ( , x ) ，实际上是 扰动后的特征值问题
Ax x
xx A
的解。这里 A A E, E ( i j )
我们希望知道矩阵元素的变化对特征对的影响。 | 或j | ||的某个上界， i E || 由于我们一般只知道 因此有必要研究如何利用这样的上界，尽可能 x 准确地估计 与 、 与 x之间的差距，从 而可确定特征值问题的稳定性。 由于矩阵的特征多项式的系数是矩阵元素的连 续函数，而多项式的根都是其系数的连续函数， 因此矩阵的特征值作为特征多项式的零点都连 续地依赖于矩阵的元素。因此矩阵元素的连续 变化时，必有对应特征值的连续变化。
骣 5 0.4 20 琪 B = D- 1 AD = 琪 10 0.5 4 琪 琪 琪 4 10i 2 桫
三个行Gerschgorin圆分别收缩为：
G1¢( A) = { z ? C | z 20 | G2¢( A) = { z ? C | z 10 | G3¢( A) = { z ? C | z 10i |
i , j 1 i j
n
三、特征值的界
首先，根据矩阵 A 的Cartesian分解，有
第八章矩阵特征值
第八章矩阵特征值8.1特征值的定义在线性代数中，一个n阶方阵A的特征值（Eigenvalue）是指一个标量λ，使得下面的等式成立：Ax=λx其中x是一个非零的n维向量，被称为对应于特征值λ的特征向量（Eigenvector）。
特别地，一些情况下，我们有:AX=λX。
这是一个常见的特殊情况，被称为多重特征值（Multiple Eigenvalues）。
8.2特征值与特征向量的求解我们可以通过以下方式求解矩阵的特征值与特征向量。
1.设A是一个n阶方阵，特征值为λ，特征向量为X，我们有AX=λX。
2.将等式重写为AX–λX=0，再移项得到(A–λI)x=0。
3.构造(A–λI)矩阵，其中I是单位矩阵。
4.解方程组(A–λI)X=0，求解零空间的基础解系（基础特征向量）。
5.基础特征向量的线性组合即为所有特征向量。
8.3特征值的性质矩阵的特征值具有一些性质，包括：1.特征值的个数等于矩阵的阶数。
一个n阶矩阵A最多有n个不同的特征值。
2.特征值的乘积等于矩阵的行列式。
即特征值λ1，λ2，…，λn与矩阵A的特征多项式p(λ)=，A-λI，的系数关系为λ^n+a_{n-1}λ^(n-1)+…+a_1λ+a_0。
3.特征值的和等于矩阵的迹。
即矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn 满足λ1+λ2+…+λn=Tr(A)，其中Tr(A)为矩阵A的迹（对角线上元素之和）。
4.特征值与行列式的关系。
矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn都满足，A-λI，=0，即他们是矩阵A的特征方程的根。
8.4矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，将其转化为对角矩阵的过程。
对角化的主要目的是将矩阵的运算简化为对角矩阵的运算，从而更易于求解。
一个n阶方阵可以对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量数量等于A的阶数。
通过对角化，可以将矩阵A表示为：A=P^(-1)DP其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，P的列向量是A的特征向量。
特征值的求法
特征值的求法
特征值是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述矩阵的某些重要性质。
对于方阵，特征值可以通过求解特征多项式得到。
以下是特征值的基本求法：
1.写出矩阵A的特征多项式f(λ)。
对于n阶矩阵A，其特征多项式为f(λ)=|λE-A|，其中E是n阶单位矩阵。
2.求解特征多项式f(λ)=0的根，这些根就是矩阵A的特征值。
这个方程的解可能是一个或多个实数，也可能是复数。
3.对于每个解出的特征值λ，求解齐次线性方程组(λE-A)x=0的非零解x，这个解x就是对应于特征值λ的特征向量。
以上步骤是求解特征值和特征向量的基本方法。
需要注意的是，对于具体的矩阵，可能需要根据其特点选择合适的求解方法，例如对于大型稀疏矩阵，可能需要使用迭代法等数值方法求解特征值和特征向量。
此外，对于一些特殊的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵等，其特征值和特征向量具有一些特殊的性质，可以利用这些性质简化求解过程。
以上信息仅供参考，如需更多信息，建议查阅线性代数相关书籍或咨询专业教师。
特征值求法
kp 2(k 0为任意的常数).
例9
求矩阵
A
3 2
1 0
1 1
的特征值与
特征向量。 6 3 2
解 A的特征多项式为
3λ 1
1
A λ E 2 λ
1 (λ 1)(λ 1)2,
6 3 2λ
A的特征值为λ 1 1,λ 2 λ 3 1.
解得基础解系
p2
1
0,p3
0 1 .
p2,p3
就是A的属于特征值
2
1
λ 2 λ 3 1的特征向量，A的对应于 λ 2 λ 3 1
的所有特征向量为 k1p2 k 2p3(k1,k 2不同时为零).
在例9中，1是A的2重特征根，A对应于特征值 1的线性无关的特征向量有两个，即 (A λ E)x 0 的基础解系，由两个解向量组成，
解 因 B A3 5A2 φ(A), 故 φ(λ ) λ3 5λ2, 于是矩阵B的特征值分别为 φ(1) 4, φ(1) 6,φ(2) 12.
定理3 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
证 用数学归纳法证明。
由于特征向量是不为零的，所以单个特征向量必 然线性无关。
现在设属于m个不同特征值的特征向量线性无关， 下面证明属于m+1个不同特征值 λ 1,λ 2,,λ m的特 征向量 p1,p2,,pm也线性无关。
假设有等式 k1p1 k 2p2 kmpm k p m1 m1 0
(1)式两端左乘A 可得：
(1)
A(k1p1 k 2p2 kmpm k p m1 m1) 0
特征值解法
《结构动力学》大作业结构大型特征值问题的求解0810020035 吴亮秦1振动系统的特征值问题1.1实特征值问题n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为：[]{}[]{}()M u K u F t += （1.1）其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。
此系统的自由振动微分方程为[]{}[]{}0M u K u += （1.2）设其主振型为： {}{}sin()u v t ωϕ=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，ϕ为初相位。
将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得：[]{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2λω=，(1.4)具有非零解的条件是()[][]det 0M K λ-= (1.5)式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。
因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解：[][][]TM L L = (1.6)其中，[]L 是下三角矩阵。
引入向量{}x 满足：{}[]{}Tx L v =，则：1{}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得：([][]){}0I P x λ-= (1.8)其中，()11[][][][]TP L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。
1.2复特征值问题多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组：[]{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。
第八章特征值问题的计算方法1精品PPT课件
则( A) G1( A) G2( A) Gn( A)
Th8.1.4（谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/
设 A R为n对n 称矩阵，则存在正交矩阵 Q Rnn
使得 QT AQ diag(1, , n )
其特征多项式为：
1.5 0.5 A 0.5 1.5
det(
A
I
)
det
1.5 0.5
0.5
1.5
1 0
0 1
2
3
2
于是得到两个特征根分别为： 2, 1
对应的特征向量分别为：
1
1
x 1
x
1
若取初始向量为：
0
x0
1
先做xk+1=A*xk迭代，并计算|| xk+1 || / || xk || 可发现
10 511.5, 512.5 1.998
但xk 的绝对值越来越大， xk / || xk ||即为对应特征 向量[1;1]
11 12 13
1023.5, 1024.5 1.9990 2047.5, 2048.5 1.9995 4095.5, 4096.5 1.9998
考虑对每次迭代结果归一化， 若做如下迭代：xk+1=A*xk / || A*xk ||
对应的特征向量分别为：
1
i
x
i
x 1
一般的，对矩阵A， 其特征多项式可表示为
det( I A) ( 1)n1 ( 2 )n2 ( p )np 其中 n1 n2 np n;i j (i j)
称 ni 为i 的代数重数（简称重数）； mi n rank(i I A) 为i 的几何重数。
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k xk
1 0.5, 1.5 2 1.5, 2.5 3 3.5, 4.5 4 7.5, 8.5 5 15.5, 16.5
|| xk+1 || / || xk ||
1.50000000000000 1.66666666666667 1.80000000000000 1.88888888888889 1.94117647058824
x
1
i
x
i 1
一般的，对矩阵A， 其特征多项式可表示为
det( I A) ( 1)n1 ( 2 )n2 ( p )np
其中 n1 n2 np n;i j (i j)
称 ni 为i 的代数重数（简称重数）； mi n rank(i I A) 为i 的几何重数。
mi
ni
Def 2设 A C，nn 对于矩阵 A 的特征值 i ，如果
mi ni ，则称该特征值 i为 A 的一个半单特征值。
若A的所有特征值都是半单的，则称 A是非亏损的。
A是非亏损的等价条件是 A有n个线性无关的特征向量
Def 3设 A, B ，C nn 若存在矩阵P ，使得 B P1AP
则称 A 和 B 是相似的。
其重数分别为 ni (i 1, , r) ，则一定存在非奇异矩阵
P C nn使得 P 1AP diag(J (1), J (2 ), , J (r )) J
其中J(i ) diag(J1(i ), , , Jki (i ))Cnini ;1 i r
i 1
J
j
(i
)
i
且除了 J j (i ) 的排列
14 8191.5, 8192.5 1.9999 则有xk 收敛到对应的特征向量，
相似矩阵有相同的特征值
设 Ax x Ax x PAP1Px Px
BPx Px
本章QR算法的计算思想：
寻求已知矩阵A的相似矩阵 B ，要求： 矩阵B 的特征值和特征向量容易计算
关于矩阵相似，有后面的结论
Th8.1.1（Jordan分解） 设 A C，n有n r个互不相同的特征值 i (i 1, ，, r)
Gi ( A) {z C : z aii aij };i 1, , n ji
则( A) G1( A) G2( A) Gn( A)
Th8.1.4（谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ 设 A R为n对n 称矩阵，则存在正交矩阵 Q Rnn
使得 QT AQ diag(1, , n )
10 511.5, 512.5 1.99805068226121
但xk 的绝对值越来越大， xk / || xk ||即为对应特征 向量[1;1]
11 12 13
1023.5, 1024.5 1.9990 2047.5, 2048.5 1.9995 4095.5, 4096.5 1.9998
考虑对每次迭代结果归一化， 若做如下迭代：xk+1=A*xk / || A*xk ||
其中1, , n 是 A 的n个特征值。
Th8.1.5（极大极小定理） 设 A R为n对n 称矩阵，且 的特A征值为
1 2 n
则有i
max min
in 0u
uT Au uT u
uT Au
min max
nni1 0u
uT u
其中
n k
表示
R
n中所有k维子空间的全体。
Th8.1.6（Weyl定理） 设 A, B 为R对n称n 矩阵，其特征值分别为
矩阵A的特征根模的最大值称为矩阵A的谱半径：
( A) max{| |: ( A)}
例8.1 求矩阵A的特征根与特征向量
3 1
特征多项式为： A 1
3
det(
A
I
)
det
3 1
1
3
1 0
0
1
det
3
1
1
3
(3 )(3 ) 1 2 6 8
( 2)( 4)
第八章 特征值问题计算
§1 基本概念与性质
一、特征值和特征向量的基本概念与性质
( A)
Def 1 设 A C，n若n 存在向量 x 和C复n数 满足 Ax x，则称 是矩阵 A的特征值，x是特征值
相应的特征向量。
det( I A) 0
特征多项式 pA( ) det( I A) 的根的集合：谱集
次序外，J 是唯一的。
1
i
J称作 A 的Jordan标准型
Th8.1.2（Schur分解） 设 A C，n则n存在酉矩阵
U C，nn使得：
U H AU T
其中T是上三角矩阵，且适当选择 U，可使 T的元素
按任意指定的顺序排列。
Th8.1.3（圆盘定理）/*Disc Theorem*/ 设 A (aij )，C令nn
1 2 n; 1 2 n
则有 i i
A B ;i 1, 2, 2
,n
注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到，
本身必然存在误差，不妨假设 B A A
i i
A ;i 1, 2, 2
,n
说明：对称矩阵的特征值总是良态的。
例8.3求矩阵A的特征根与特征向量
其特征多项式为：
1.5 0.5 A 0.5 1.5
于是得到两个特征根分别为： 2, 4
对应的特征向量分别为：
1
1
x 1
x
1
例8.2 求矩阵A的特征根与特征向量
特征多项式为：
0 1 A 1 0
det(
A
I
)
det
0 1
1 0
1 0
0
1
det
1
1
2 1
于是得到两个特征根分别为： i, i
对应的特征向量分别为：
det(
A
I
)
det
1.5 0.5
0.5 1.5
1 0
0 1
2
3
2
于是得到两个特征根分别为： 2, 1
对应的特征向量分别为：
1
1
x 1
x
1
若取初始向量为：
0
x0
1
先做xk+1=A*xk迭代，并计算|| xk+1 || / || xk || 可发现
|| xk ||表示的分量模长的最大值，即取无穷范数
结果表明|| xk+1 || / || xk ||收敛到最大特征 根， xk 收敛到对应 的特征向量。
6 31.5,32.5
1.96969696969697
7 63.5,64.5
1.98461538461538
8 127.5, 128.5 1.99224806201550
9 255.5, 256.5 1.99610894941634