第6章 板壳弯曲问题的有限单元法√

单元的节点位移为
{ }e [{1}T
节点荷载为
{ 2 }T
{ 3}T
{ 4 }T ]T
Vi {Fi } M xi (i 1,2,3,4) M yi
单元的节点荷载为
{F}e [{F1}T {F2 }T {F3}T {F4 }T ]T
取位移函数为
将单元四个节点的坐标分别代入前三式后，可得12个关于αi 的 方程组，求解后代回(7)式，令
i , i 为节点的坐标值，则
( x x0 ) / a,
( y y0 ) / b
w [ N1 ]{1} [ N 2 ]{ 2 } [ N 3 ]{ 3} [ N 4 ]{ 4 } [ N ]{ }e (8)
2
3 势能泛函与有限元模式 板的势能泛函可写成
Π

e
Π
e

e
1 2
e
{ }T [ D]{ }dxdy w )ds n (11)


e
pwdxdy

s1e
(Vn w M n
将(10)式代入(11)式得
Π

{
e
1 2
e
({ }e ) T [ B]T [ D][B]{ }e dxdy
位移连续性问题。 在 ij 边上，y=const，
w A1 A2 x A3 x 2 A4 x 3
共有四个参数，可由ij边两端节点的位移参数 w w wi， ( ) i ，w j， ( ) j x x 唯一确定，因此在相邻单元的公共边界上，位移w及其切向导数 是连续的。 再来看法向导数。法向导数 w / n（即w / y） 为
w v z y
(2)
这就是薄板弯曲问题的克希霍夫(Kirchhoff)假设，使用克希霍夫 假设计算的板称为克希霍夫板。
将用 w 表示的位移 u ,v 代入几何方程
x 2w { } y z 2 x xy w y 2
无侧移 薄板中面内各点都没有平行于中面的侧向位移，即
(u) z 0 0,
(v) z 0 0
结合几何方程可知，中面内形变分量均为零,即
( x ) z0 0, ( y ) z0 0, ( xy ) z0 0.
从上述的附加假设出发，可以将位移u、v用w表示。推导得
w u z, x
2 位移模式 将矩形薄板沿坐标方向划分为若干矩形单元，每个单元设有四 个节点，每个节点有三个位移分量，即挠度 w，绕y轴转角θx, 绕 x 轴转角θy。即
wi wi { i } xi (w / y ) i (i 1,2,3,4) (w / x) i yi (6)
2
T
(10)
[ B]{ }e
这里的[B]称为应变矩阵
[ B] [ Bi Bj Bm Bp ]
T
第i个子矩阵[Bi]为
2w [ Bi ] 2 2 a w 2 2 b
2
w 2 [ N i ] (i i, j, m, p) ab
其中称[N]为形函数矩阵，第i个子矩阵为
[ Ni ] [ Ni
N xi
N yi ]
2 2 N i (1 i )(1 i )(2 i i ) / 8 2 [ N i ] N xi bi (1 i )(1 i ) (1 i ) / 8 2 N a ( 1 ) ( 1 )( 1 ) / 8 xi i i i i
w x , y w y ． x
如果将位移模式仍然取为多项式，要求在全域内位移及一阶导 数连续，这等价于在单元边界上要保证位移及一阶导数连续， 因此在单元结点上必须保证位移及一阶导数连续，即应选取三 个结点位移参数
wi wi { i } xi (w / y ) i (w / x) i yi
w w( x, y)
(1)
直法线 变形前垂直于中面的直线 段，变形后仍为直线，且仍然垂直 于弯曲后的中面。这意味着yz和zx 平面内的剪应变为零
zx yz
u w 0, z x w v 0 y z
从而得：
u w v w , z x z y

e
p[ N ]{ }e dxdy (12)
(Vn [ N ] M n (l m )[ N ]){ }e ds} s1e x y

按最小势能原理
Π { } { }

e
Πe 0
(13)
将(12)式代入(13)式得

e
e
[ B]T [ D][B]dxdy{ }e
最大应力发生在薄板的上下表面
{ } z h / 2
2 弹性薄板的几点简化 应力分量的减少
z 0
应变分量的减少
zx 0， yz 0
w v z x z y
位移之间有了附加关系
w w w( x, y ), u z y z, x 应力应变关系的简化
[D0]是平面应力问题的物理矩阵．薄板内力
M x h/2 h3 {M } M y z{ }dz [ D0 ]{ } [ D]{ } 12 M -h/2 xy

(5)
[D]是板的弯曲刚度矩阵．显然
12 z { } 3 {M } h
6 2 {M } h
第6章 薄板弯曲问题的有限单元法
薄板弯曲问题的基本方程 2. 薄板弯曲问题的非协调矩形单元 3. 非协调三角形板单元 4. 薄板弯曲问题的协调元
1.
6.1 薄板弯曲问题的基本方程
1 弹性薄板的基本假设（克希霍夫假设） 无挤压 薄板弯曲时，平行于中面的各层面之间无挤压。这意 味着薄板弯曲后厚度保持不变，因此可取 z w / z 0 。显 然挠度w只是x,y的函数：
2
w 2 z{ } xy
2
T
(3)
这里，记{ } 为
w w w { } 2 2 2 xy y x
2 2 2 T
(4)
称为薄板的广义应变分量。
薄板中的应力
x E { } y 2 1 xy 1 0 0 x 1 0 y [ D0 ]{ } z[ D0 ]{ } 1 0 xy 2
由以上讨论和进一步的研究可以得出结论，仅规定位移 w及其 一阶导数 w / x，w / y 作为节点位移参数时，取位移模式 为简单多项式，要保证单元边界上位移 w的法向导数连续是不 可能的，常称这样的单元为不完全协调元。不完全协调元的位 移模式只满足了“收敛准则”的完备条件，而未满足协调条件。 有关其收敛性的问题需要再讨论。但是计算实践表明，这里所 给出的不完全协调四节点矩形单元的计算结果是收敛的．
将只要求函数本身连续的问题称为C0问题，如弹性力学平面问 题；将不但函数本身，还要求其一阶导数连续的问题称为C1问 题，如薄板弯曲问题。
如果取四节点单元，则取位移函数为
w 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 7 x 3 8 x 2 y 9 xy 2 10 y 3 11x 3 y 12 xy 3
w / s（即w / x）
w B1 B2 x B3 x 2 B4 y 3 y
仍有四个参数，但是节点参数只有两个 ， （w / y） , w / y） i（ j 无法唯一确定法向导数。也就是说，在两个相邻单元的公共边 界上，位移模式w的法向导数 w / n 并不相同。
两个四次项的选取，保证了在单元边界上，即x=const，y=const 时，位移是三次多项式。
w( x, c) 1 2 x 3c 4 x 2 5 xc 6 c 2 7 x 3 8 x 2 c 9 xc 2 10c 3 11x 3c 12 xc 3 A1 A2 x A3 x 2 A4 x 3 w(d , y ) 1 2 d 3 y 4 d 2 5 dy 6 y 2 7 d 3 8 d 2 y 9 dy 2 10 y 3 11d 3 y 12 dy 3 B1 B2 y B3 y 2 B4 y 3
x E y 2 1 xy 1 0
0 x 1 0 y 1 0 xy 2
6.2 矩形薄板单元
1 薄板弯曲问题节点位移参数的选择 采用克希霍夫假设后， 薄板的变形状态完全由一个变量，即中 面挠度 w(x, y) 来确定。然而，在有限元法中只取挠度本身作为 节点位移参数是不够的。 按克希霍夫理论，薄板内部非中面上各点的位移 (u,v,w) 是用相 应的中面点的挠度w(x, y)和该点处中面法线转角θx和θy来表示的 (2式)。因而，为了保证板内位移 (u,v,w) 在整个求解区域内单值 连续，除要求w在全域内单值连续外，还必须要求θx和θy在全域 内也是单值连续的。这里

s1e
(Vn [ N ]T M n (l
得出
Fra Baidu bibliotek
e
[ K ]e { }e

e
{R}e
[ K ]{ } {R}
(15)
4 不完全谐调元的分片检验 前面说明，薄板不完全协调矩形单元的位移插值函数不能满足 “收敛准则”所要求的协调条件，但是计算结果表明是收敛的。 如何判断此种不完全协调元计算结果的收敛性呢? 埃恩斯提出“分片检验”的概念，并指出：位移插值函数能否 通过“分片检验”，是判断不完全协调计算结果是否收敛的充 分必要条件。 “分片检验”的具体做法如下，任意取一个至少有一个内部节 点的，由若干个单元组成的拼片，并且：在内部节点上既不允 许有载荷，也不允许有约束。当把任何一种与常应变状态对应 的节点位移或节点力加到该单元拼片的边界节点上时，用某种 位移插值函数计算得到单元拼片内部的位移符合常应变状态的 条件，则说该位移插位函数能够通过“分片检验”。 经检验表明，前面介绍的不完全协调矩形元能够通过 “ 分片检 验 ”，因而计算结果是收敛的。
T

e
p[ N ]T dxdy (14)
(Vn [ N ] M n (l m )[ N ]T )ds s1e x y

记
[ K ]e {R}e

e
[ B]T [ D][B]dxdy m )[ N ]T )ds x y

e
p[ N ]T dxdy
w 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 7 x 3 8 x 2 y 9 xy 2 10 y 3 11x 3 y 12 xy 3 (7)
在位移函数中，前三项包含了单元的刚体位移状态，二次项代 表了单元的均匀应变状态。可以证明，此位移模式能够保证相 邻单元的公共边界上挠度 w 和转角的连续性。分别求出上式中 对 x,y 的导数
w 2 2 4 x 5 x 3 7 x 2 2 8 xy 9 y 2 311x 2 y 12 y 3 x w 3 5 y 2 6 y 8 x 2 2 9 xy 310 y 2 11x 3 312 xy 2 y
(9)
(i 1,2,3,4)
将形函数(9)代入(3)式，得出
w w w { } 2 2 2 xy y x
2 2 2 T
w 2 2 a
2
w 2 2 b
2
w e 2 [ N ]{ } ab