直线与圆的方程的应用教学设计
《直线和圆的方程》单元教学设计
《直线和圆的方程》单元教学设计一、教学目标：1.理解直线和圆的概念及特征。
2.掌握直线和圆的标准方程和一般方程的求解方法。
3.能够通过已知条件列出直线和圆的方程并解决相关问题。
4.进一步拓展学生的数学思维和解题能力。
二、教学重难点：1.掌握直线和圆的标准方程和一般方程的应用。
2.解决一般情况下的直线和圆的方程的问题。
三、教学内容和步骤：1.直线的方程（1）回顾直线的一般方程Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
（2）讲解直线的斜率和截距的概念，以及与一般方程的关系。
（3）通过示例演示如何根据直线上的已知点和斜率确定直线的方程。
（4）讲解直线的点斜式方程和两点式方程的求解方法，并通过例题进行练习。
2.圆的方程（1）讲解圆的概念、圆心和半径的关系。
（2）介绍圆的标准方程和一般方程的表达形式。
（3）通过相应的示意图让学生理解标准方程（x-a）^2+(y-b)^2=r^2和(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的特点。
（4）通过例题和实际问题引导学生运用标准方程求解圆的方程。
3.直线和圆的方程应用问题解决（1）通过实例演示如何根据已知条件列出直线和圆的方程。
（2）讲解如何解决直线和圆相交和相切的问题，并通过例题进行讲解和练习。
四、教学方法：1.归纳法：通过比较不同形式的直线和圆的方程，归纳出直线和圆的标准方程和一般方程。
2.演绎法：通过具体实例和推导过程让学生理解和掌握直线和圆的方程的求解方法。
3.实践法：通过实际问题的解决让学生将直线和圆的方程运用到实际生活中。
五、教学资源和工具：1.教科书教材。
2. PowerPoint课件。
3.讲台、黑板和粉笔。
六、教学评估和反思：1.教师在课堂上通过练习题、思考题等形式对学生进行提问和检测，以便及时发现学生的问题并进行纠正。
2.教师在课后对学生的作业进行批改，评估学生的掌握程度，并根据学生的表现调整教学内容和方法。
3.教师在教学过程中应及时总结经验，改进教学方法和手段，提高教学效果，使学生能够更好地理解和应用直线和圆的方程。
《直线与圆的位置关系》说课稿(附教学设计)
《直线与圆的位置关系》说课稿一、教材的理解与处理本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。
而解决问题的主要方法是解析法。
解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。
本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。
考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。
二、教学目标确定说明学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。
高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：（1）知识与技能目标：①理解直线与圆三种位置关系。
②掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。
（2）能力目标：①通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。
教学设计2：2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系
2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系教学设计一、教学目标1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 二、教学重难点 1. 教学重点直线与圆的位置关系及其应用. 2. 教学难点直线与圆的方程的应用. 三、教学过程 （一）新课导入思考：直线与圆有哪些位置关系？ （学生自由发言，教师总结） （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. （二）探索新知问题1 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系. （1）直线与圆相交d r ⇔<； （2）直线与圆相切d r ⇔=； （3）直线与圆相离d r ⇔>.问题2 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 先来看例1.例1 已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=，判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l 被圆C 所截得的弦长. 解法1：联立直线l 与圆C 的方程，得22360240x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩①②，消去y ，得2320x x -+=，解得1221x x ==，. 所以，直线l 与圆C 相交，有两个公共点.把1221x x ==，分别代入方程①，得1203y y ==，. 所以，直线l 与圆C 的两个交点是(20)(13)A B ，，，.因此||AB 解法2：圆C 的方程22240x y y +--=可化为22(1)5x y +-=，因此圆心C 的坐标为(01)，，，圆心(01)C ，到直线l 的距离d =所以，直线l 与圆C 相交，有两个公共点.如图，由垂径定理，得||AB ==通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组222()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长. 我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r ，从而求得圆心到直线的距离d ，通过比较d 与r 的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.例2 过点(21)P ，作圆22:1O x y +=的切线l ，求切线l 的方程.解法1：设切线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=.由圆心(00)，到切线l 的距离等于圆的半径11=，解得0k =或43.因此，所求切线l 的方程为1y =，或4350x y --=.解法2：设切线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为1(2)y k x -=-. 因为直线l 与圆相切，所以方程组221(2)1y k x x y -=-⎧⎨+=⎩只有一组解. 消元，得22221(24)440()x k k x k k k ++-+-=.①因为方程①只有一个解，所以222Δ4(12)161)()0(1k k k k k =--+-=，解得0k =或43.所以，所求切线l 的方程为1y =，或4350x y --=.例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度20m AB =，拱高4m OP =，建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱22A P 的高度（精确到0.01 m ）.解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，圆心在y 轴上. 由题意，点P ，B 的坐标分别为(04)(100)，，，. 设圆心坐标是(0)b ，，圆的半径是r ，那么圆的方程是222()x y b r +-=.因为P ，B 两点都在圆上，所以它们的坐标(04)(100)，，，都满足方程222()x y b r +-=. 于是，得到方程组2222220(4)10(0)b r b r ⎧-⎨+-=+=⎩. 解得2210.514.5b r =-=，.所以，圆的方程是222(10.5)14.5x y ++=.把点2P 的横坐标2x =-代入圆的方程，得222(2)(10.5)14.5y -++=，即10.5y +=（2P 的纵坐标0y >，平方根取正值）.所以10.514.3610.5 3.86(m)y ≈-=. 答：支柱22A P 的高度约为3.86 m.例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km 的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km 处，港口位于小岛中心正北30 km 处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？解：以小岛的中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km 为单位长度，则港口所在位置的坐标为(03)，，轮船所在位置的坐标为(40)，.这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为224x y +=. 轮船航线所在直线l 的方程为143x y+=，即34120x y +-=. 联立直线l 与圆O 的方程，得22341204x y x y +-=⎧⎨+=⎩. 消去y ，得22572800x x -+=.由2Δ(72)425800=--⨯⨯<，可知方程组无解.所以直线l 与圆O 相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.（三）课堂练习1. 若直线与圆相切，则的值为( )A.16B.4C.D.16或答案：D解析：圆的方程可化为，则圆心坐标为，.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得或.故选D.2. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是( )A. B. C. D.答案：C解析：易知圆心坐标是，半径是1，直线的斜率存在.设直线的方程为，即，即，解得.故选C.3. 直线1y x=+与圆22230x y y++-=交于A B，两点，则AB=______________.答案：解析：由题意知圆的方程为()2214x y++=，所以圆心坐标为()0,1-，半径为2，则圆心到直线1y x=+的距离d=||AB=.340x y a+-=2240x y x+-=a4-4-22(2)4x y-+=(2,0)2r=(2,0)340x y a+-=r2=16a= 4a=-l()2,0-l222x y x+=k (-(⎛⎝⎭11,88⎛⎫-⎪⎝⎭()1,0l l()2y k x=+ 20kx y k-+=1<218k<k<<4. 点在圆上，则点到直线的最短距离为___________. 答案：2解析：圆心的坐标为，点到直线的距离为，所以所求最小值为.5. 已知圆和点. （1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程； （2）若的两条弦互相垂直，求的最大值. 答案：（1）由题意知点在圆上， 所以，解得.当时，点为，所以， 切线此时切线方程为，即； 当时，点为，所以. 此时切线方程为，即. 综上，所求切线方程为或.（2）设圆心到直线的距离分别为， 则.因为， 所以，所以.N ()()22:539M x y -+-=N 3420x y+-=M ()5,3M 3420x y +-=5d=532d r -=-=22:4O x y +=()1M a ，M Oaa =M AC BD ，AC BD +M O 214a +=a=a =M (1OM k k ==切线1)yx =-40x +-=a =M (1,OM k k ==切线1)y x +=-40x -=40x -=40x -=O AC BD ，()12120d d d d ≥，，22212||3d d OM +==||||AC BD ==||||AC BD +=2(||||)AC BD +(2212444d d =⨯-+-+45⎡=⨯+⎢⎣(45=⨯+因为，即，所以， 当且仅当， 所以.所以，即的最大值为. （四）小结作业 小结：1. 直线与圆的位置关系；2. 直线与圆的方程的应用. 作业： 四、板书设计2.5.1 直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离；2. 用方程判断直线与圆的位置关系；3. 用坐标法判断直线与圆的位置关系.()2120d d -≥22121223d d d d ≤+=221294d d ≤12d d ==5225(||||)452402AC BD ⎛⎫+⨯+⨯= ⎪⎝≤⎭||||AC BD +≤||||AC BD +。
直线与圆的方程的应用教学设计
直线与圆的方程的应用教学设计引言在中学数学中，直线与圆的方程是一个重要的知识点。
在实际生活中，我们经常会遇到直线与圆的方程的应用问题，例如确定一条直线与一个圆的交点、求两个圆的交点等。
本文将介绍一种应用教学设计，帮助学生理解直线与圆的方程，并能够灵活运用于实际问题中。
教学目标通过本教学设计，学生将能够： - 掌握直线与圆的方程的基本概念； - 理解直线与圆的方程的应用背景和实际意义； - 能够运用直线与圆的方程解决简单的实际问题。
教学内容1.直线与圆的方程的基本概念–直线的方程：一般式、斜截式、点斜式等；–圆的方程：标准式、一般式等；2.直线与圆的方程的应用背景和实际意义–实际问题的引入，例如求两条直线的交点、求直线与圆的交点等；–直线与圆的方程在实际问题中的应用，例如求圆的切线等；3.直线与圆的方程的解题方法与实例演练–通过解题演示，让学生理解和掌握直线与圆的方程的解题方法；–通过实例演练，让学生灵活运用直线与圆的方程解决实际问题。
教学步骤1.导入引导–展示一个实际问题，例如已知直线和圆的方程，求直线与圆的交点；–引导学生思考如何解决这个问题，激发学生学习的兴趣。
2.基本概念讲解–介绍直线和圆的方程的基本概念，并解释不同形式的方程的特点；–演示如何根据已知条件和方程求解未知量。
3.应用背景与实际意义–引导学生思考直线与圆的方程在实际问题中的应用背景和实际意义；–举例说明直线与圆的方程在几何图形的创作、建筑设计等方面的应用。
4.解题方法与实例演练–分步讲解解题方法，例如直线与圆的方程联立求交点的步骤；–通过实例演练，让学生跟随教师一起解题，巩固所学知识。
5.练习与巩固–给学生布置一些相关练习题，让学生独立完成；–教师巡回指导并批改学生的答案，让学生对所学知识进行巩固。
6.总结与拓展–对本节课所学内容进行总结，强调直线与圆的方程的重要性；–拓展引导，让学生思考其他几何图形的方程与实际应用。
教学评估1.课堂互动评价–教师观察学生的思考情况，评估学生对直线与圆的方程的理解程度；–提问学生解题思路，鼓励学生表达自己的观点和解题方法。
人教版中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的应用》教学设计 (一)
人教版中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的应用》教学设计 (一)人教版中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的应用》教学设计一、教学目标1.学习直线的一般式方程和圆的标准式方程。
2.掌握直线与圆的方程的应用。
3.加深对直线和圆的认识，提高解决实际问题的能力。
二、教学重点1.掌握直线的一般式方程和圆的标准式方程。
2.理解直线与圆的方程的应用。
三、教学难点1.理解和应用直线与圆的方程。
2.解决实际问题时的思维方法和技巧。
四、教学过程1.引入（1）出示一些图形，引导学生认识直线和圆。
（2）出示一些实际问题，引导学生思考如何应用直线和圆的方程来解决问题。
2.教学主体（1）直线的一般式方程①导入难点：由点斜式方程推导一般式方程。
②讲解一般式方程的含义和用法。
③练习：给出直线的两点坐标，求解一般式方程。
（2）圆的标准式方程①导入难点：先讲解圆的标准式方程含义及其由中心点和半径推导。
②讲解圆的标准式方程的应用：求解圆心、半径，求解圆与直线的交点。
③练习：给出圆的半径和截距，求解圆心坐标和圆的方程。
（3）直线与圆的方程的应用①导入难点：从实际问题入手，如两个圆相交，求解交点坐标。
②讲解直线与圆的应用技巧，如如何求解直线和圆的交点等。
③练习：出示一些实际问题，引导学生用直线和圆的方程来解决问题。
3.总结总结本课时所学到的知识点和技巧，并强调应用技能的重要性。
五、教学辅助1.多媒体设备：投影仪。
2.教学课件：制作直线方程，制作圆方程。
3.题目练习：编写题目练习和解答。
六、教学评估1.课堂练习：课上出题，学生现场解答。
2.作业考核：留作业，检查学生课下巩固情况。
七、教学反思本课时教学重点难点在于理解和应用直线与圆的方程，在教学过程中需要通过举实际问题来引导学生思考，从而更好地理解和掌握相关知识和技能。
同时还需注意给学生提供充足的练习和检查，以巩固和提高学习效果。
直线与圆的方程教学设计
直线与圆的方程教学设计一、教学目标•理解直线与圆的定义及特性；•掌握直线的一般方程和点斜式方程的推导和运用；•掌握圆的标准方程和一般方程的推导和运用；•熟练运用直线和圆的方程求解相关问题。
二、教学内容1. 直线的方程（1）一般方程•定义一般式方程：Ax + By + C = 0；•解释A、B、C的物理意义和几何意义；•推导一般方程的标准式：y = kx + b。
（2）点斜式方程•定义点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)；•解释k和(x1, y1)的几何意义；•推导点斜式方程的一般式：Ax + By + C = 0。
2. 圆的方程（1）标准方程•定义标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²；•解释圆心坐标(a, b)和半径r的物理意义和几何意义；•推导标准方程的一般式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
（2）一般方程•定义一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0；•解释D、E、F的物理意义和几何意义；•推导一般方程的标准式：(x - a)² + (y - b)² = r²。
三、教学过程1. 直线的方程（1）一般方程1.引导学生思考直线方程的表示方法；2.介绍直线的一般方程：Ax + By + C = 0；3.解释A、B、C的物理意义和几何意义；4.讲解一般方程的标准式：y = kx + b；5.给出一个具体的例子进行讲解和演示；6.练习一些示例题，加深理解。
（2）点斜式方程1.引导学生思考点斜式方程的表示方法；2.介绍点斜式方程：y - y1 = k(x - x1)；3.解释k和(x1, y1)的几何意义；4.讲解点斜式方程的一般式：Ax + By + C = 0；5.给出一个具体的例子进行讲解和演示；6.练习一些示例题，加深理解。
直线与圆的方程教学实施报告
直线与圆的方程教学实施报告一、引言本报告旨在对直线与圆的方程教学实施进行详细的分析和总结，以期为今后的教学改进提供参考。
本教学实施的目标是让学生掌握直线与圆的基本概念及其方程，并能够灵活应用解决相关问题。
二、教学内容概述教学内容主要包括以下几个方面：1.直线的概念及方程2.圆的概念及方程3.直线与圆的位置关系及应用三、教学设计与实施1. 教学设计根据教学内容的概述，我们将教学分为三个阶段：阶段一：直线的概念及方程在本阶段，我们首先介绍直线的概念，并引入直线的方程。
通过实例和图示，让学生掌握直线方程的一般形式和斜率截距形式，并能够灵活地进行转换。
在教学过程中，我们将注重培养学生观察图形、分析特征的能力，帮助他们理解直线的方程与图形之间的联系。
阶段二：圆的概念及方程本阶段主要介绍圆的概念，并引入圆的方程。
通过实例和图示，让学生了解圆的一般方程和标准方程，并能够应用圆的方程解决相关问题。
在教学过程中，我们将鼓励学生进行思考和讨论，帮助他们从不同的角度理解圆的方程，培养他们的问题解决能力。
阶段三：直线与圆的位置关系及应用本阶段将直线和圆的方程结合起来，讲解直线与圆的位置关系及应用。
通过实例分析，引导学生理解直线与圆之间的几何关系，如直线与圆相切、相交等情况，并能够通过联立直线和圆的方程求解相关问题。
在教学过程中，我们将鼓励学生运用所学的知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2. 教学实施教学方法：结合理论讲解和实例分析，引导学生进行思考和讨论，注重培养学生的问题解决能力。
教学工具：教师将使用投影仪来展示演示文稿和图示，以帮助学生更好地理解概念和方程。
教学步骤：1.阐述直线的概念，引入直线的方程。
2.通过实例和图示介绍直线方程的一般形式和斜率截距形式。
3.引入圆的概念，讲解圆的方程。
4.通过实例和图示介绍圆的一般方程和标准方程。
5.结合直线和圆的方程，讲解直线与圆的位置关系。
6.通过实例分析，引导学生运用所学的知识解决直线与圆相关问题。
高中数学优秀教学设计及说课稿《直线与圆的方程的应用》
直线与圆的方程的应用课题：4.2.3直线与圆的方程的应用.一、教材分析（一）教材的地位和作用“直线与圆问题研究”是解析几何研究的一个重要问题之一。
它是学生在学习了圆锥曲线之后的后续内容，又可贯穿于解析几何学习的始终。
所以，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解解析几何的核心问题——圆锥曲线的概念，也能为学好圆锥曲线作好理论和方法上的准备，是解析几何中承上启下的关键内容。
（二）教学目标的确定及依据基于对课程标准、教材的学习与分析和学生学情的分析，制定如下的教学目标和重难点：知识与技能：（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系，解决一些实际问题；（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题．能力目标：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．情感目标：在利用直线与圆的位置关系探究解决一些实际问题线面垂直性质的研究中，培养自主探索、合作交流的精神和辩证唯物主义观念。
（三）教学重点、难点及关键教学重点：直线与圆的方程的应用，用坐标法解决平面几何．教学难点：用坐标法解决平面几何。
教学关键：类比、转化数学思想的应用。
二、学法指导在本节课的学习时，学生在前面已经学习了直线与方程、圆的方程的相关知识，并初步探索了运用解析法解决平面上一些与直线有关的实际问题。
学生具备了一定的运用解析法解决问题的能力。
观察、概括、总结、归纳、类比、联想是学法指导的重点。
让学生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。
这样，可以增进热爱数学的情感，应用数学的自信心和形成新的学习动力。
三、教学方法与手段建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。
《直线和圆的方程》教学分析和教学建议
本章教学建议
（三）教法、学法建议 1.抓住一切机会渗透解析几何的基本思想.
章节的地位与作用
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，它的基本内 涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对 象——数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线的方程（点 的轨迹方程），从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究 几何图形的性质.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学 从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.
本章教学建议
（三）教法、学法建议
3.注重“曲线和方程”的内在逻辑关联，帮助学生在一般观念引领下构建和 把握曲线方程的整体结构.
曲线与方程之间一一对应的关系是解析几何的基石.虽然教科书正文中没有明确 提出曲线与方程的关系，但是两者的对应关系在直线的点斜式方程、圆的标准方 程的建立过程中有所体现. 从大的范围看,曲线与方程之间的一一对应反映了数量关 系与空间形式之间的关系.有了这种关系，就可以用方程表示曲线，对曲线进行“ 运算”；建立方程的几何直观表达，把方程“形象化”，进一步体会数形结合的 思想.
(2)求圆心在直线3x - y 0上，与x轴相切，且被直线x y 0截得的弦长为2 7的圆 的方程. 变式2： 求圆心在直线x y 4 0上，并且经过圆x2 y2 6x 4 0与圆x2 y2 6 y - 28 0 的交点的圆的方程.
本章教学建议
（三）教法、学法建议
9. 设计专题训练，结合解题过程，加强方法的总结，落实解题技能.
高中数学直线和圆教案
高中数学直线和圆教案
课题：直线和圆
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握直线和圆的基本概念、性质和公式；能够运用直线和圆的知识解决相关问题。
2. 过程与方法：通过例题分析、思维导向和讨论等方式，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：鼓励学生积极思考、勇于探索，培养他们对数学的兴趣和自信心。
二、教学内容：
1. 直线的概念及斜率、方向角的相关性质；
2. 圆的概念及圆心、半径、弦、弧、切线等基本概念；
3. 直线和圆的位置关系及相关公式。
三、教学过程：
1. 引入：通过给出一道直线和圆的问题，让学生思考直线和圆之间的关系，并引出本节课的主题。
2. 学习直线的知识点：讲解直线的概念、斜率、方向角等基本知识，并通过例题演示如何计算直线的斜率和方向角。
3. 学习圆的知识点：讲解圆的概念、圆心、半径、弦、弧、切线等基本知识，并通过例题演示如何计算圆的相关参数。
4. 直线和圆的位置关系：讲解直线和圆的位置关系及相关公式，并通过例题演示如何判断直线和圆的位置关系。
5. 练习与巩固：布置练习题，让学生独立解题，并对答案进行核对和讲解。
6. 总结与拓展：总结本节课的重点知识，拓展相关知识，激发学生兴趣和探索欲望。
四、课堂评价：
考核学生对直线和圆的基本概念、性质以及相关公式的掌握情况，包括思维能力、解题能力等方面的评价。
五、课后作业：
1. 完成课后练习题；
2. 总结笔记，复习本节课所学知识。
教学设计1：2.4.1 圆的标准方程
2.4.1圆的标准方程教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆的标准方程.在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用.在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位.坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法.通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.教学目标与核心素养重点难点重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点：根据所给条件求圆的标准方程课前准备多媒体教学过程一、情境导学 《古朗月行》 唐 李白小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端.月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示? 二、探究新知思考1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.思考2 已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？|MA |＝r ,由两点间的距离公式,得22()()x a y b -+-＝r ,化简可得：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 一、 圆的标准方程通过古诗中关于月亮的描述，引出建立圆的方程的问题，同时类比直线方程的建立过程，帮助学生通过类比建立圆的标准方程.学会联系旧知，制定解决问题的策略.让学生进一步感悟运用坐标法研究几何问题的方法.较,二是代入圆的标准方程,判断与r 2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.跟踪训练3 若点(1,1)在圆(x-a )2+(y+a )2=4的内部,则a 的取值范围是( ) A .a<-1或a>1B .-1<a<1C .0<a<1D .a=±1解析:由题意可知,(1-a )2+(1+a )2<4,解得a 2<1,故-1<a<1. 答案:B金题典例 1.若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.3. 已知x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，求(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值与最小值.思路探究：x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，即点P (x ，y )是圆上的点．而(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点(x ，y )与点(－1，－1)的距离．故此题可以转四、小结五、课时练教学反思在本节课的教学中，引导学生回顾确定直线的几何要素——两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素——圆心位置和半径大小.由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程.这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养.在求解圆的标准方程中，注意几何法与代数法的比较，提升学生数学运算素养.。
人教版高中数学必修2-4.2《直线与圆的方程应用》教学设计
4.2 直线、圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程应用(朱海军)一、教学目标（一）核心素养通过直线与圆方程的综合应用，熟练掌握使用代数法来解决问题的方法. （二）学习目标1.坐标法解决直线和圆的应用问题（分析，建系，抽象出数学问题）.2.与圆有关的最值问题.3.与圆有关的中点弦问题.（三）学习重点综合使用直线与圆的方程来解决问题.（四）学习难点1.将实际问题转化为数学问题.2.在运用坐标系证明几何问题时，合理建立直角坐标系的方法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材中的例题4，了解将实际问题转化为数学问题的具体例子；（2）记一记：用坐标法解决几何问题的步骤第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.（3）做一做：完成课后习题2，体会使用直线与圆方程解决问题的过程.2.预习自测（1）赵州桥的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，求这座圆拱桥的拱圆方程. 【知识点】将实际问题转化为数学问题的方法.【数学思想】代数法【解题过程】放在一元二次方程中，我们可以画出拱圆图形是一个抛物线，则设拱圆的方程为c bx ax y ++=2，顶点在y 轴上若跨度两边的点在x 轴上，则方程过点（-18.75,0)、(18.75,0)、(0,7.2)，将这三个点代入方程，解出a,b,c 即可若拱圆的顶点在x 轴上,则方程过点(-18.75,-7.2)、(18.75,-7.2)、(0,0)，将这三个点代入方程，解出a,b,c 即可.但是由于此题要求的是拱圆方程，则我们必须求出的是一个圆的方程，因此我们可以设圆心坐标为原点，半径为r ，则圆拱桥的方程为222r y x =+，则有，半径与跨度一般、半径减圆拱高的线段构成一个直角三角形.有：()2222.775.18-+=r r ，解出r =28.0再代入圆的方程即可. 【思路点拨】建立直角坐标系【答案】2220.28=+y x（2）如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么xy 的最大值是________. 【知识点】直线与圆的最值问题【数学思想】化归与转化【解题过程】分析可知，x y 的最值是过原点的直线与圆相切时的直线的斜率，设:0,l kx y l d k -====则圆心到的距离则所以x y 【思路点拨】xy 看成(,)x y 与(0,0)连线的斜率【答 （3）过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆的两条切线，切点为12,T T ， 则直线12TT 的方程为________.【知识点】切线、切点弦【数学思想】方程思想【解题过程】设切点12,T T 为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 的方程为11(2)(2)4x x y y +--=，同理2AT 的方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则。
圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计
圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。
第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。
情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。
二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。
1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。
问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。
这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。
问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。
直线与圆的位置关系的应用(课件)高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案
P(0,4)，D(－5，0)，E(5,0)．设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于
a＋10 2＋b2＝r2， 是有 a－10 2＋b2＝r2，
a2＋ b－4 2＝r2.
解此方程组，得 a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.所以这座圆
第二课时 直线与圆的位置关系第二课时
（四）教学过程——问题1
追问 你认为接下来将研究什么内容.
第二课时 直线与圆的位置关系第二课时
（四）教学过程——问题1
设计意图：通过回顾上节内容，为本节的应用做准备，通过追问，引导学生提出值 得研究的问题,接下来研究直线与圆的位置关系的应用.
第二课时 直线与圆的位置关系第二课时
(2)据气象台预报：在 A 城正东方 300 km 的海面 B 处有一台风中心，正以每小时 40 km 的速度向西北方向移动，在距台风中心 250 km 以内的地区将受其影响．从现在起经过 约______ h，台风将影响 A 城，持续时间约为______h(结果精确到 0.1 h)．
第二课时 直线与圆的位置关系第二课时
把点 P2 的横坐标 x 2 代入圆的方程，得 (2)2 ( y 10.5)2 14.52 ，解得
y 14.52 (2)2 10.5 14.36 10.5 3.86(m) .则支柱 A2P2 高度约为 3.86 m.
第二课时 直线与圆的位置关系第二课时
（四）教学过程——问题2
追问 3 如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？ P2 P
第二课时 直线与圆的位置关系第二课时
（四）教学过程——问题3
师生活动：
《直线与圆、圆与圆的位置关系》大单元教学设计方案【高中数学】
直线与圆、圆与圆的位置关系大单元教学
设计
用几何方法和代数方法，这种综合是充分借助图形的几何性质，一定程度上简化代数运算，最后得到图形之间的位置关系的方法.利用直线与圆的位置关系解决实际问题，是初中平面几何的综合运用，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面学习圆与圆的位置关系作了铺垫，对解题及几何证明将起到重要的作用.
本单元综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系, 以及一些简单的数学问题和实际问题. 直线与圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位, 直线和圆的位置关系应用也比较广泛、图形之间的位置关系, 既可以直观定性描述, 也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以是完全运用代数的方法, 通过运算求解, 得到图形之间的位置关系, 也可以综合运用几何方法和代数方法, 这种综合是充分借助图形的几何性质, 一定程度上简化代数运算, 最后得到图形之间的位置关系的方法.利用直线与圆的位置关系解决实际问题, 是初中平面几何的综合运用, 是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的, 又为后面学习圆与圆的位置关系作了铺垫, 对解题及几何证明将起到重要的作用.
本单元综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题. 直线与圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，直线和圆的位置关系应用也比较广泛、图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以是完全运用代数的方法，通过运算求解，得到图形之间的位置关系，也可以综合运用几何方法和代数方法，这种综合是充分借助图形的几何性质，一定程度上简化代数运算，最后得到图形之间的位置关系的方法.利用直线与圆的位置关系解决实际问题，是初中平面几何的综合运用，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面学习。
中职数学教学设计——直线与圆的方程应用举例
提出 思考 问题
引发 分析 思考 讨论
展示 知识 解决 问题 的一 般策 略和 基本 步骤 关注 数学 知识 在实 际中 的应 用
1
分析 这个实际问题可转化为数学问题:若轮船不改变 航线,则需考虑轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、影 响范围为半径的圆的位置关系,相交或相切会受到影响,相 离则不会受到影响.
所在直线 PQ 的斜率为 k，则 k = 12 − 0 = − 1 ， 0 − 24 2
由直线的斜截式方程得 1
y=-2x+12,即 x+2y-24=0. 台风影响的区域是以 O(0,0)为圆心, r=9 为半径的圆形 区域. 因为圆心 O(0,0)到直线 PQ 的距离为
=d
1× 0 + 2 × 0 − 24 =
探索 新知
情境 导入
解 根据光的反射定律可知,点 Q 关于 x 轴的对称点 讲解 Q’、反射点 M、发光点 P 三点共线,所以点 M 为直线 PQ’ 与 x 轴的交点.
点 Q(-3,2)关于 x 轴的对称点 Q’的坐标为 (-3,-2),故直 说明 线 PQ’的斜率为
=k 3= − (−2) 1, 2 − (−3)
授课 题目 授课 时长
教学 提示
教学 目标 教学 重点 教学 难点 教学 环节
情境 导入
6.6 直线与圆的方程应用举例 选用教材
高等教育出版社《数学》 （基础模块下册）
1 课时
授课类型
新授课
本课通过数学建模，借助光线反射和台风区域的实际问题，学习解决与直线 方程和圆的方程有关的实际问题，同时帮助学生体会直线和圆的方程在科技和 生产实践等方面的应用.
3.某圆拱桥的跨度是 20m，圆拱高 4m，现有宽 10m 的
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8.5 直线与圆的方程的应用
【教学目标】
1. 能根据实际问题中的数形关系，运用直线和圆的方程解决问题．
2. 通过本节例题教学，让学生认识数学与人类生活的密切联系，培养学生应用所学的数学知识解决实际问题的意识．【教学重点】
直线和圆的方程在解决实际问题中的应用．
【教学难点】
根据实际问题中的数量关系列出直线和圆的方程．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合的教学法．本节课紧密联系学生熟悉的生产和生活背景，有针对性地选择了可以利用直线方程和圆的方程解决的实际问题，通过师生共同研究，不仅可以巩固直线与圆的有关内容，并且提高了学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力．
【教学过程】
左下角为原点，建立平面直角坐标系，由图中尺寸可知
A(2，6)，B(16，8)，P(4，10)．
因此直线AB的斜率
k＝8－6
16－2
＝
1
7
，
所以直线AB的方程为
y－6＝1
7 (x
－2)，
即x－7y＋40＝0．
从而可知P到直线AB的距离为
|4－710+40|
12+(-7)2
＝
26
50
≈3.68，。