2电阻电路的等效变换

2电阻电路的等效变换

本章重点：等效电路及网络的化简。实际电压源、电流源的等效互换 本章难点：输入电阻

《 第 四 讲 》 2.1 引言

线性电路: 时不变的线性元件 R,L,C(必须都是常数) 受控源的系数必须为常数

线性电阻电路: (纯电阻电路) 电路中的无源元件只有R, 没有L 和C

2.2 电路的等效变换

将电路中某一复杂部分用一个简单的电路替代,替代之后的电路要与原电路保持相等的效用.即两个伏安特性完全相同.(也称为对外等效)

2.3 电阻的串联和并联

电路元件中最基本的联接方式就是串联和并联。

一、电阻的串联

当元件与元件首尾相联时称其为串联，如下图(a)所示。串联电路的特点是流过各元件的电流为同一电流。

+ U _

+ U _

目的: 使电路分析和计算更为方便.

根据KVL知，电阻串联电路的端口电压等于各电阻电压的叠加。即

称R为n个电阻串联时的等效电阻Req。

由上式可知，串联电路中各电阻上电压的大小与其电阻值的大小成正比。

电路吸收的总功率为

即电阻串联电路消耗的总功率等于各电阻消耗功率的总和。

二、电阻的并联

当n个电阻并联联接时，其电路如下图(c)所示。并联电路的特点是各元件上的电压相等，均为u。

根据KCL知：

电导G是n个电阻并联时的等效电导，又称为端口的输入电导。

分配到第k个电阻上的电流为

上式说明并联电路中各电阻上分配到的电流与其电导值的大小成正比。

电路吸收的总功率为

即电阻并联电路消耗的总功率等于各电阻消耗功率的总和。

电路如下图所示。求：（1）ab两端的等效电阻R ab。（2）cd两端的等效电阻R cd。

解：(1) 求解R ab的过程如下图所示。

所以R ab=30Ω

(2) 求R cd 时，一些电阻的联接关系发生了变化，10Ω电阻对于求

R cd 不起作用。R cd 的求解过程如下图所示。

所以R cd=15Ω

2.4 电阻的三角形（Δ）联接与星形（Ｙ）联接

一、电阻的三角形（Δ）与星形（Ｙ）联接

上图所示电路的各电阻之间既非串联联接又非并联联接。如求ab间的等效电阻，则无法再利用电阻串联、并联的计算方法得到简单求解。

当三个电阻首尾相联，并且三个联接点又分别与电路的其它部分相联时，这三个电阻的联接关系称为三角形（Δ）联接。上图所示电路中电阻R1R2R5 ，R3R4R5 均为三角形（Δ）联接。

当三个电阻的一端接在公共结点上，而另一端分别接在电路的其它三个结点上时，这三个电阻的联接关系称为星形（Ｙ）联接。上图所示电路中电阻R1R5R 3，R2R5R

4的联接形式就是星形（Ｙ）联接。

R = (40∥40+30∥30∥30) = 30Ω

30Ω

30Ω

40Ω

30Ω

º

º

R

40Ω

30Ω

30Ω30Ω

º

º

二、Δ联接与Ｙ联接的等效变换

Ｙ联接与Δ联接的电阻电路如上图（a ）、（b ）所示。在电路分析中，如果将Ｙ联接等效为Δ联接或者将Δ联接等效为Ｙ联接，就会使电路变得简单而易于分析。

由Ｙ联接变为Δ联接的关系式：

R 31 R 23 1

2

3

u 12

u 23

u 31 R 1

R

2 R

3 i 3

i 1

i 2

1 2

3 u 12 u 23

u 31

i

i 2

i 1

i 1+i 2+i 3 = 0 u 12 = u 31 = 1

3322131

21332211231R R R R R R u R R R R R R R u R i ++-

++=

i 1 =

u 12 R 12

u 31

R 31 - -i 1+ u 12 R 12 u

31 R 31 - =0

R 1 i 1 - i 2 R 2 R 3i 3 - i 1R 1

由Δ联接转换到Ｙ联接的关系式：

当Δ联接的三个电阻相等，都等于RΔ时，那么由上式可知，等效为Ｙ接的三个电阻也必然相等，记为R Y，反之亦然。并有

三、举例

求图所示电路的等值电阻R ab。

解：将电路上面的Δ联接部分等效为Ｙ联接，如下图所示。

其中：

另解：也可以将原电路图中1Ω、2Ω和3Ω三个Ｙ联接的电阻变换成Δ联接，如下图所示。

其中:

两种方法求出的结果完全相等。

电路如图所示，各电阻的阻值均为1Ω。试求ab间的等效电阻。

解：本题可利用Δ与Ｙ形之间的等效变换进行求解，但也可利用电路的对称性进行求解。这里采用后面一种方法。

在ab间施加电压时，结点①和结点②是两个对称结点，为等电位点。因此可将结点①与结点②短接，如图（b）所示。

图（c）所示电路为图（b）的等效电路，该电路满足电桥平衡条件，故结点②与结点③可视为短路，见图（d）。另外电桥平衡时，图（c）中结点②与结点③间的支路电流为零，所以结点②与结点③之间也可视为开路，如图（e）所示。由图（d）或图（e）

均可求得

20Ω 60Ω

a

b

20

R 5

a

平衡电桥指:

4

2

31R R R R = 或

4

321

R R R R =(分为平衡电桥和不平衡电桥)

电桥

如果电桥平衡，R 5 拿掉

b

R 4

4

R 2