第二十七单元电介质和电容器

第二十七单元 电介质和电容器

[课本内容] 马文蔚，第四版，上册 [6]-[40] [典型例题]

例27-1．A 、B 、C 是三块平行金属板，面积均为200cm 2，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距2.0mm ，B 、C 两板都接地(如图) ，设A 板带正电3.0×10-7C ，不计边缘效应

(1) 求B 板和C 板上的感应电荷，以及A 板的电势。

(2)若在A 、B 间充以相对介电常数εr =5的均匀电介质，再求B 板和C 板上的感应电荷，以及A 板的电势。

(1) q q q =+21 ①

E AB =

s

q 01ε，E AC =

s q 02εAC

AB

E E

q q =⇒21 ②

又 U AB =U AC 即 E AB d AB =E AC d AC

∴AB E /AC E =1/2 ③

解出 ﹣q 1=﹣1.07

10

-⨯ C ，﹣q 2=2.07

10

-⨯ C

U AB =E AB d AB =V d S q AB 34

123

701103.210

2001085.8100.4100.1⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=----ε

(2)

q q q =+21 ①

E AB =s q 011εε，E AC =s q 02ε ⇒ 25

521===AB AC AC AB r d d E E q q ε ②

解出 ﹣q 1=﹣2.14710-⨯C ， ﹣q 2=﹣0.867

10-⨯ C

V d S

q

d E U

AB

r AB AB AB

24123

70/107.910

2001085.85100.41014.2⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==

=----εε

例27-2．一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为0E ，电位移为0D

，而当两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质

时，电场强度为E

，电位移为D

，则

(A) r E E ε/0 =，0D D

=． (B)

0E E =，0D D r

ε=． (C) r E E ε/0 =，r D D ε/0 =．

(D) 0E E =，0D D

=．

［ B ］

例27-3．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1 = 2 cm ，R 2 = 5 cm ，其间充满相对介电常量为εr 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm 处的A 点的电场强度和A 点与外筒间的电势

差．

解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+λ和-λ, 根据高斯定理可求得两 圆筒间任一点的电场强度为

r

E r εελ

02π=

则两圆筒的电势差为 1

200ln 22d d 21

2

1R R r r r E U r R R r R R εελ

εελπ=π==⎰

⎰⋅

解得

120/ln 2R R U

r εελπ=

于是可求得Ａ点的电场强度为

A E )

/l n (12R R R U

=

= 998 V/m ， 方向沿径向向外

A 点与外筒间的电势差： ⎰⎰=='2

2

d )/ln(d 12R

R R R

r r

R R U r E U R R R R U 212ln )/ln(== 12.5 V

例27-4．一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0 = 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)

解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布为

)2/(r E ελπ=

设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为

⎰⎰⋅π==R r

R

r r r r E U d 2d ελ 0

ln 2r R

ελπ=

电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有

002E r ελπ=

00ln

r R

E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令

0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U

得 e R r /0=

显然有

2

2d d r U < 0， 故当

e R r /0= 时电容器可承受最高的电压 e RE U /0max = = 147 kV

练习二十七

一、选择题：

27-1．关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？

(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D

为零．

(B) 高斯面上处处D

为零，则面内必不存在自由电荷．

(C) 高斯面的D

通量仅与面内自由电荷有关．

(D) 以上说法都不正确． ［ ］ 提示：高斯定理只表明通量与自由电荷的关系。选C

27-2．一导体球外充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ［ ］ (A) ε 0 E ． (B) ε 0 ε r E ． (C) ε r E ． (D) (ε 0 ε r - ε 0)E ．

提示：根据高斯定理选B

27-3．在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当

电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强E 与空气中的场强E 0相比较，应有 (A) E > E 0，两者方向相同． (B) E = E 0，两者方向相同．

(C) E < E 0，两者方向相同． (D) E < E 0，两者方向相反．

［ ］

提示：0D D =，000r E E εεε= 0E E < 选C

27-4．在一点电荷q 产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面S ，则对此球形闭合面： ［ ］ (A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强．

(B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强． (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立． (D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。 提示：题目中场强不具有对称分布的特性。选B

27-5．在静电场中，作闭合曲面S ，若有0d =⎰⋅S S D (式中D

为电位移矢量)，则S 面内

必定

(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷． (B) 没有自由电荷．

(C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零． (D) 自由电荷的代数和为零． ［ ］ 提示：选D

二、填空题

27-6．半径为R 1和R 2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常量为εr 的均匀介质．设两筒上单位长度带有的电荷分别为+λ和-λ，则介质中离轴线的距离为r 处的电位移矢量的大小D =____________，电场强度的大小 E =____________．

提示：以同轴金属圆筒的轴线为轴线，半径r 做高为l 的圆柱面，利用高斯定理2D r

λπ=

E