理论力学-质点的振动
理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
质点振动方程
质点振动方程
质点振动是指质点在物理系统中运动时，其位置随时间的变化呈现周期性的变化。
质点振动的运动方程通常是二阶常微分方程，可以表示为：
F=-kx
ma+F=0
其中，k是物体的弹簧常数，x是物体的位移，m是物体的质量，a是物体的加速度。
上述方程式可以用来描述质点在单摆运动、振动梁运动等情况下的运动规律。
解决这个方程组可以得到质点的位移随时间的变化规律，从而对质点的振动进行分析和预测。
需要注意的是，上述方程式仅适用于简单的质点振动情况，在实际应用中，质点振动的运动方程可能会更复杂，需要根据具体情况进行调整。
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点振动讲解(常微分)
数学摆是系于一根 长度为l的线上而 质量为m的质点M， 在重力作用下，它 在垂直于地面的平 面上沿着圆周运动， 如图：
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（1）无阻尼自由振动
考察数学摆的无阻尼微小自由振动方程 d 2 g 0 2 l dt ，（1.9） g 2 记 ，这里 0 是常数，（1.9）变为 l d 2 2 0 2 （4.39） dt 这是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程为
这里M,N是待定常数，将（4.53）代入（4.52），比 较同类项系数，得到 2 2
M
2npH
2 2
2
p
4n
2
p
2
N
p H
2
p
2 2
4n
2
p2
为了获得更明显的物理意义，令
M H * sin *
N H * cos *
M N
2 2
即令（4.54）
d d g 0 2 m dt l dt
2
，（1.10）
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记 写成：
2n g 2 ，l ，这里n，是正常数，（1.10）可以 m
d d 2 2 n 0 2 dt dt
2
（4.43）
2 1 2 2
， cos
c2
2 c12 c 2
因此，若取
2 A c1 c 2 2
，
2 1 2 2
则（4.40）可以写成 即 A sint
c c Asin cost cos sin t
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
第二章 质点振动学
第2章质点振动学振动学是研究“声学”的基础。
声学现象实质上就是传声媒质（气体、液体固体等）质点所产生的一系列力学（机械）振动传递过程的表现，而且声波的发生（无论是自然产生还是人工获得）基本上都来源于物体的振动。
当有一阵风吹来时，人们就会听到树叶振动发怵的“沙沙”的响声。
当人们欣赏一直交响乐队的演奏时，就会发现乐队的演奏者都在各自忙碌而又紧张地操作着自己的乐器，有的用槌子击鼓，有的用弓拉动小提琴的弦，等等。
看起来不同乐器的动作似乎是杂乱无章，然而人们所听到的优美的音乐，却正是这些乐器上的振动体“杂乱无章”运动的总效果。
既然声是从物体振动而来，因而，从物体的振动规律自然也可以预知声的一些规律。
例如，由扬声器发出的声音的强弱及其频率与扬声器纸盆振动的幅度及其频率有关。
作为声学工作者免不了要使用或者研制一些电声器件（如扬声器和传声器等），而这些器件的大多数都具有一个（或者多个）振动系统，如扬声器的纸盆与传声器的音膜等。
可以发现，这些振动系统的特性，对控制电声器件的声学性能往往会起着关键作用。
此外一些恼人的噪声也常常来自物体的强烈振动，而如何检测、抑制和隔离这些振动也已经成为现代声学的重要课题。
因此，物体的振动是产生声音，无论从声音产生的原因上看，还是从声音的传播上讲，甚至涉及声音的接收，它们都与振动有着极其密切的联系。
因此，对于振动规律的研究分析，在了解声音的产生、传播和接收方面具有极其重要的意义。
由此可见，振动学的基础知识对从时声学的工作者来说，是非常重要的、必不可少的。
振动学所研究的范围非常广泛，这里所介绍的主要限于与声学问题联系比较密切的力学（机械）振动的基础知识，本章将主要讨论质点振动规律，以求在基本原理上有一概念性的理解。
至于更复杂的振动方式，由于涉及的数学工式比较高深，一般读者可不必追究。
当然，它们不仅在理论上，而且在实用中还是十分重要的。
下一章将讨论一些简单形状弹性体（如弦、膜、棒等）的振动。
理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解
理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解高等教育出版社的《理论力学课后题答案》一书中，第一章包含了以下三个问题的解答：1.2 题目要求写出在铅直平面内的光滑摆线，并分方程。
解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。
最后证明了质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关。
1.3 题目要求证明单摆运动的振动周期与摆长无关。
解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。
最后通过进一步计算，得出了单摆运动的振动周期公式。
1.5 题目要求使用拉格朗日方程计算质点的运动。
解答中使用了拉格朗日方程，并通过进一步计算得出了质点的运动轨迹。
如图，在半径为R时，地球表面的重力加速度可以由万有引力公式求得：g=\frac{GM}{R^2}$$其中M为地球的质量。
根据广义相对论，地球表面的重力加速度还可以表示为：g=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)$$其中c为光速。
当半径增加到R+ΔR时，总质量仍为M，根据XXX展开，可以得到：frac{1}{(R+\Delta R)^2}=\frac{1}{R^2}-\frac{2\DeltaR}{R^3}+\mathcal{O}(\Delta R^2)$$代入上式可得：g'=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)\left(1+\frac{2\Delta R}{R}\right)$$ 化简后得：g'=g-\frac{2g\Delta R}{R}$$因此，当半径改变时，表面的重力加速度的变化为：Delta g=-\frac{2g\Delta R}{R}$$2.在平面极坐标系下，设质点的加速度的切向分量和法向分量都是常数，即$a_t=k_1$，$a_n=k_2$（其中$k_1$和$k_2$为常数）。
根据牛顿第二定律，可以得到质点的运动方程：r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=k_2$$ddot{r}-r\dot{\theta}^2=k_1$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
理论力学—质点系运动微分方程
解
AB杆的动力学方程：
mxc mg TA
myc 0
1 12
ml 2
1 2
lTA
需补充方程后求解
o
y
TA
A
c
yc B
mg
x
xc
ac aA art arn
xc
art
1 2
l
aA 0; art l / 2; arn 0 ( 0)
联立求解得：
3g
在例1中，对瞬心D的动量 矩为：
JD
1 12
ml 2
1 ml2 4
1 ml2 3
保持不变
由对瞬心D的动量矩定理：
1 ml2 1 mgl sin
3
2
3g 2l
sin
y
A XA
D
C
P O
YB x
B
与前面结果相同
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
对瞬心的动量矩定理
J C*
3 mr 2 2
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
对瞬心的动量矩定理
若圆盘有偏心。
y
J A JC + m 2
随时间而变
O
dLA dt
J A
m d 2
dt
dLA dt
J A
x
C
A mg
N
F
x
仅当动瞬心到质心的距离保持不变时才有：
dLA dt
J A
讨论
对瞬心的动量矩定理
第1章 质点的振动
实数形式 分析：
A e tcos(0 t0)
（1） 衰减模量：振动位移振幅衰减到初始值的1/e倍的 时间 （单位为秒）
1 2Mm
Rm
16
（2）小阻尼对振动频率的影响：
0 0 220 1 0 2 20 1 0 2 2
如果： 0
0
022
0
2 102
0
——小阻尼对振动频率的影响很小！
（3）小阻尼对振动幅度的影响：相隔一个周期的 相邻两次振动振幅的比值
振动系统元件 质量块Mm 弹簧（弹性系数或劲度系数Km ）
3
系统受力分析：弹力 FK 牛顿第二定律
d 2
Mm dt2 FK
虎克定律：弹簧在弹性限度内
FK Km
自由振动方程
d 2
dt2
02
0
0
Km Mm
4
方程的解
( t ) A c o s 0 t B s i n 0 t C c o s (0 t 0 )
——速度与频率无关！
压强式电容传声器
38
传声器的开路电压与振膜位移的关系:
E E0 D
E0:极化电压；D：振膜与后 电极之间静态距离
——与振动的位移成正比！
一般要求频响尽量平坦，由于在弹性控制区，位移与 频率无关，故使固有频率很高，在20—20kHz范围内， 都有 z1:f f0
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
理论力学-质点的振动
MOzmg siln
O φ0
φ
l
F
Mv
mg
第九章 质点的振动
动量矩定理 动量矩 力矩
从而可得
§9-2 质点的自由振动
例题9-1
dLOz dt
MOz
LOz
ml2
d
dt
,
MOzmg siln
d(m2ld)mg siln
dt dt
O φ0
φ
l
F
Mv
mg
化简即得单摆的运动微分方程
d2
dt2
gsin
l
0
xF
利用弹簧自由悬挂时的静伸长λs，来求出系统的固有频率，有
0
k m
g, mgk
即
0
g s
M xG
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ， 圆盘对杆轴的转动惯量为J。
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
2s
W k2
11 1 ,
k k1 k2
c2
W λ1 s+λ2 s
串联弹簧的等效刚度系数为
k 1 k1k2 1 1 k1 k2 k1 k2
弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。
固有频率
k 1
k1k2
2π m(k1 k2)
c
λs
W
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
k1
O
将式(a)代入上式，得
J d2 kd2
dt2
例 题 9-6
l
机械振动的原理及应用
机械振动的原理及应用一、什么是机械振动机械振动是指机械系统在受到外力作用或者自身固有特性发生变化时，产生周期性的运动或者摆动。
这种周期性的运动或摆动称为振动。
机械振动是机械工程中一个重要的研究领域，并在多个应用领域中发挥着重要作用。
二、机械振动的原理1.质点的简谐振动原理: 机械振动的基础理论是简谐振动。
简谐振动是指系统在外力作用下相对平衡位置做周期性的、大小和方向都相同的振动。
质点的简谐振动受到三个基本要素的影响：质点的质量、弹性恢复力和外力。
2.刚体的振动原理：刚体的振动与质点不同，无论是平动还是转动，都涉及到刚体上不同点之间的相对位置关系。
刚体的振动可以分为平动和转动两种类型。
刚体的振动受到质心的平动和转动之间的耦合效应所影响。
三、机械振动的应用1.振动工具和设备：机械振动被广泛应用于各种振动工具和设备中，例如振动筛、振动给料机、振动输送机等。
这些设备通过振动来实现物料的分离、输送和排放等功能。
2.振动检测与诊断：机械振动可用于检测和诊断装置或系统的故障。
通过监测和分析机械系统的振动特征，可以判断设备是否存在故障、预测故障发生的可能性以及确定故障的类型和位置。
3.振动控制与消除：机械振动在诸多领域中可能会引起一些负面影响，如噪音、损坏和疲劳等。
因此，控制和消除机械振动成为许多工程项目的重点。
采用合适的设计和控制方法，可以有效地减少机械振动，提高设备的性能和使用寿命。
4.振动能量回收：机械振动能量的回收利用成为一种新型的能源开发方式。
通过将机械系统中产生的振动能量转化为电能或其他可用能源，可以提高能源利用效率，减少对传统能源的依赖。
四、机械振动的未来发展与趋势1.智能化发展：随着科技的进步，机械振动领域也逐渐向着智能化、自动化的方向发展。
智能化振动控制系统的出现，将会更加准确地进行振动监测、诊断和控制，提高设备的效率和性能。
2.节能与环保：在全球节能与环保的背景下，减少机械振动对环境和人体健康的影响成为一个重要的课题。
高等教育出版社,金尚年,马永利编著的理论力学课后习题答案
高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案第一章1.2写出约束在铅直平面内的光滑摆线上运动的质点的微分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.解：设s为质点沿摆线运动时的路程，取=0时，s=0 S== 4 a (1) XY设为质点所在摆线位置处切线方向与x 轴的夹角，取逆时针为正，即切线斜率=受力分析得：则，此即为质点的运动微分方程。
该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.1.3证明：设一质量为m 的小球做任一角度0θ的单摆运动运动微分方程为θθθF r r m =+)2( θθsin mg mr = ①给①式两边同时乘以d θ θθθθd g d r sin = 对上式两边关于θ积分得 c g r +=θθcos 212 ② 利用初始条件0θθ=时0=θ 故0cos θg c -= ③ 由②③可解得 0cos cos 2-θθθ-•=lg 上式可化为dt d lg=⨯-•θθθ0cos cos 2-两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ⎰⎰---=--=020222002sin 12sin 10012cos cos 12进一步化简可得θθθθd g l t ⎰-=0002222sin sin 121 由于上面算的过程只占整个周期的1/4故⎰-==0222sin 2sin 124T θθθθd g l t由ϕθθsin 2sin /2sin 0=两边分别对θϕ微分可得ϕϕθθθd d cos 2sin 2cos 0=ϕθθ202sin 2sin 12cos-=故ϕϕθϕθθd d 202sin 2sin 1cos 2sin2-= 由于00θθ≤≤故对应的20πϕ≤≤故ϕϕθϕθϕθθθθπθd g l d g l T ⎰⎰-=-=202022cos 2sinsin 2sin 1/cos 2sin42sin2sin 2故⎰-=2022sin 14πϕϕK d g l T 其中2sin022θ=K 通过进一步计算可得glπ2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222 +⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯++n K n n K K1.5zp点yx解：如图，在半径是R的时候，由万有引力公式，对表面的一点的万有引力为, ①M为地球的质量；可知，地球表面的重力加速度g , x为取地心到无限远的广义坐标，，②联立①，②可得：,M为地球的质量；③当半径增加,R2=R+,此时总质量不变，仍为M,此时表面的重力加速度可求：④Be ө e tөy由④得：⑤则，半径变化后的g 的变化为⑥对⑥式进行通分、整理后得：⑦对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于R ，得⑧则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：。
理论力学质点动力学
˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
理论力学(金尚年-马永利编著)课后习题答案详解
高等教育出版社，金尚年，马永利编著理论力学课后习题答案第一章1.2写出约束在铅直平面内的光滑摆线上运动的质点的微分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.解：设s为质点沿摆线运动时的路程，取=0时，s=0XYF Nmg sinφmgmg cosφφS== 4 a (1)设为质点所在摆线位置处切线方向与x 轴的夹角，取逆时针为正，即切线斜率=受力分析得：则，此即为质点的运动微分方程。
该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.1.3证明：设一质量为m 的小球做任一角度0θ的单摆运动运动微分方程为θθθF r r m =+)2( θθsin mg mr = ①给①式两边同时乘以d θ θθθθd g d r sin = 对上式两边关于θ积分得 c g r +=θθcos 212 ② 利用初始条件0θθ=时0=θ 故0cos θg c -= ③ 由②③可解得 0cos cos 2-θθθ-•=lg 上式可化为dt d lg=⨯-•θθθ0cos cos 2-两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ⎰⎰---=--=020222002sin 12sin 10012cos cos 12进一步化简可得θθθθd g l t ⎰-=0002222sin sin 121 由于上面算的过程只占整个周期的1/4故⎰-==0222sin 2sin 124T θθθθd g l t由ϕθθsin 2sin /2sin 0=两边分别对θϕ微分可得ϕϕθθθd d cos 2sin 2cos 0=ϕθθ202sin 2sin 12cos-=故ϕϕθϕθθd d 202sin 2sin 1cos 2sin2-= 由于00θθ≤≤故对应的20πϕ≤≤故ϕϕθϕθϕθθθθπθd g l d g l T ⎰⎰-=-=202022cos 2sinsin 2sin 1/cos 2sin42sin2sin 2故⎰-=2022sin 14πϕϕK d g l T 其中2sin022θ=K 通过进一步计算可得glπ2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222 +⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯++n K n n K K1.5zp点yx解：如图，在半径是R的时候，由万有引力公式，对表面的一点的万有引力为, ①M为地球的质量；可知，地球表面的重力加速度 g , x为取地心到无限远的广义坐标，，②联立①，②可得：,M为地球的质量；③当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变，仍为M,此时表面的重力加速度可求：④e өe tөy由④得：⑤则，半径变化后的g 的变化为⑥对⑥式进行通分、整理后得：⑦对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于R ，得⑧则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：。
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点动力学的应用
求：套筒运动到端点A所需的时间
z'
及此时对杆的水平压力。
y'
2、非惯性系中质点动力学的应 用
解：研究套筒B相对于OA的运动.
O
选取和杆OA一起转动的坐标
系O x’y’z’为动参考系.
分析套筒受力, 其中
FIe = mw2 x¢ FIC = 2mw x&¢
套筒的相对运动动力学方程为：
m
d2r¢ dt 2
2、非惯性系中质点动力学的应 用
（1）傅科摆
在北半球，球铰链悬挂一支摆，摆锤摆动时，与 地球表面有相对速度，由于地球自转的影响，会 产生向左的科氏加速度，对应的科式惯性力向 右，因此它不会像单摆一样在一个固定平面内运 动，而会向右偏斜，轨迹如右图所示。这种现象 是傅科1851年发现的，称之为傅科摆。它证明了 地球的自转。摆绳摆动的平面在缓慢地顺时针旋 转，旋转一周的周期为：
2、非惯性系中质点动力学的应 用
例 1 如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m。其悬挂点O以加速度a0向上运动。
求：此时单摆作微振动的周期。
a0
解：在悬挂点固结一个平移坐标系O x’y’。
O
x'
小球相对于此动参考系的运动相当于悬挂点固定的单摆振动。
分析小球受力, 其中 FIe = ma0
φ
因动参考系作平移运动，所以科氏惯性力 FIC = 0
2
3) = 0.209s
m
d2r¢ dt 2
=
ห้องสมุดไป่ตู้mg
+
F1
+
F2
+
FIe
+
FIC
将相对运动动力学方程投影到y’轴上，得： F2 = FIC = 2mw x&¢
理论力学中的波动与振动分析
理论力学中的波动与振动分析波动与振动是理论力学中重要的研究方向，涉及到许多实际应用和科学理论。
本文将从经典力学和量子力学两个方面，对波动与振动进行深入分析。
一、经典力学中的波动与振动在经典力学中，波动可以用以下形式的波动方程来描述：ψ(x, t) = A * sin(kx - ωt + φ)其中，ψ是波函数，A代表振幅，k是波数，x表示位置变量，ω代表角频率，t为时间变量，φ为相位角。
振动是波动的一种特殊形式，当振动发生在一维系统中时，可以用简谐振动方程来描述：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x为位移，A为最大位移量，ω为角频率，t为时间，φ为初相位角。
二、量子力学中的波动与振动在量子力学中，粒子的波动性由波函数来描述，而波函数的演化满足薛定谔方程：i * ℏ * ∂ψ/∂t = -Ĥψ其中，Ĥ为哈密顿算符，ℏ为普朗克常数除以2π。
量子力学中的波动性表现为粒子的波粒二象性，即既具有粒子性又具有波动性。
粒子的波函数通过薛定谔方程得到后，可以用波包的形式表示。
波包是一个由多个简谐波组合而成的波动形式，可以用高斯波包表达。
对于振动来说，在量子力学中，可以用谐振子模型进行描述。
谐振子模型是量子力学中的一个重要模型，它是简谐振动的量子版本。
谐振子的哈密顿算符表达式为：Ĥ = (ℏω/2) * (a^†a + aa^†)其中，a和a^†分别是谐振子的湮灭算符和产生算符，ℏ是普朗克常数除以2π，ω为角频率。
谐振子的能级由能量本征值给出。
三、波动与振动的应用波动和振动在物理学、工程学和其他学科中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1.声学：声音是通过空气中的波动传播的，声学研究了声音的起源、传播和感知。
声波的频率和振幅可以影响我们对声音的感知。
2.光学：光是一种电磁波，光学研究了光的传播、反射、折射等现象。
波动光学理论可以解释光的干涉、衍射等现象。
3.无线通信：通过调制载波的振幅和频率，可以实现无线信号的传输。
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mvl
m(l)l
ml2
d
dt
MOz mgl sin
O φ0
φ
l
F
Mv
mg
第九章 质点的振动
动量矩定理 动量矩 力矩
从而可得
§9-2 质点的自由振动
例题9-1
dLOz dt
M Oz
LOz
ml2
d
dt
,
MOz mgl sin
d (ml2 d ) mgl sin
dt dt
O φ0
φ
l
F
Mv
其通解为
x C1 cos0t C2 sin 0t
把上式对时间求导数，得
v x C10 sin 0t C20 cos0t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
x C1 cos0t C2 sin 0t
l0
OM
v x C10 sin 0t C20 cos0t
当 t=0时，质点的初坐标和初速度
F kx
式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。 因F 恒指向平衡位置O，故它可写成
Fx cx
于是，质点M的运动微分方程写成
l0
OM
(a)
M F
O
x
x
(b)
mx kx 或
x k x 0 m
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
引入参量
2 0
k m
则上式可写成标准形式
x
2
0
x
0
这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自 由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程。
d ) d
将式(a)代入上式，得
J d2 kd 2
dt2
例 题 9-6
l
d
m
O
φ
Fk
mg
第九章 质点的振动
例题
振动
例 题 9-6
J
d2
dt 2
k d 2
上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由 振动微分方程
l
d
m
O
φ
Fk
mg
d2 kd2 0
( b)
dt 2 J
则此摆振系统的固有频率为
0 d
mg
化简即得单摆的运动微分方程
d2
dt 2
g l
sin
0
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题9-1
单摆的运动微分方程
d2
dt 2
g l
sin
0
O φ0
φ
微小摆动中，φ 值始终很小，可以认为 sinφ ≈ φ，则
g 0
l
考虑初始条件：t = 0, 0, 0。得单摆的运动规律
l
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。
x
T
O
t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
二、自由振动的基本参数
x
T
（1）振幅和相角
O
t
由式（a）可见质点相对于振动中
心（平衡位置）的最大偏离
xmax A
x02
( x0
0
)2
x Asin( 0t ) （a）
W
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
解： 1. 并联情形。
设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ， 在W重力作用下作铅直平动，静变形
为λs ，有
W k1s k2s (k1 k2 )s
k1
k2
λs
W
k
λs
W
选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它在相等的变形
下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有
自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如 图(a)所示的质量一弹簧系统。
l0
OM
(a)
M F
O
x
x
(b)
质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在 弹簧力维持下的运动，即为自由振动。
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
一、自由振动的微分方程及其解
取坐标轴Ox，原点O是质点M的平衡位置。如图（a ）所示。 当M的坐标是x时，弹簧作用于M的力F的大小表示成
s 1s 2s
k1 k2
W λ1 s+λ2 s
k
λs
W
选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它的静变形λs等于串 联的两弹簧静变形之和λ1 s+λ2 s。
由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是
1s
W k1
,
2s
W k2
,
s
W k
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
s 1s 2s
c1
s
W k
,
1s
W k1
,
得 W W W , k k1 k2
2s
W k2
11 1 ,
k k1 k2
c2
W λ1 s+λ2 s
串联弹簧的等效刚度系数为
k 1 k1k2 1 1 k1 k2 k1 k2
弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。
固有频率
k 1
k1k2
2 π m(k1 k2 )
第九章 质点的振动
c
λs
W
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
k1
O
k2
k1
1
1
O
k2
2
2
第九章 质点的振动
例题
v m
振动
例 题 9-3
提升重物系统中，钢丝绳的 横截面积S＝2.89 10－4 m2，材料 的弹性模量E＝200 GPa。重物的 质量m＝6000 kg，以匀速v＝0.25 m·s－1下降。当重物下降到l＝25 m时，钢丝绳上端突然被卡住， 求重物的振动规律。
恢复力。 ● 质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比
的线性阻力。
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。
质量一弹簧系统
简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。 m
k
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
l0 +δs
k
Fd OF
Fd cv
M
其中，c称为粘滞阻力系数（以
为kg单位）， s
表示质点在单位速度时，所受的阻力值，
其大小与介质和物体的形状等因素有关，
可由实验测定。式中负号表示阻力与速度
的方向恒相反。
Mv
G
x
第九章 质点的振动
§9-3 质点的衰减振动
W ks (k1 k2 )s
上式说明并联弹簧的等效刚度系数为
k k1 k2
固有频率
0
1 2π
k1 m 2π
k1 k2 m
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
2. 串联情形。
设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ， 在W重力作用下，两弹簧的总静变
形λs等于单个弹簧的静变形之和， 有
称为振幅。（ω0t+α）称为相角，而α称为初相角。 由式 （b）可见，振幅和初相角都和运动的初始
扰动 (
x0) ,有x0关。
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
（b）
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
（2）周期和频率
x
● 周期
每重复一次运动状态所需的时间间隔，
O
称为周期，并用T 表示。
(a)
M F
x x0,
v x0
O
x
x
令t=0且 x x0 和 x x0 ，就可以确定积分常数
(b)
C1 x0
和
C2
x0
0
这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是
x
x0
co00 sin 0t x0 cos0t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是
x
x0
cos0t
x0
0
sin
0t
x x00 sin 0t x0 cos0t
通常把上二式写成
x Asin( 0t )
x A0 cos(0t )
利用三角变换，可以确定
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
x
x0
cos0t
x0
0
sin
0t
x Asin( 0t )
有的变形，即静变形（如图a）。
l0
显然，由平衡条件G -F0=0有
mg ks
（1）
以平衡位置O作为原点，令轴Ox铅直
向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力F
在轴x上的投影 Fx=-k( λs+x)（如图b）。
可得物块的运动微分方程
F0 O
M
G
xF
（a）
M xG
mx mg k(s x)
（b）
第九章 质点的振动
T
t
每隔一个周期T，相角应改变 ω0T=2π。因
此，周期可以表示成