二次函数及图像性质 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)

归纳：抛物线 ， ， 的图象的形状都是；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数 _______0；开口都；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
归纳：抛物线 ， ， 的的图象的形状都是；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数 _______0；开口都；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
2. 抛物线 的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_____；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。
3.抛物线 向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．
4．抛物线 与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标为________．
二、模仿学习：
画出二次函数 ， 的图象；先列表：
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
…
…
…
…
归纳：（1） 的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。
图象有最点，即 =时， 有最值是；
在对称轴的左侧，即 时， 随 的增大而；在对称轴的右侧，即 时 随 的增大而。
可以看作由 向平移个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线 特点：
③ 的图象开口_______；
④与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 的顶点坐标是；它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即 <0时， 随 的增大而， >0时， 随 的增大而。
（二）在图中，画出函数 ， ， 的图象．
三、二次函数图像的性质
1.当 ＞0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即 0时， 随 的增大而；在对称轴的右侧，即 0时， 随 的增大而。
当 ＜0时，抛物线开口向，在对称轴的左侧，即 0时， 随 的增大而；在对称轴的右侧，即 0时， 随 的增大而。
2．抛物线 关于 轴对称的抛物线是。
3． 越大，抛物线的开口越___________。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
1 ② ③
三、写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的值最小（大）？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
四、例题：
1、抛物线 的对称轴是.
2、抛物线 的开口方向是，顶点坐标是.
4、将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝.
顶点坐标是；对称轴是直线。
2. 抛物线 和 的形状，位置。（填“相同”或“不同”）
3. 抛物线 是由 如何平移得到的？
四、知识梳理：
结合上图归纳：
（一）抛物线 的特点：
1.当 时，开口向；当 时，开口；
2. 顶点坐标是；
3. 对称轴是直线。
（二）抛物线 与 形状，位置不同， 是由 平移得到的。
（三）平移前后的两条抛物线 值。
顶点
对称轴
函数 的图象可由函数 的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到。
4.若把函数 的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为。
5. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线 相同的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6. (1)抛物线 开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，y有最值为。当 时， 随 的增大而增大.
五、例题：
1.二次函数 的图象可由 的图象（ ）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线 开口，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，y有最值为。
3.填表：
开口方向
4.★二次函数 ．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式为．
5、当 时，函数 是关于 的二次函数
6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是.
7、在圆的面积公式 S＝πr2中，s 与 r 的关系是（ ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系
8、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
4. 二次函数y＝mx 有最高点，则m＝___________．
5. 二次函数y＝(k＋1)x2的图象开口向上，则k的取值范围为___________．
6．若二次函数 的图象过点（1，－2），则 的值是___________．
7．抛物线① ② ③ ④ 开口从小到大排列是________；（只填序号）其中关于 轴对称的两条抛物线是和。
由此你能推测二次函数 与 的图象之间又有何关系吗？
二、模仿学习：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
（一）在同一直角坐标系中画出二次函数 ， ， 的图象．
可以发现，把抛物线 向______平移______个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向_______平移______个单位，就得到抛物线 .
抛物线 ， ， 的形状_____________．开口大小相同。
教学内容
二次函数
教学目标
掌握二次函数的定义与性质
重点
二次函数的图像
难点
二次函数的图像
教学准备
纸、笔
教学过程
二次函数
一、课前回顾：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的，x叫做。
2. 形如 的函数是一次函数。
二、模仿学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。
5、把二次函数 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是
6、抛物线 与x轴交点的坐标为_________；
7、函数 有最____值，最值为_______；
8、二次函数 的图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为 ，则b与c分别等于（ ）
8．点A（ ，b）是抛物线 上的一点，则b=；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是。
9、函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10、已知函数 的图象是开口向下的抛物线，求 的值.
11、二次函数 ，当x1＞x2＞0时，求y1与y2的大小关系.
二次函数的图象和性质（2）（ ）
一、课前回顾：直线 可以看做是由直线 得到的。
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
二次函数的图象和性质（1）（ ）
一、课前回顾：
1.画一个函数图象的一般过程是①；②；③。
2.一次函数图象的形状是；
二、模仿学习：
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
x
…
－3
－2
A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14
9、二次函数 的图象在 轴上截得的线段长为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
三、注意：
（1）二次项系数 为什么不等于0？
答：。
（2）一次项系数 和常数项 可以为0吗？
答：.
例题：
1．观察：① ；② ；③y＝200x2＋400x＋200；④ ；⑤ ；⑥ ．这六个式子中二次函数有。（只填序号）
2. 是二次函数，则m的值为______________．
3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 ，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为。
9、抛物线 与x轴交点为A，与y轴次函数的图象和性质（4）（ ）
一、课前回顾：
1.将二次函数 的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。
2.将抛物线 的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为。
二、模仿学习：
在右图中做出 的图象：
观察：1. 抛物线 开口向；
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40 的铁丝围成一个半径为 的扇形，求扇形的面积 与它的半径 之间的函数关系式是
4.归纳：一般地，形如，（ ）的函数为二次函数。其中 是自变量， 是__________，b是___________，c是_____________．
四、例题：
1．函数 的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
2、抛物线 y＝－x2不具有的性质是（ ）
A、开口向下B、对称轴是 y 轴C、与 y 轴不相交D、最高点是原点
3. 二次函数 的图象开口向下，则m___________．
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：
的顶点坐标是，对称轴是.
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ③
（5）归纳：二次函数的一般形式 可以用配方法转化成顶点式：，因此抛物线 的顶点坐标是；对称轴是，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
2．抛物线 向上平移3个单位后的解析式为，它们的形状__________，当 =时， 有最值是。
3．由抛物线 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向平移个单位得到的。
4、任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线 ，当k取0， 时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点.其中判断正确的是.
5、抛物线 ，顶点坐标是,当x时,y随x的增大而减小， 函数有最值
6、试写出抛物线 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.
（1）右移2个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.
7、请你写出函数 和 具有的共同性质
8、二次函数 的图象如图：已知 ，OA=OC，试求该抛物线的解析式.
1.当 时，开口向；当 时，开口；
2. 顶点坐标是；
3. 对称轴是直线。
（二）抛物线 与 形状相同，位置不同， 是由 平移得到的。（填上下或左右）
四、例题
1．抛物线 的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线______；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。
三、知识梳理：（一）抛物线 特点：
1.当 时，开口向；当 时，开口；
2. 顶点坐标是；
3. 对称轴是。
（二）抛物线 与 形状相同，位置不同， 是由
平移得到的。（填上下或左右）
四、例题：
1.抛物线 向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线 向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
二次函数的图象和性质（5）（ ）
一、课前回顾：
1.抛物线 的顶点坐标是；对称轴是直线；当 =时 有最值是；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。
2. 二次函数解析式 中，很容易确定抛物线的顶点坐标为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、模仿学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
2.归纳：
① 由图象可知二次函数 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；
②抛物线 是轴对称图形，对称轴是；
5、已知函数 的图象关于y轴对称，则m＝________；
6、二次函数 中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于.
二次函数的图象和性质（3）（ ）
一、课前回顾：
1.将一次函数y=3x的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为。
2.将一次函数y=2x-3的图象向右平移3个单位后的抛物线的解析式为。
(2) 抛物线 是由 如何平移得到的？答：
。
7、二次函数 y＝(x－1)2＋2，当 x＝时，y 有最小值.
8、函数 y＝ (x－1)2＋3，当 x时，函数值 y 随 x 的增大而增大.
9、函数y= (x+3)2-2的图象可由函数y= x2的图象向平移3个单位，再向平移2个单位得到.
10.已知抛物线的顶点坐标为 ，且抛物线过点 ，则抛物线的关系式是