高考一轮复习专题三角函数(全)详解

高考一轮复习专题——三角函数

第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

基础梳理

1．任意角 (1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角

终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，

|α|＝l

r

，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值l

r 与所取的r 的大小无关，

仅与角的大小有关．

④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，

扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1

2|α|r 2.

2．任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y

r ，cos α＝x r

，tan α＝y x

，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点

P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α

＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

三角函数线

有向线段MP 为正弦线

有向线段OM 为余弦线

有向线段AT

为正切线

一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集

合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππ

ββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为

⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2π

ββ.

两个技巧

(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．

(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意

(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．

(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)下列与9π

4

的终边相同的角的表达式是( )．

A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋9

4

π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π

4

(k∈Z)

2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．

A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．

A．－

5

5

B.

25

5

C．－

25

5

D．－

1

2

5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，

y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－25

5

，则y＝________.

考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；

(2)若角θ的终边与6π

7

角的终边相同，求在[0,2π)内终边与

θ

3

角的终边相同的

角；

(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α

2

所在的象限．

【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－β

B．α＝180°＋β

C．α＝k·360°＋β(k∈Z)

D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )

考向二 三角函数的定义

【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝2

4

m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．

【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45

考向三 弧度制的应用

【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .

【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？