凸组合的概念与性质

凸组合的概念与性质
在数学中，凸组合是一个重要的概念。

在几何学中，凸形通常是指一个形状“向外凸出”，也就是说，所有内部的角都小于180度。

而在凸组合中，更多地关注的是凸形的表示。

定义
凸组合是指将一组给定点按照一定的比例进行加权求和，即使用非负实数$\lambda_1$，$\lambda_2$，$...$，$\lambda_n$加权，使得$\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i = 1$，从而获得一个新的点，这个操作就是凸组合。

$$ y = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i $$
其中，$\{x_i\}$是给定的点集。

凸组合是指在平面或者高维空间中，由几个点按权重制成的一个新的点，新点在几何意义下与原来的点在一条直线或是一个平面上，同时，所求得的新点也一定在凸壳（Convex hull）内。

凸壳是指凸包，凸包是由一批点所组成的凸形。

形象地理解：
例如，给定点集$\{x_1, x_2, x_3\}$，则$\lambda_1x_1 +
\lambda_2x_2 + \lambda_3x_3$就是点集中所有可能的凸组合。

如
下图所示，由三个点点A、B、C所组成的三角形的凸壳就是整个
三角形的面积，而凸组合则是图中的点D，从A经过B到C，经
过的路线是$\lambda_1A + \lambda_2B + \lambda_3C$。

性质
凸组合有以下性质。

1. 凸组合的分布比例相同时，凸组合的位置相同。

即
$\lambda_i=\frac{1}{n}$，$y=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i$。

这个定理比较容易理解，很容易想到冒泡排序，就是从数据第一
个位置开始排序，将最小的数据一步步冒泡到最前面去，文件名
的最高位字符也是如此，一之后是二，二之后是三，所以当所有
的比例都相同时，凸组合的结果也是明确的。

2. 凸组合在凸壳内部，即当$\{x_i\}$是凸壳时，$y$在凸壳内部。

凸壳是由所有点的练成，按照任意的方式连接起来，产生一个凸
形的集合，如下图所示。

3. 凸组合满足正向积性，即$\lambda_i>0$，则
$\lambda_iy=\lambda_ix_i + (1-\lambda_i)(y-\lambda_ix_i)$。

这个性质相当于将凸组合中的一个$\lambda_i$轮换到下一个
$\lambda_j$上，得到了$x_i$从$x_j$方向上的偏差，这个偏差的量
就是出现在括号里的式子。

4. 凸组合是唯一的，因为由$\{x_i\}$唯一得到$y$。

证明可以使用反证法，比较复杂，这里就省略了。

应用
凸组合是许多数学领域中重要的概念，例如优化问题、统计学、计算机图形学等领域中广泛应用。

其中最著名的应用是在求解凸
性优化问题时。

凸性优化问题是指含有凸函数和线性约束的优化问题，这类问题具有很多优秀的解法和性质。

在这种问题中，凸组合是一种十分常见的构造方式，它可以非常方便地表示为凸性优化问题的目标函数或约束条件。

另一个应用是计算机图形学中的插值。

给定一组数据点，我们可以使用凸组合来生成平滑的曲线或表面，这些曲线或表面可以非常好地逼近给定点的形状。

例如，使用贝齐尔曲线（Bezier Curve）时，控制点可以通过凸组合生成，控制点在生成曲线或表面中具有重要的权重。

结论
本文探讨了凸组合的概念和性质。

凸组合是一种最基本的凸壳表示方法，具有很多重要的应用。

尽管凸组合的定义在初学阶段并不容易理解，但通过本文的解释和图形表示，读者仍可轻松理解凸组合的基本概念。