2022-2023学年八年级数学上学期课后分级练(北师大版)1-1 探索勾股定理(解析版)

1.1 探索勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2.培优第一阶——基础过关练1．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是（ ） A ．36B ．64C ．100D ．100或28【答案】C【解析】解：直角三角形的两条直角边长分别为6和8，由勾股定理得，第三边平方为62+82＝100， 故选：C ．2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）A ．10B ．13C ．7D ．14 【答案】A【解析】解：由题意得， 直角三角形的斜边为：2268=10+故选：A ．3．如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A 与点B 的距离，小亮在点C 处立一标杆，使ABC ∠是直角，测得AC 的长为85m ，BC 的长为75m ，则点A 与点B 的距离是（ ） A ．20m B ．40m C ．30m D ．50m【答案】B 【解析】根据勾股定理得，AB =22228575AC BC -=-课后培优练课堂知识梳理=40(m )，故选B ．4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A ．4 cmB ．4.75 cmC ．6 cmD ．5cm【答案】D【解析】解：∵AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，在△ABC 中，由勾股定理可知：222268AB AC BC =+=+=10，∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，故E 为AB 的中点，∴AE =BE =5，故选：D ．5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m 的路，却踩伤了花草．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】根据题意，得：长方形花圃的四个角为90︒∴花圃内的一条“路”长2251213m +∴仅仅少走了512134m +-= 故选：B ．6．在Rt ABC △中，斜边5BC =，则22AB AC +等于（ ）A ．5B ．25C ．50D ．100【答案】B【解析】解：∵Rt ABC △中，斜边5BC =，∴22AB AC +225BC ==．故选：B ．7．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为1S 、2S 、3S ，已知136S =，264S =，3S =（ ）．A ．90B ．100C ．110D ．120【答案】B【解析】解：∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒，∴222AC BC AB +=,∵1S =2AC ，2S =2BC ，3S =2AB ，∴1S +2S =3S ，∵136S =，264S =，∴3S =36+64=100．故选：B ．8．在Rt ABC ∆中，C 90︒∠=，（1）如果a=3，b=4，则c=____；（2）如果a=6，b=8，则c=____；（3）如果a=5，b=12，则c=____；（4）如果a=15，b=20，则c=____【答案】 5 10 13 25【解析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到结果．（1），；（2），；（3），；（4），．9．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为_________________．【答案】5【解析】根据题意，利用勾股定理有22215AB=+=，故答案为：5．10．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为______2cm【答案】30【解析】解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边= 221312-=5(cm)，∴面积=12×5×12=30 (cm2)．故答案为：30．11．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是__m．【答案】170【解析】解：∵正南方向和正东方向成90°，学校与书店距离构成直角三角形的斜边，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为2215080+＝170m．故答案为：170．12．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________【答案】4【解析】解：Rt △ABF 中，AB =10，AF =8，由勾股定理得：BF =22108-=6，∴FG =8-6=2，∴小正方形EFGH 的面积=22=4，故答案为：4．13．设直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ．（1）已知6,10a c ==，求b ；（2）已知5,12a b ==，求c ；（3）已知25,15c b ==，求a ．【答案】（1）8；（2）13；（3）20【解析】解：（1）直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ，6a =，10c =，22221068b c a ∴=-=-=；（2）直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ，5a =，12b =，222251213c a b ∴=+=+=；（3）直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ，25c =，15b =，2222021255a c b ∴=-=-=．14．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，AD 是△ABC 的高，求AD 的长．【答案】AD 2a ． 【解析】解：∵在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，∴BC 22222AB AC a a a ++，∵AD 是△ABC 的高，∴S △ABC =12×AB ×AC =12×BC ×AD ，即12×a ×a =12×2a ×AD ， 解得AD =22a ． 故AD 的长为22a ． 15．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield ）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．【答案】能，见解析【解析】解：能，理由如下：∵直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，∴12 (a +b )(a +b )＝2×12ab +12c 2， ∴（a +b ）（a +b ）=2ab +c 2，∴a 2+2ab +b 2=2ab +c 2，∴a 2+b 2=c 2．16．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度0.6m =DE ，将他往前推送2.4m （水平距离2.4m =BC ）时，秋千的踏板离地的垂直高度 1.2m =BF ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度．【答案】5.1m【解析】解：设秋千的绳索长为m x ，则m ==AB AD x ，0.6 1.2(0.6)m =+-=+-=-AC AD DE CE x x ，在Rt ACB 中，222AC BC AB +=，即222(0.6) 2.4-+=x x ，解得 5.1x =，答：绳索AD 的长度是5.1m ．培优第二阶——拓展培优练17．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为__________．【答案】49【解析】 如图对所给图形进行标注：因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，所以正方形A 的面积2a =，正方形B 的面积2b =，正方形C 的面积2c =，正方形D 的面积2d =． 因为222a b x +=，222c d y +=，所以正方形A ，B ，C ，D 的面积和()()2222222749a b c d x y =+++=+==．故答案为：49．18．根据勾股定理知识迁移，完成下列应用．(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积1S ，2S ，3S 之间满足的等量关系是________；(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，分别以三边为直径作半圆，若3a =，5c =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)S 1+S 2＝S 3；(2)阴影部分的面积为6.【解析】(1)如图，设直角三角形的三边长分别为,,a b c ，则22221231111,,22888b S b S a S c ππππ⎛⎫=⋅=== ⎪⎝⎭ 222a b c +=123S S S ∴+=故答案为：123S S S +=(2)设直角三角形为S 4，直角三角形三边为直径的半圆的面积1S ，2S ，3S∵直角边a =3，斜边c =5∴2222534b c a --，则41134622S ab ==⨯⨯= ∴阴影部分的面积S=S 1+S 2+S 4-S 3=S 4=6【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．19．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，3OC =，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，若12340S S S ++=，求2S ．【答案】(1)见解析;(2)24;(3)403【解析】(1)法一：222–2()S a b a ab b ==-+小正方形， 另一方面，2221422S c ab c ab =-⨯=-小正方形， 即22222b ab a c ab -+=-，则222+=a b c ．法二：2S c =大正方形 另一方面，()2142S a b a b =-+⋅⋅⋅大正方形 ∴()22142c a b a b =-+⋅⋅⋅ 整理得：222c a b =+(2)2446÷=，设AC x =，依题意有()()222336x x ++=-解得1x =()1131344342422S =⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯=飞镖． 故该飞镖状图案的面积是24．(3)将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，且12340S S S ++=， ∴12384S y x S y x S x =+=+=，，，∴1238431240S S S y x y x x x y ++=++++=+=，∴4043x y +=， ∴24043S x y =+=． 培优第三阶——中考沙场点兵20．（2021·山东滨州·中考真题） 在Rt ABC 中，若90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．2.4 【答案】D【解析】解：作CD ⊥AB 于点D ，如右图所示， ∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB 22AC BC +，∵22AC BC AB CD ⋅⋅=， ∴34522CD ⨯=， 解得CD =2.4，故选：D ．21．（2021·四川凉山·中考真题） 如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．74【答案】D【解析】解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB =22AC BC +=10，∵△ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，∴AE =BE ，AD =BD =12AB =5，设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254， ∴CE =2584-=74， 故选：D ．22．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为_________．【答案】100．【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．故答案为：100．23．（2021·湖南常德·中考真题） 如图．在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，若3,5CD BD ==，则BE 的长为________．【答案】4【解析】解：由题意：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ,CAD EAD ∴∠=∠，90AED ∠=︒，又AD 为公共边，()ACD AED AAS ≌，3CD DE ∴==，在Rt DEB 中，5BD =，由勾股定理得： 2222534BE BD DE =-=-=，故答案是：4．24．（2021·湖南岳阳·中考真题） 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为________．【答案】()2226.810x x +-= 【解析】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=()6.8x -尺，∴可列方程为：()2226.810x x +-=，故答案为：()2226.810x x +-=．。