【中考数学压轴题专题突破11】二次函数中的新定义问题

【中考数学压轴题专题突破11】二次函数中

的新定义问题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的新定义问题

1．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．

（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．

2．定义：我们把点（m，m）称为直线y＝﹣x+m（其中m为常数）的“对应点”比如，直线y＝﹣x+5的“对应点”为（5，5）．在平面直角坐标系xOy 中，

（1）若抛物线y＝ax2经过直线y＝﹣x+3的“对应点”A，请指出该抛物线的开口方向，并说明理由；

（2）设点P在曲线y＝（x＞0）上，直线l：y＝﹣x+m的“对应点”为点B，连接PB，记点P到直线l的距离为d（d为正实数）

①当m＝2，k＝2，且d＝时，求点P的坐标；

②当m＝1，k＝时，求BP的长（用含d的式子表示）．

3．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．

（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；

（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身

（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连结BB′，B′C′，C′C，CB．

①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；

②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．

4．定义：给定两个函数，我们约定：任取自变量x的一个值，当x＜0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当x≥0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这样的两个函数互为伴随函数．例如：一次函数y＝2x+3．它的伴随为y＝

（1）已知点M（3，6）在一次函数y＝ax﹣2的伴随函数的图象上时，求a 的值；

（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3

①当点N（m，﹣3）在这个函数的伴随函数的图象上时，求m的值；

②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点A、D的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2），连接AD，以AD为边向右作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

5．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B ＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x ﹣3为友好函数．

（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；

（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；

（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．

6．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：

若b'＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限

变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．（1）①点（﹣，1）的限变点的坐标是；

②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y＝图象上某一个

点的限交点，这个点是；

（2）若点P在函数y＝﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；

（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t 的函数解析式及s的取值范围．

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二次函数中的新定义问题

参考答案与试题解析

1．解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，

y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；

（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“坐标差”相等，故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：

0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，

解得：b＝1﹣c，

故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，

故抛物线的“特征值”为﹣1，

∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，

故＝﹣1．

∴c＝﹣2，b＝3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；

（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，

∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，

∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，

当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，

对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），

则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，