《二次根式(第1课时)》精品教案

5．1二次根式

第1课时二次根式的概念及性质

1．了解二次根式的定义；

2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)

3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)

一、情境导入

前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作a，那么形如a的式子有哪些性质？对于a中a的取值有什么要求？

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

下列各式中：①3，②3

3，③a4，④a2＋1，⑤－15，⑥a2－1，一

定是二次根式的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：根据二次根式的定义判断.3

3的根指数是3，不是二次根式；－15的

被开方数为负数，不是二次根式；a2－1的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.

方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如a；②被开方数为非负数．

探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件

x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．

(1)x ＋2；(2)x －1x －2

；(3)x 2＋1；(4)－x 2. 解析：(1)要使x ＋2有意义，必须使x ＋2≥0；(2)要使

x －1x －2有意义，必须使x －1≥0，且x －2≠0；(3)要使x 2＋1有意义，必须使x 2＋1≥0，显然x 为任何实数；(4)要使－x 2有意义，必须使－x 2≥0，这时x ＝0.

解：(1)x ＋2≥0，所以x ≥－2；

(2)⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，所以⎩⎨⎧x ≥1，x ≠2，

所以x ≥1且x ≠2； (3)x 2＋1≥0，所以x 为全体实数；

(4)－x 2≥0，所以x ＝0.

方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．

探究点三：二次根式的性质

【类型一】 计算：(1)(12)2；(2)(23)2；(3)(－323

)2. 解析：利用(a )2＝a (a ≥0)及(ab )n ＝a n b n 进行计算．

解：(1)(12)2＝12

； (2)(23)2＝4×(3)2＝4×3＝12； (3)(－323)2＝(－3)2×(23)2＝9×23

＝6. 方法总结：利用(a )2＝a (a ≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．

【类型二】 二次根式a 中隐含条件a ≥0的应用 已知y ＝x －2－2－x ＋5，则x y

＝________． 解析：由已知条件y ＝x －2－2－x ＋5可知x －2与2－x 都有意义，所

以存在隐含条件⎩⎨⎧x －2≥0，2－x ≥0，

故x ＝2.把x ＝2代入y ＝x －2－2－x ＋5，求得y ＝5，所以x y ＝25

. 方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．

【类型三】 利用a 2＝|a |计算

计算：

(1)22； (2)（－23

）2； (3)－（－π）2. 解析：利用a 2＝|a |进行计算．

解：(1)22＝2；(2)

（－23）2＝|－23|＝23

；(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.

方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数．

【类型四】 利用a 2＝|a |化简

如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.

解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．

解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1，

则a －b ＜0，a ＋b ＜0.

原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b .

方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．

三、板书设计 二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念

有意义的条件：被开方数大于或等于零

性质⎩⎪⎨⎪⎧（a ）2＝a （a ≥0）a 2＝a （a ≥0）

本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．