武汉大学2011-2012上学期高数期中试题

武汉大学2011-2012上学期高数期中试题

一、试解下列各题（6分/小题） 1

、x →

2、求函数2(2)sin ()(4)

x x

f x x x +=

-的间断点，并指出类型。

3、设函数()y y x =由方程42ln xy x y +=确定，求函数()y y x =在1,1x y ==处的一阶导数和二阶导数。

4、设()f x 有二阶导数，且()0f x '≠，()x g y =与()y f x =互为反函数，试用(),()f x f x '''来表示(),()g y g y '''。

5、求对数螺线e θ

ρ=（由极坐标方程给出）在点()2,,2e ππρθ⎛⎫

= ⎪⎝

⎭处的切

线的直角坐标方程。

6、一飞机在离地面2km 的高度，以200/km h 的速度飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机飞行到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。

7、求极限

3

1cos sin

ln(1tan )x x

x e e x -→-+。

8、求极限()213cos cos cos 444lim n n n n n n n n πππ

→∞-⎡⎤

⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

。

解：1

、2

2

220

0lim

2lim

1cos 1cos x x x x x x x

x x

→→→==+-+-

00224

2lim

2lim 2sin 2cos 3

x x x x x x →→===++

2、2(2)sin ()(4)

x x

f x x x +=

-的间断点：0,2,2x =-。

2

(2)sin 1

lim ()lim (4)2

x x x x f x x x ±±

→→+==- 0x =是第一类跳跃间断点。

22

2(2)sin lim ()lim

(4)

x x x x

f x x x →→+==∞- 2x =是第二类无穷间断点。

22

22(2)sin sin sin2

lim ()lim

lim (4)(2)8

x x x x x x f x x x x x →-→-→-+===

-- 2x =-是第一类可去间断点。

3、把y 看作x 的函数，42ln xy x y +=两边对x 求导

32

4y xy y y x

''++

= 再两边对x 求导

()

232

222412y xy y y y y x ''''''+-

=+ ()

32

2

222

233

2422124xy y xy x x y x y

y y x y x +'=

-''--''=

-

()32

(1,1)(1,1)

2

222233

(1,1)

(1,1)

21

422124

4xy y xy x x y x y y y x y x +'==-''--''=

=--

4、1

()()

g y f x '=

' 23

11()1()()()()()()()()

d d d dx f x f x g y g y dy dy f x dx f x dy f x f x f x '''''''=

===-=-'''''

5、对数螺线的参数方程

cos sin x e y e θθ

θ

θ

⎧=⎨=⎩ cos sin (cos sin ),(cos sin ),cos sin dx dy dy dy dx e e d d d d dx θθθθ

θθθθθ

θθθθθ

+=-=+==- 2

2

cos sin 1cos sin dy dx ππθθθθ

θθ

==

+=

=--

当2

π

θ=

时20,x y e π

==。所求切线方程：2y x e π

=-+。

6、以目标为原点，水平线与飞机飞行同向为x 轴，向上为y 轴，建立直角坐标系。飞机飞行的直线：2y =。以飞机和原点连线与飞机飞行方向的夹角为参数θ。飞机飞行直线的参数方程2cot 2x y θ

=⎧⎨=⎩

。2cot x θ

=两边对

t

求导得

22sin dx d dt dt

θ

θ=-。2sin 2d dx dt dt

θθ=-。

()22

2

sin 100/2d dx

dt

dt π

π

θθθθ=

==-=-弧度h 。

（负号表示顺时针转动） 7、

()

3331cos sin sin 1cos sin 0

ln(1tan )1tan lim sin x

x

x

x x

x x e e

x e e

x

x x

---→→-+-=-

()()()

()()

3

2

30

0232

232

0020001cos sin sin 3sin cos 1cos sin 2lim

2lim sin 1cos sin 3sin cos 1cos sin 4lim

sin 3sin cos 1cos sin 4lim 4lim

sin 3sin cos 1cos 4lim 4lim 4lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→---+--==---+--=---=+-=-+322

0sin 4lim 40206

x x x x x

→-=-+-=