求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式
Equal-Width波方程的高精度守恒差分格式
收稿日期：2021-05-22基金项目：福建省中青年教师教育科研项目资助(JAT190368);福建省自然科学基金(2020J01796)作者简介：钟瑞华(1998-),女,福建省龙岩市人,硕士生．*通信作者.E-mail ：*********************Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式钟瑞华,程宏*，何育宇（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）摘要：对Equal-Width 波方程提出一个三层线性高精度守恒差分格式.所建格式满足质量守恒和能量守恒,在时间和空间上分别为二阶和四阶精度.用离散能量法证明了所建差分格式的收敛性和稳定性.数值实验表明该格式是有效的和可靠的.关键词：Equal-Width 波方程;差分格式;守恒性;收敛性;稳定性中图分类号：O241.82文献标志码：A文章编号：2095-7122（2021）02-0029-07A conservative difference scheme with high-order accuracy for the Equal-Width wave equationZHONG Ruihua,CHENG Hong *,HE Yuyu（School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China ）Abstract:A three-level high-order accuracy conservative difference scheme for solving the nonlinear Equal-Width wave equation is proposed.The scheme is conservative for the discrete energy,and has second-order accuracy in time and fourth-order in space.The convergence and stability of the scheme are proved by the discrete energy method.The numerical experiment shows that the proposed scheme is efficient and reliable.Key words:Equal-Width wave equation;finite difference scheme;conservation;convergence;stability第34卷第2期2021年6月闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University （Natural Science ）Vol.34Ｎｏ．2Jun.20211984年，Morrison 等[1]提出了Equal-Width 波方程，该方程多应用于模拟一维波在具有色散过程的非线性介质中的传播.随后,许多人对该方程进行了大量的研究.Gardner 等[2]用三次B-样条有限元方法模拟了电子束发射过程中孤立波的迁移和相互作用.Zaki [3]用Petrov-Galerkin 方法求解修正的Equal-Width 方程,并使用五次B-样条有限元模型模拟孤子的产生、运动和孤立波的相互作用.Abdulkadir [4]采用线性Galarkin 有限元方法对Equal-Width 波方程进行了研究.Rui [5]利用平面动力系统分支理论方法研究了Equal-Width 波方程的孤波解和周期解.本文考虑如下Equal-Width 波方程的初边值问题u t +uu x -μu xxt =0, 0<t ≤T , α≤x ≤β,(1)u (x ,0)=u 0(x ), α≤x ≤β,(2)u (α,0)=0, u (β,0)=0, 0<t ≤T ,(3)其中μ是给定的正常数.可以验证,式(1)-式(3)具有如下守恒律闽南师范大学学报（自然科学版）2021年Q (t ) =∫αβu (x ,t )d x =∫αβu 0(x ,0)d x =Q (0),(4)E (t )= u 2L [α,β]+μu x2L [α,β]=E (0).(5)首先建立式(1)-式(3)的三层线性差分格式,在时间上和空间上分别达到二阶和四阶精度,并证明所建立的差分格式的守恒性、收敛性和稳定性,数值结果验证了理论分析的可靠性.1差分格式的构造对求解区域[α,β]×[0,T ]进行网格剖分,取空间步长h =(β-α)/J ,时间步长τ=T /N ,其中J 、N 为正整数,记网格点x j =α+jh (0≤j ≤J ),t n =nτ (0≤n ≤N ).记Z 0h ={}u =(u j )|u -1=u 0=u 1=u J -1=u J =u J +1=0, -1≤j ≤J +1.对任意u n 、v n ∈Z 0h ,定义如下记号[6]：(u nj)x =u n j +1-u n j h , (u n j )x =u n j +2-u n j -24h , (u nj )x =u n j +1-u nj -12h,(u n j )t =u n +1j -u n -1j 2τ, u ˉnj =u n +1j +u n -1j 2, (u n j )x ˉ=u n j -u n j -1h ,u n,v n=h ∑j =1J -1u n j v n j , ||u n ||2=u n ,u n , ||u n ||∞=max 1≤j ≤J -1|u nj |.对式(1)-式(3)考虑如下差分格式：(u n j )t +43φ1(u n j ,u ˉn j )-13φ2(u n j ,u ˉn j )-μéëêùûú43(u n j )xxˉt -13(u n j )x x t =0, 1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,(6)u 0j =g (x j ), 0≤j ≤J ,(7)u n 0=0, u nJ =0, 0≤n ≤N ,(8)其中φ1(u n j ,u ˉn j )=13[]u n j (u ˉn j )x +(u n j u ˉn j )x , φ2(u nj ,u ˉn j )=13[]u n j (u ˉnj )x +(u n j u ˉn j )x ,式(6)-式(8)可展开为一个五对角矩阵的线性方程组,可用“追赶法”求解.由于式(6)-式(8)是三层线性隐式格式,所以需要下面的两层格式来计算u 1(u 0j)t +43φ1(u 0j ,u 12j )-13φ2(u 0j ,u 12j )-μéëêùûú43(u 0j )xx ˉt -13(u 0j )x x t =0, 1≤j ≤J -1,其中u 12j=12(u 1j +u 0j ).2差分格式的守恒性引理1[7]对任意的u n 、v n ∈Z 0h ,则u n x ˉ,v n =-u n ,v n x , u n x ,v n =-u n ,v n x , u n xx ˉ,v n =u n x ,v n x , u n x ,v n=-u n ,v n x .当u n =v n 时,有u n x ,u n =0, u n x ,u n =0, u n xx ˉ,u n =-||u n x ||2, u n x x ,u n =-||u n x ||2.引理2[7]对任意的u n ∈Z 0h ,则φ1(u ,u ˉ),u ˉ=0, φ2(u ,u ˉ),u ˉ=0.引理3[7]对任意的u n ∈Z 0h ,则有||u x ||2≤ ||u x ||2≤ ||u x ||2.30钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期引理4[7](离散Sobolev 不等式)对任意的u n ∈Z 0h ,存在两个正常数a 和b ,使得||u n ||∞≤a||u n ||+b||u n x ||.定理1设u 0∈H 20[α,β], u (x ,t )∈C 6,3x ,t [α,β],则式(6)-式(8)满足质量守恒和能量守恒,即Q n=h 2∑j =1J -1(u n +1j +u n j )+29hτ∑j =1J -1u n j (u n +1j )x -118hτ∑j =1J -1u n j (u n +1j)x =Q n -1=⋯=Q 0,E n =12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6()||u n +1x ||2+||u n x ||2=En -1=⋯=E 0.证明将式(6)两端同时乘以h 后对j 从1到J -1求和,根据边界条件,得h 2τ∑j =1J -1()u n +1j -u n -1j +2h 9∑j =1J -1éëêùûúu n j ()u n +1j x -u n -1j ()u n j x -h 18∑j =1J -1éëêùûúu n j ()u n +1j x -u n -1j ()u n j x =0,(9)即 h 2∑j =1J -1()u n +1j +u n j +29hτ∑j =1J -1u n j ()u n +1j x -118hτ∑j =1J -1u n j ()u n +1jx =h 2∑j =1J -1()u n j +u n -1j +29hτ∑j =1J -1u n -1j ()u n j x -118hτ∑j =1J -1u n -1j ()u n j x .由Q n 的定义,对上式的n 递推即可得Q n =Q n -1=⋯=Q 0.将式(9)与2uˉn 作内积,由引理1可得u n2t +4μ3()||u n x ||2t -μ3()||u n x ||2t +43φ1()u n ,u ˉn ,2u ˉn -13φ2()u n ,u ˉn ,2u ˉn =0.由引理2,有||u n ||2t +4μ3()||u n x ||2t -μ3()||u n x ||2t =0,即 12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6()||u n +1x ||2+||u n x ||2 =12()||u n ||2+||u n -1||2+2μ3()||u n x ||2+||u n -1x ||2-μ6()||u n x ||2+||u n -1x ||2.(10)由E n 的定义,对式(10)的n 递推即可得E n =E n -1=⋯=E 0.3差分格式解的存在唯一性和有界性定理2式(6)-式(8)的解u n 是唯一存在的.证明u 0由式(7)确定,用C -N 格式计算u 1,则u 0和u 1是唯一确定的.设u 0,u 1,⋯,u n (n ≤N -1)是唯一可解的,考虑式(4)中的u n +1,我们有12τu n +1j +29éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1j x -118éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1jx -2μ3τ()u n +1j xx ˉ+μ6τ()u n +1j x x =0.(11)将式(11)与u n +1作内积,又由引理2和引理3得0=12τ||u n +1||2+2μ3τ||u n +1x ||2-μ6τ||u n +1x ||2≥12τ||u n +1||2+μ2τ||u n +1x ||2≥0,即||u n +1||=0,从而差分格式是唯一可解的.定理3设u 0∈H 20[]α,β,则式(6)-式(8)的解满足||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , ||u n||∞≤C .证明由引理3和定理1,可得()||u n +1||2+||u n ||2+μ()||u n +1x ||2+||u n x ||2n ,31其中2E n =()||u n +1||2+||u n ||2+4μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ3()||u n +1x ||2x ||2=⋯=2E 0,由于μ是正常数,即||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , 根据引理4,有 ||u n||∞≤C .4差分格式解的收敛性与稳定性引理5[7](离散Gronwall 不等式)假设{}G n /n ≥0是非负数列,且满足G 0≤A , G n≤A +Bk ∑i =0n -1G i , n =1,2,…,其中A 和B 均为非负数,则G n =A e Bnk , n =0,1,2,….定理4设u 0∈H 20[]α,β, u ()x ,t ∈C 6,3[α,β],式(6)-(8)的解u n 依L ∞范数收敛到式(1)-式(3)的精确解,并且收敛阶为O ()τ2+h 4.证明令e n =U n -u n ,则式(6)-式(8)的截断误差为r n j =()e n j t+43[]φ1()U n j ,U ˉn j -φ1()u n j ,u ˉn j -13[]φ2()U n j ,U ˉn j -φ2()u n j ,u ˉn j -43μ()e n j xx ˉt +13μ()e n j x x t ,1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,(12)e 0j =0, 0≤j ≤J ,e n 0=0, e nJ =0, 0≤n ≤N .由Taylor 展开可得max j ,n|r n j | ≤C ()τ2+h 4,其中正常数C 不依赖于τ和h .将式(12)与2eˉn 作内积,由引理1得r n ,2e ˉn =||e n ||2t +43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2t +43φ1()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn -13φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn .(13)根据引理3及定理3,可得r n j ,2eˉn ≤ ||r n ||2+12()||e n +1||2+||e n -1||2.(14)同时,有43φ1()U n ,Uˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn =83h ∑j =1J -1{}13éëêùûúU n j ()U ˉn j x +()U n j U ˉn j x -13éëêùûúu n j ()u ˉn j x +()u n j u ˉnj x e ˉn =89h ∑j =1J -1U n j ()e ˉn j x e ˉn j +89h ∑j =1J -1e n j ()u ˉn j x e ˉn j -89h ∑j =1J -1U n j ()e ˉn j x e ˉn j -89h ∑j =1J -1e n j ()e ˉn j x u ˉn j ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2.(15)同理,有-13φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2.(16)将式(14)-式(16)代入式(13),可得闽南师范大学学报（自然科学版）2021年32||e n ||2t +43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2t ≤C ()||e n +1||2+||e n -1||2+||e n ||2+||e n +1x ||2+||e n -1x ||2+||r n ||2.(17)令A n = ||e n +1||2+||e n ||2+43μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2-13μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2,将式(17)从1到n 累加,有A n≤A 0+Cτ∑i =0n +1()||e i ||2+||e i x||2+2τ∑i =1n||r i ||2.(18)其中τ,C 是正常数,根据A n 的定义和引理3,有c 0()||e n ||2+||e n +1||2+||e n x ||2+||e n +1x ||2≤ ||e n ||2+||e n +1||2+μ()||e n x ||2+||e n +1x||2≤A n ,(19)其中c 0=min(1,μ).由式(18)-式(19)得||e n ||2+||en +1||2+||e n x||2+||en +1x||2≤Cτ∑i =0n +1()||e i ||2+||e i x||2+Cτ∑i =1n ||r i ||2.(20)令G n=||e n ||2+||en +1||2+||e n x||2+||en +1x ||2,则式(20)可以写成G n≤Cτ∑i =0nG i+Cτ∑i =1n||r i ||2,其中Cτ∑i =1n||r i ||2≤Cnτmax 1≤i ≤n||r i ||2≤CT ()τ2+h 42.从而G n≤Cτ∑i =0nG i +C ()τ2+h 42.(21)式(21)可以写成()1-CτG n≤Cτ∑i =0n -1G i +C ()τ2+h 42.对于τ足够小,即1-Cτ>0,有G n≤Cτ∑i =0n -1G i +C ()τ2+h 42.根据引理5,得G n ≤C ()τ2+h 42e CT ≤C ()τ2+h 42,即有||e n ||≤C ()τ2+h 4, ||e n x ||≤C ()τ2+h 4.由引理4,可得||e n ||∞≤C ()τ2+h 4.定理得证.5数值实验为验证式(6)-式(8)的守恒性和稳定性,选取以下模型问题[8]：u t +uu x -μu xxt =0,(22)初始条件为u 0()x =3γsech 2()1/4μ()x -x 0,(23)已知式(22)-式(23)的精确解为u ()x ,t =3γsech 2[]1/4μ()x -x 0-γt .(24)设||e n ||∞=||U n -u n ||∞=max 1≤j ≤J -1|U n j -u nj |,其中U n j =u ()x j ,t n 为精确解,u n j 为式(6)-式(8)的数值解,定义时间和空间的收敛阶为Order 1=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/2,h ||∞, O rder 2=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/4,h /2||∞. 钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期33数值解U数值解U图1h =0.1, τ=1(左)和h =0.05, τ=1(右)时不同时刻的数值解Fig.1Numerical solution at different times with h =0.1, τ=1(left)and h =0.05, τ=1(right)取γ = 0.1, μ = 1, α = -20, β = 30, T = 1, x 0 =10，分别取h =0.1, τ=1和h =0.05, τ=1对式(6)-式(8)进行计算,不同时刻的数值解分别见图1(左)和图1(右).表1验证了格式在时间上具有二阶收敛精度,表2验证了格式在空间上具有四阶收敛精度,表3验证了格式的质量和能量守恒性.以上结果表明所建立的差分格式(6)-式(8)是可靠和有效的.表1h =0.05和T =1时的误差和时间收敛阶Tab.1Errors and temporal convergence orders with h =0.05and T =1步长τ=0.25τ=0.125τ=0.0625τ=0.03125误差||e n ||∞1.2093E-063.0153E-077.5284E-081.8811E-08收敛阶Order 1—2.0037602.0018782.000734步长h =0.5h =0.25h =0.125h =0.0625误差||e n ||∞1.3651E-039.1912E-055.8429E-063.6669E-07收敛阶Order 1—3.8926143.9755013.994058表2τ=h 2和T =40时的误差和空间收敛阶Tab.2Errors and spatial convergence orders with τ=h 2and T =40表3h =0.25和h =0.5时,不同T 下的守恒量Tab.3The conserved quantities at different T with h =0.25and h =0.5时间/T 1102030h =0.25 τ=h 2能量/E n0.3195272430562650.3195262990414230.3195239246269690.319521275624080质量/Q n1.2000031173455941.2000031104029521.2000030816906351.200003000086333h =0.5 τ=h 2能量/E n0.3181488639547210.3181396393760100.3181132029445680.318079521237931质量/Q n1.2000498884225871.2000498794754341.2000498421672201.200049736095559闽南师范大学学报（自然科学版）2021年34参考文献：[1]MORRISON P J,MEISS J D,GAREY J R.Scattering of RLW solitary waves[J].Physica D Nonlinear Phenomena,1984,11(3):324-336.[2]GARDNER L R T,GARDNER G A.Solitary waves of the equal width wave equation[J].1992,101(1):218-223.[3]ZAKI S I.Solitary wave interactions for the modified equal width equation[J].Computer Physics Communications,2000,126(3):219-231.[4]ABDULKADIRD.ApplicationofGalerkin'smethodtotheEqual-Widthwaveequation[J].AppliedMathematicsandComputation,2003,160(1):65-76.[5]RUI W G.Exact traveling wave solutions and dynamic simulations of wave for the Equal-Width wave equation[J].Journal ofSouthwest University for Nationalities,2006,32(5):851-857.[6]何育宇,王晓峰,陆东.Korteweg-de Vries 方程的守恒紧致有限差分格式[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2020,33(2):17-21.[7]AHLEM G,KHALED O.New conservative difference schemes with fourth-order accuracy for some model equation for nonlineardispersive waves[J].Numer Methods Part Differ Equ,2018,34(2):451-500.[8]ABDUL G,SIRAJUL H.An efficient numerical scheme for the study of Equal-Width equation[J].Results in Physics,2018,9(9):1411-1416.[责任编辑：钟国翔]钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期35。
波动方程差分方法初步(PPT文档)
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初始速度的离散
一、简单处理
初始位移
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初始速度 u(xj ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) O( )
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改进型Boussinesq方程高精度紧致差分显格式
改进型Boussinesq方程高精度紧致差分显格式
周俊陶;林建国;谢志华
【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》
【年(卷),期】2009(041)004
【摘要】采用一种高精度的紧致差分显格式对改进型Boussinesq方程进行数值求解;采用具有TVD性质的三阶Runge-Kutta方法进行预报,用三次样条函数进行校正,时间精度可达到四阶;在空间离散上采用六阶精度的三点紧致显格式进行计算;运用以上数值格式对Beji和Nadaoka改进型Boussinesq方程进行了求解,求解证明:高精度的数值结果和已知的试验结果吻合良好.作为验证算例,同时对波浪在台阶上的传播进行了模拟,从效果对比上可以看出,所得结果明显比Kittitanasuan的计算结果更靠近试验值.
【总页数】4页(P215-218)
【作者】周俊陶;林建国;谢志华
【作者单位】大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026;大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026;大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026【正文语种】中文
【中图分类】O353.2
【相关文献】
1.三维Navier-Stokes/Boussinesq方程组的高精度紧致有限差分格式 [J], 徐丽
2.一类高精度非线性延迟抛物偏微分方程的紧差分格式 [J], 池永日
3.一种求解一维对流扩散方程的高精度紧致隐式差分格式 [J], 魏剑英;葛永斌;田振夫
4.扩散方程的高精度稳定性紧致加权差分格式 [J], 侯广林
5.一类Boussinesq方程的高精度紧致差分法 [J], 张经纬;谢树森
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41-波动方程的差分逼近知识讲解
41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。
其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。
在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。
由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。
（5）可显示算出各网点的值。
（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。
求解波动方程初值问题的四阶差分格式
求解波动方程初值问题的四阶差分格式波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学、地球科学等领域都有广泛的应用。
求解波动方程初值问题是一类常见的数值计算问题，其解法有多种，其中四阶差分格式是一种常用的数值解法。
四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其基本思想是将波动方程离散化为差分方程，然后利用差分方程的递推关系求解。
具体来说，四阶差分格式将波动方程在空间和时间上进行四阶差分，从而得到一个高精度的数值解。
四阶差分格式的主要内容包括以下几个方面：1.差分方程的推导差分方程是四阶差分格式的核心，其推导需要根据波动方程的特点进行。
一般来说，差分方程的推导可以采用有限差分法的思想，即将波动方程在空间和时间上进行离散化，然后利用差分近似代替微分，得到一个递推关系式。
2.差分格式的求解差分格式的求解是指利用差分方程递推求解波动方程的数值解。
一般来说，差分格式的求解可以采用迭代法或者直接求解法。
迭代法是指利用差分方程的递推关系式，从初始条件开始逐步迭代求解，直到达到所需的精度为止。
直接求解法是指将差分方程转化为矩阵方程，然后利用矩阵求解方法求解。
3.数值稳定性和精度分析数值稳定性和精度分析是四阶差分格式的重要内容之一，其主要目的是评估差分格式的数值稳定性和精度。
数值稳定性是指差分格式的解是否会因为数值误差而发散或者震荡，而精度分析则是指差分格式的解与真实解之间的误差大小。
4.程序实现和应用程序实现和应用是四阶差分格式的最终目的，其主要内容包括将差分方程转化为程序代码，然后利用计算机进行求解。
应用方面，四阶差分格式可以用于求解各种波动方程初值问题，如声波方程、电磁波方程、弹性波方程等。
总之，四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其主要内容包括差分方程的推导、差分格式的求解、数值稳定性和精度分析以及程序实现和应用。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的差分格式，并进行数值稳定性和精度分析，以保证数值解的精度和可靠性。
紧致差分格式
紧致差分格式摘要：1.紧致差分格式的定义2.紧致差分格式的特点3.紧致差分格式的应用领域4.紧致差分格式的优缺点正文：紧致差分格式是一种数学工具，用于描述两个函数之间的差异。
它在微积分、概率论、数值分析等领域有广泛的应用。
本文将从紧致差分格式的定义、特点、应用领域以及优缺点四个方面进行介绍。
首先，紧致差分格式的定义是指，设f(x) 和g(x) 是两个在区间[a, b] 上有定义的函数，如果对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε，则称f(x) 与g(x) 在[a, b] 上满足紧致差分格式。
其次，紧致差分格式具有以下特点：1) 对任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε；2) 紧致差分格式满足三角不等式，即对于任意的x、y、z，有|f(x)-g(y)|≤|f(x)-f(z)|+|g(z)-g(y)|；3) 紧致差分格式满足单调性，即如果f(x) 在区间[a, b] 上单调递增（或递减），那么对于任意的g(x) 在区间[a, b] 上满足紧致差分格式。
再次，紧致差分格式的应用领域非常广泛，包括微积分、概率论、数值分析等。
例如，在微积分中，它可以用于研究函数的连续性、可微性等性质；在概率论中，它可以用于研究随机过程的性质，如马尔可夫性质等；在数值分析中，它可以用于设计各种数值算法，如数值积分、数值微分等。
最后，紧致差分格式具有以下优缺点：优点是它提供了一种研究函数性质的工具，可以描述函数在某个区间上的差异，有助于理解函数的局部性质；缺点是它的定义较为抽象，对于一些具体的函数，可能难以判断是否满足紧致差分格式。
波动方程有限差分
波动方程有限差分一、引言波动方程是自然界中许多现象的数学模型，如声波、地震波等。
为了解决波动方程的数值解，有限差分方法是一种常用的数值计算方法。
本文将详细介绍波动方程有限差分的原理、方法和应用。
二、波动方程波动方程描述了介质中物理量随时间和空间变化的规律。
具体来说，假设介质中某个物理量为u(x, t)，其中x表示空间坐标，t表示时间，则波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中c表示介质中的传播速度，∇²表示拉普拉斯算子。
该方程描述了一个在介质中传播的二阶偏微分方程。
三、有限差分方法有限差分方法是一种常用的数值计算方法，其基本思想是将连续函数离散化为离散点上的函数值，并通过差商逼近导数或偏导数，从而得到原问题的近似解。
对于波动方程，在空间上进行网格剖分，并在每个网格点处离散化u(x, t)和其导数，可以得到如下形式的差分格式：(u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δt² = c²((u(i+1, j) - 2u(i, j) + u(i-1, j)) / Δx² + (u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δy²)其中i表示空间网格点的横坐标，j表示纵坐标，Δt、Δx和Δy分别为时间和空间上的步长。
这个差分方程可以通过迭代求解得到波动方程的数值解。
具体来说，可以使用显式差分法或隐式差分法进行求解。
四、应用波动方程有限差分方法在地震勘探、声学建模等领域得到广泛应用。
例如，在地震勘探中，可以通过模拟地震波传播过程得到地下岩层的结构信息；在声学建模中，可以计算音场传播过程，并预测噪声污染等问题。
五、总结本文介绍了波动方程有限差分方法的原理、方法和应用。
有限差分方法是一种常用的数值计算方法，在许多领域都有广泛应用。
对于波动方程这类偏微分方程，有限差分方法是一种有效的求解方法。
5第五讲典型模型方程-波动方程的差分格式
波动方程的几种差分格式该方程是一个线性方程，描述了以波速c 沿x 轴传播，可以做为了解非线性无粘性流动的初步性质的模型方程。
x p x u u t u ∂∂-=∂∂+∂∂ρ1)(1)(1022222222y v x v y p y v v x v u t v yu x u x p y u v x u u t u y v x u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ρμρρμρ不可压缩Navier–Stokes 方程一维无粘性仅含对流项，故该方程也可以称为一维对流方程对流项扩散项线性化，压强梯度略去模型方程：波动方程（wave equation ）波动方程（wave equation ）x t cu u -=1-D 波动方程是一个二阶双曲型PDE:表示声波以波速c 在单一物质中转播的控制方程。
同样性质的方程还有一阶PDE ：（1）（2）式（1）可由（2）推导出xt tt cu u -=xxtx cu u -=式（2）可得：，分别对此式求t 和x 的导数得：xx xx xt tt u c cu c cu u 2)(=--=-=即式（1）=+-cF cF 初值问题的精确解由数学物理方程得：由（4）分别求t 、x 导数，代入（2）式可以验证解的正确性，即：（3）（4）：：时间、空间前差时间前差、空间中心差1、2、都为一步显格式每个方程中未知量只有，都为一步显格式1+n j u 两种差分方程的时间项都为一阶精度。
V on Neumann 稳定性分析方法，此两种显格式都是无条件不稳定的，因此，这两种差分方程没有实际意义。
显格式: 递推;而不同求解方程组如下:c t x ν∆=∆后面令:k xβ=∆01=∆-+∆-∆+x A e A c t A A nx ik n n n 差分方程1、V on Neumann 稳定性分析011=∆-+∆-∆xe c t G x ik ()011=-+-∆x ik e G ν()()()βνβνββνsin cos 11sin cos 1-++-=-+-=i i G x k xt c ∆=∆∆=βν,其中()()βννβνβνβννβννcos 1121sin cos 2cos 22cos 12222222-++=+--+++=G 12≥G 无条件不稳定0cos 1,0≥->∆∆=βνx t c 其中一阶迎风格式，(upstream, windward)时间前差、空间后差FTBS：V on Neumann 稳定性分析，条件稳定：波右传,迎风若C<0,迎风? FTFS!修正方程（modified equation）：为了分析色散性和耗散性差分方程（4.10）式，右端项为T.E.，包含时间导数项，将（4.10）式的右端项变换为不含时间导数项的方程（自循环消元法），即为修正方程，如下注意：自循环消元法针对差分方程（4.10）式，不要利用原来的PDE，即（4.2）式，PDE方程的精确解不一定满足差分方程，而修正方程本质上表示的是差分方程不含时间导数项的另外一种形式，即修正的差分方程。
求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用
求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用波动方程是描述波动现象的重要方程，广泛应用于物理学、地震学等领域。
在实际应用中，我们常常需要求解高维波动方程，这对计算的精度和效率提出了挑战。
近年来，一种高精度紧致LOD（Locally Odconcentrated Discretization）格式被广泛应用于求解高维波动方程，并在很多领域取得了重要的成果。
高维波动方程的求解可以通过数值方法来实现，其中较为常用的有有限差分法、有限元法、谱方法等。
与传统方法相比，LOD格式具有更高的精度和计算效率。
下面将介绍两种常用的高精度紧致LOD格式——Spectral LOD和Finite Difference LOD，并介绍其相应的软件使用方法。
1. Spectral LODSpectral LOD是一种基于谱方法的高精度紧致LOD格式，其主要思想是通过适应性的局部分解来提高计算精度。
具体步骤如下：（1）通过谱方法将高维波动方程离散化为一组常微分方程。
（2）对谱方法得到的方程进行LOD处理，将其分解为低频和高频部分。
（3）使用高精度差分方法对低频部分进行求解，使用适应性较差的差分方法对高频部分进行求解。
（4）将低频部分和高频部分的求解结果叠加得到最终的数值解。
软件使用方法如下：（1）下载和安装相应的谱方法求解器，如SpectralLOD Solver。
（2）编写高维波动方程的输入文件，包括方程的参数和边界条件等。
（3）运行求解器，得到高维波动方程的数值解。
2. Finite Difference LODFinite Difference LOD是一种基于有限差分法的高精度紧致LOD格式，其主要思想是通过适应性的局部差分格式来提高计算精度。
具体步骤如下：（1）通过有限差分法将高维波动方程离散化为一个差分方程组。
（2）对差分方程组进行LOD处理，将其分解为低频和高频部分。
【精品】差分法malab解波动方程
【关键字】精品波动方程的差分逼近1、 问题介绍：波动方程是描述波在同性均质弹性介质内传播的微分方程，它也是线性双曲型偏微分方程的最简模型。
它的一般形式是：2、 区域剖分：构造上式的差分逼近，取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线作矩形网格。
3、 离散格式：显格式：于网点),(n j t x 用Taylor 展式，并整理方程得：隐格式： 上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第1-n 层、 n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ，得到下列差分格式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2),()()1()]()([2),(211111211211111221110210102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττϕϕϕϕϕ其中10≤≤θ是参数。
当0=θ时就是显格式，而当41=θ时可以证明该格式绝对稳定。
隐格式的矩阵形式是：其中：4、格式稳定性：1）显格式：显格式稳定的充分必要条件是：网格比1<r 。
2）隐格式：当41=θ时隐格式绝对稳定。
5、数值例子：当1=a 时可以证明 )(),(t x e t x u +=是波动方程xu a t u 2222∂∂=∂∂ 的一个解析解。
那么，为了更精确的得到误差估计，在这里选取)(),(t x et x u +=作数值实验。
取1010≤≤≤≤t x ，并且将时间步长20等分，空间步长10等分（即10/1,20/1==h τ）。
这样网格比12/1/<==τah r ，从稳定性分析可知，此时格式稳定。
经计算得到下列数值结果：（注：下列数值结果按层排序，每层按x从小到大排序，每个结果包含三部分，分别是：估计值、真实值、误差）第1层1.161812 1.161834 0.000022 1.284001 1.284025 0.000024 1.419040 1.419068 0.0000271.568282 1.568312 0.000030 1.733220 1.733253 0.000033 1.915504 1.915541 0.0000372.116960 2.117000 0.000040 2.339602 2.339647 0.000045 2.585660 2.585710 0.000049第2层1.221365 1.221403 0.000038 1.349812 1.349859 0.000047 1.491773 1.491825 0.0000521.648664 1.648721 0.000057 1.822055 1.822119 0.0000642.013683 2.013753 0.0000702.225463 2.225541 0.000078 2.459517 2.459603 0.000086 2.718201 2.718282 0.000081第3层1.283981 1.284025 0.000044 1.419001 1.419068 0.000066 1.568237 1.568312 0.0000751.733170 1.733253 0.000083 1.915450 1.915541 0.0000912.116899 2.117000 0.0001012.339535 2.339647 0.000111 2.585590 2.585710 0.000120 2.857562 2.857651 0.000090第4层1.349816 1.349859 0.000043 1.491745 1.491825 0.000080 1.648626 1.648721 0.0000951.822014 1.822119 0.0001052.013636 2.013753 0.000116 2.225412 2.225541 0.0001282.459462 2.459603 0.000141 2.718142 2.718282 0.0001403.004087 3.004166 0.000079第5层1.419029 1.419068 0.000038 1.568226 1.568312 0.000086 1.733142 1.733253 0.0001111.915416 1.915541 0.0001252.116862 2.117000 0.000138 2.339494 2.339647 0.0001532.585546 2.585710 0.000164 2.857510 2.857651 0.0001413.158134 3.158193 0.000059第6层1.491791 1.491825 0.000034 1.648638 1.648721 0.000084 1.821997 1.822119 0.0001222.013611 2.013753 0.000142 2.225383 2.225541 0.000157 2.459431 2.459603 0.000172 2.718108 2.718282 0.0001743.004043 3.004166 0.000123 3.320077 3.320117 0.000040第7层1.568281 1.568312 0.000031 1.733177 1.733253 0.000076 1.915416 1.915541 0.0001252.116846 2.117000 0.000154 2.339474 2.339647 0.000173 2.585525 2.585710 0.000185 2.857485 2.857651 0.0001663.158101 3.158193 0.000092 3.490316 3.490343 0.000027第8层1.648692 1.648721 0.000029 1.822052 1.822119 0.0000672.013632 2.013753 0.0001212.225380 2.225541 0.000161 2.459420 2.459603 0.000183 2.718096 2.718282 0.0001863.004025 3.004166 0.000141 3.320059 3.320117 0.000058 3.669279 3.669297 0.000017第9层1.733226 1.733253 0.000027 1.915482 1.915541 0.0000592.116891 2.117000 0.0001092.339487 2.339647 0.000160 2.585525 2.585710 0.000185 2.857481 2.857651 0.0001703.158092 3.158193 0.000101 3.490313 3.490343 0.000030 3.857417 3.857426 0.000008第10层1.822096 1.822119 0.0000232.013700 2.013753 0.000052 2.225446 2.225541 0.0000952.459455 2.459603 0.000148 2.718110 2.718282 0.0001723.004029 3.004166 0.0001373.320061 3.320117 0.000056 3.669288 3.669297 0.0000084.055204 4.055200 0.000004第11层1.915523 1.915541 0.0000182.116954 2.117000 0.000046 2.339567 2.339647 0.0000792.585584 2.585710 0.000125 2.857511 2.857651 0.0001413.158106 3.158193 0.0000873.490329 3.490343 0.000014 3.857435 3.857426 0.0000104.263132 4.263115 0.000018第12层2.013740 2.013753 0.000013 2.225503 2.225541 0.000038 2.459540 2.459603 0.0000642.718191 2.718282 0.0000913.004079 3.004166 0.000087 3.320090 3.320117 0.0000273.669318 3.669297 0.0000214.055230 4.055200 0.000030 4.481721 4.481689 0.000032第13层2.116993 2.117000 0.000007 2.339621 2.339647 0.000026 2.585665 2.585710 0.0000442.857607 2.857651 0.0000453.158178 3.158193 0.000015 3.490378 3.490343 0.0000353.857478 3.857426 0.0000524.263170 4.263115 0.000055 4.711515 4.711470 0.000045第14层2.225540 2.225541 0.000001 2.459592 2.459603 0.000011 2.718265 2.718282 0.0000173.004180 3.004166 0.000014 3.320184 3.320117 0.000067 3.669391 3.669297 0.0000944.055285 4.055200 0.000085 4.481773 4.481689 0.000084 4.953089 4.953032 0.000057第15层2.339653 2.339647 0.000006 2.585719 2.585710 0.000010 2.857675 2.857651 0.0000243.158275 3.158193 0.000082 3.490491 3.490343 0.000148 3.857575 3.857426 0.0001504.263241 4.263115 0.000127 4.711583 4.711470 0.0001135.207048 5.206980 0.000068第16层2.459619 2.459603 0.000016 2.718319 2.718282 0.0000373.004247 3.004166 0.0000813.320275 3.320117 0.000158 3.669515 3.669297 0.0002184.055406 4.055200 0.0002064.481866 4.481689 0.000177 4.953174 4.953032 0.0001415.474030 5.473947 0.000082第17层2.585741 2.585710 0.000031 2.857725 2.857651 0.0000743.158343 3.158193 0.0001503.490577 3.490343 0.000234 3.857702 3.857426 0.0002764.263378 4.263115 0.0002644.711703 4.711470 0.0002335.207152 5.206980 0.000172 5.754702 5.754603 0.000099第18层2.718335 2.718282 0.0000533.004290 3.004166 0.000124 3.320343 3.320117 0.0002263.669602 3.669297 0.0003054.055527 4.055200 0.000327 4.482013 4.481689 0.0003244.953321 4.953032 0.0002885.474155 5.473947 0.0002086.049766 6.049647 0.000118第19层2.857735 2.857651 0.0000843.158380 3.158193 0.000187 3.490645 3.490343 0.0003023.857793 3.857426 0.0003684.263492 4.263115 0.000377 4.711853 4.711470 0.0003835.207320 5.206980 0.000340 5.754852 5.754603 0.0002496.359959 6.359820 0.000140第20层3.004290 3.004166 0.000124 3.320374 3.320117 0.000257 3.669668 3.669297 0.0003714.055622 4.055200 0.000422 4.482123 4.481689 0.000434 4.953469 4.953032 0.0004375.474336 5.473947 0.0003886.049943 6.049647 0.000296 6.686058 6.685894 0.000164上述数值结果是按照显格式分量形式用C编程所求得。
紧致差分格式
紧致差分格式紧致差分格式（Compactly Supported Finite Difference Formulation）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
它的特点是既能有效地处理高阶精度问题，又能保证数值解的稳定性和收敛性。
紧致差分格式最大的特点是它的数值计算节点只限于离散空间范围内的邻近节点。
也就是说，只有最近的节点之间进行计算，而不受整个空间范围的限制。
这种局部性的计算方式使得紧致差分格式具有较高的计算效率和灵活性。
在实际应用中，紧致差分格式广泛应用于流体力学、热传导等领域的数值计算中。
例如，在模拟流体的传输过程中，可以通过紧致差分格式将流体动力学方程转化为有限差分方程，从而得到流体在空间和时间上的数值解。
紧致差分格式的求解过程主要包括两个步骤：离散化和迭代求解。
首先，通过将原始的偏微分方程转化为差分方程，将问题在空间和时间上离散化。
其次，通过迭代求解逼近数值解。
在迭代求解的过程中，需要设置适当的边界条件和初始条件，以确保数值解的准确性。
紧致差分格式的优点是可以获得较高的数值精度和稳定性。
由于它的节点计算只限于离散空间范围内的邻近节点，可以在不增加计算复杂度的情况下提高数值解的精度。
与其他数值方法相比，紧致差分格式更加准确和可靠。
然而，紧致差分格式也有一些限制。
首先，它对初始条件和边界条件较为敏感，不同的条件可能会导致不同的数值解。
其次，紧致差分格式对问题的网格剖分要求较高，过于粗糙或者过于细致的网格都可能导致数值解的不准确性。
总之，紧致差分格式是一种重要的数值计算方法，广泛应用于偏微分方程的数值求解中。
它的局部性计算方式使得其具有较高的计算效率和灵活性，同时能够保证数值解的准确性。
但在使用时需要注意初始条件和边界条件的设置，以及合理选择网格剖分，以获得更为可靠和准确的数值解。
高精度差分格式WNND的构造及数值实验
高精度差分格式WNND的构造及数值实验
赵海洋;刘伟;万国新
【期刊名称】《国防科技大学学报》
【年(卷),期】2002(024)006
【摘要】基于二阶NND格式,通过引入Jiang和Shu的加权思想以及具有TVD 性质的三阶Runge-Kutta方法,构造了一种时间、空间均达到三阶精度的WNND 格式.分别以波动方程、一维Euler方程和三维全Navier-Stokes方程为例,通过对WNND格式的数值结果分析表明,WNND格式引起的耗散和波动较小,并且能够高精度地分辨场间断.
【总页数】4页(P11-14)
【作者】赵海洋;刘伟;万国新
【作者单位】国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073;国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073;国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】V411.3
【相关文献】
1.辛差分格式的阶条件和高阶格式的构造 [J], 朱文杰
2.高精度有限差分格式的构造与分析 [J], 徐会林;刘明
3.高精度的数值积分对偶格式及其数值实验 [J], 徐伟;郑华盛;陈凌蕙
4.构造定常对流扩散方程高精度紧致差分格式的新方法 [J], 田振夫
5.三阶WNND格式的构造及在复杂流动中的应用 [J], 刘伟;赵海洋;谢昱飞
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紧致差分格式
紧致差分格式
紧致差分格式是一种数值求解偏微分方程的方法，其主要特点是在离散化时使用了较少的节点，同时保持较高的精度。
在紧致差分格式中，我们将要求解的偏微分方程离散化为一个代数方程组，通过求解该方程组来得到数值解。
为了实现高精度，紧致差分格式通常会使用高阶的差分算子，例如二阶中心差分算子或者非中心差分算子。
常见的紧致差分格式包括：
1. 二阶中心差分格式：使用二阶中心差分算子来逼近偏微分方程中的导数项，从而得到一个二阶精度的差分格式。
2. 基于算子分裂的紧致差分格式：将整个偏微分方程分解为几个部分，在每个部分中采用不同的差分格式来逼近，然后通过交替迭代的方式求解。
3. 符号差分法：利用泰勒级数展开，将偏微分方程中的导数项用差分算子展开，然后通过合理的组合得到一个高精度的差分格式。
紧致差分格式一般适用于光滑的问题，并且需要在边界处进行一定程度的调整，以满足边界条件。
同时，紧致差分格式通常需要解一个线性方程组，因此对于大规模问题可能需要使用高效的求解算法。
二维波动方程的一种高精度紧致差分方法
（一 ） —２） ＝ ） Ａ （ ， （ ； Ｔ２ ＋ ×
ｅ
，
Ｊ
＋Ｒ
０≤ ， ≤ 一１， Ｏ≤ ｎ≤ Ⅳ 一 １
用 ｒ表示时 间步 长 ， ｈ表 示空 间步 长 ， １给 出 了 当 ７＝ 表 －
（） ８
ｅ ＝ｏ
ｈ ［ （ Ｌ 曰
Ａ
（
３ 数值 验 证
对于式 （ ）一（ ） 令 （ ｙ ￣ ， ｉ（ ）ｉ（ｒ） （ １ ４， ， ）＝ ２ ｒｎ ｓ Ｔ ， ， ｒ ｓ ｎ ｙ
Ｙ ）＝０ｇ ， ，） ， 问题 的精确解 为 ／ ， ，）＝ ｉ（ 订 ） ，（ Ｙ ｔ ＝０ 则 ２ Ｙ ｔ ｓ ｔ （ ｎ ｓ （Ｔ）ｉ（ｒ） ｉ ＇ ｓ 叮 。数值 实验计算是用 Ｆ ￣ａ ７语言进行编程 ｎＩ ｎ ｙ Ｘ ｏ ｒｎ７
ｈ） 。 阶精度的数值 解。孙 志 忠 提 出 了求 解二 维波 动方 程 的 高精度交替方 向隐式 方法 ， 并且是无条件稳定 的。有关这方 面 最新 的一 些 工作 可参 见 文献 ［ ６—８ 。本文 在 此工 作基 础 之 ］
上， 利用 Ｒｃ ａ ｓｎ外推法进 一步 提 高计 算精 度 ， ｉ ｒｏ ｈｄ 最终 可得 到
ｏ≤ √≤ 一１
４ ｔ ｈ ，＝１时刻 ， 本文格 式在不 同网格步 长下误 差 的 、 、
范数 ， 以及与四阶 Ａ Ｉ Ｄ 格式 计 算结 果 的 比较 。Ｌ 范 数定 义 ２
厂］ｉ 面＝广——一 『
ｄ］ ＝ ｏ 。 ｅ
＼ ｅ ＝０
。 ≤ Ｍ
一
１
层的。即每一次时间推进都需要知道前 两个 时间步 的值 ， ０ 第
求解该 问题 精度为 Ｏ（ ＋ 。 的数值解 。 ｈ）
紧致差分格式
紧致差分格式
紧致差分格式是一种在数值计算和数值模拟中常用的数值解法。
它通过将连续的物理量分割成离散的点，并使用差分来近似导数，从而将求解微分方程的问题转化为求解代数方程的问题。
紧致差分格式的优势在于其高精度和较小的误差。
相比其他差分格式，紧致差分格式在相同离散点数的情况下能够提供更准确的解。
这是因为紧致差分格式通过使用更多的信息来近似导数，从而减小了离散误差。
紧致差分格式的核心是在相邻的离散点上使用高阶差分，以提高精度。
在一维情况下，一种常用的紧致差分格式是中心差分格式，它使用相邻的三个点来近似导数。
在二维情况下，紧致差分格式可以使用九点、五点或者七点的近似来计算二阶导数。
这些格式都可以通过解线性方程组的方式进行求解。
在应用紧致差分格式时，我们需要注意几个问题。
首先，边界条件的选择对于解的精度和稳定性至关重要。
通常，我们可以使用一阶导数的数值近似来设定边界条件。
其次，选择合适的离散点数和步长对于保证数值解的准确性也非常重要。
较小的步长会提高解的精度，但同时也会增加计算的复杂度。
总而言之，紧致差分格式是一种可靠且高精度的数值解法。
通过合理选择离散点和适当的近似方式，我们可以使用紧致差分格式对微分方程进行数值求解。
这种方法不仅可以应用于科学计算、工程仿真
等领域，还可以用于前沿科学研究中的模拟和模型验证。
因此，了解紧致差分格式的原理和应用，对于提高数值计算的准确性和效率具有重要的指导意义。
高等计算流体力学讲义(5)
（15）
（14）式可以改写为：
ˆ Δu 1 uin +1 = uin − C i−
2
（16）
ˆ = C − D / r , r = Δu 1 Δ u 1 C i− i+
2
2
Harten 的 TVD 条件此时为：
1 O ≤ c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − 1 + β1ψ i + 1 ] ≤ 1 2 2 r
2
2
（14）
C = c[α 0 + ( β 0 − α 0 )φ i − 1 ]
2
D = −c[α 1 + ( β 1 − α 1 )φ i − 1 ]
2
5
Δu i − 1 = u in − u in−1
2
Δu i + 1 = u in+1 − u in
2
由（14）式，我们希望选取适当的 α0、β0、φ，使得 TVD 条件（7）式得到满足，且格 式为二阶精度。
uin +1 = ∑ bk uin+ k
k = kl kr
（2）
是单调格式的充分必要条件是 ∀k ， bk ≥ 0 。 ★ Godunov 定理 5．保单调性 线性单调格式最多能达到一阶精度。
假定 ui 是单调的，如果通过（1）式得到的 ui
{ }
n
{ }具有与 {u } 相同的单调性，则说差
n +1 n i
f jn+1/ 2 = f jn−1/ 2
+1 un − un j j
a n 1 n (u j +1 + u n (u j +1 − u n j)− j) 2 2λ a n n = (u n (u n j + u j −1 ) − j − u j −1 ) 2 2λ
8-高阶紧致格式
§10. 高阶紧致差分格式先考虑导数的差分近似。
若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 ()p h O 。
要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。
但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。
通常情形，构造高阶格式需要更多的点。
例如：两点差分近似()()()f x h f x f x h+-¢»只有一阶精度。
而使用三个点，就可以构造出二阶近似()()()()2432f x h f x h f x f x h-+++-¢»精度越高，需要的点就更多。
对于中心差分近似也有类似的结果。
但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。
例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。
设 0a > 。
0duau dx+= （01x < ） ， ()0u =α 取 M 个网格，空间步长 1h M= ，网格点记作 j x jh=（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 ()j j u u x » 。
因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有10j j j u u au h--+= （1,2,3,,j M =L ）实际的计算方案为0u =α ， 111j j u u ha-=+ （1,2,3,,j M =L ）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。
如果采用二阶差分近似，则成为12340j j j j u u u au h---++= （2,3,,j M =L ）这个格式具有二阶精度。
可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。
而初始条件只提供了 0u =α 。
因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。
对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。
波动方程求解方法
常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。
1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。
有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。
有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。
有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。
同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。
有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。
有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。
在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网格线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。
目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。
RLW方程的高精度守恒紧致差分格式
x +
j)
j)
j)
j)
∑
è
12ø j=1
12j
=1
j=1
j=1
J-1
由边界条件(
12)整理可得
J-1
εh
εh3
2
2
[(
[(
^
^
un
un
x xx
x =0.
j )]
j )]
∑
∑
2 j=1
24 j
=1
J-1
J-1
h
h
n+1
n
n-1
(
).
uj
un
+uj )= ∑ (
j +uj
∑
2j
2
=1
j=1
对上式作递推即可得 Qn =Qn-1 = … =Q0 .
n =0,
1,…,
N -1.
= … =E ,
x =E
j-1 -1
j +uj+1 )[
j )]
∑
∑(
12 l
=1 j=1
对式(
10)两边同时乘以 h,并对j 从 1 到 J-1 求和可得
J-1
J-1
J-1
J-1
h2 ö÷
h3
æ
n
n
(
^
^
^
^
h∑ (
un
h∑ (
un
u
u
t -μ ç1xx
t +h∑ (
11)和如下四
阶两层线性格式来计算 u1 :
1
1
1
h2 ö÷ 0
h2
ε
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求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式姜蕴芝;葛永斌【摘要】针对一维波动方程,空间采用四阶Padé逼近,时间采用中心差分离散得到了一种时间二阶、空间四阶精度的显式紧致差分格式,其截断误差为O(τ2+h4).之后采用截断误差余项修正的方法对时间离散进行改进,改进后的格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即格式具有整体四阶精度.然后,通过Fourier方法分析了2种格式的稳定性.最后,通过数值实验验证了本格式的精确性和可靠性.%In this paper,an explicit compact difference scheme is obtained for solving the one dimensional wave equation.The truncation error of the scheme is O(τ2 + h4).It's constructed by applying the fourth-order accurate Padé approximation in space and the second-order accurate central difference in time.Then,the remainder of the truncation error correction method is employed to improve the accuracy of the discretization of time,the truncation error of the improved scheme is O(τ4 + τ2 h2 + h4),which means the scheme has an overall fourth-order accuracy.And then,the stability conditions of the two schemes are obtained by the Fourier method.Finally,the accuracy and the reliability of the present two schemes are verified by numerical experiments.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)002【总页数】7页(P177-183)【关键词】波动方程;Padé逼近;紧致格式;显式差分;稳定性【作者】姜蕴芝;葛永斌【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O242.1波动方程是一类重要的双曲型偏微分方程，在数学、物理、化学等领域内有着广泛的应用[1].对这类方程进行数值求解的方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法等.就有限差分法而言，对该类问题研究的理论成果有：文献[2]采用二阶中心差分格式和非均匀网格离散，提出了一种求解一维波动方程在非均匀时间网格上的三层显式差分格式，该格式具有一阶精度；文献[3]利用泰勒级数展开及待定系数法建立了一种求解一维波动方程的三层隐格式，该格式是条件稳定的，并且具有四阶精度；文献[4]将Runge-Kutta方法应用到哈密顿系统中并与辛格式相结合，提出了求解一维波动方程的一类显式辛方法，该方法具有二阶精度，并且是条件稳定的；文献[5]采用三次样条公式推导出精度分别为O(τ2+h2)、O(τ2+h4)、O(τ4+h2)和O(τ4+h4)的4种差分格式，并采用Fourier方法分析了格式的稳定性；文献[6]对一维二阶波动方程提出了具有二阶精度的精细时程积分法，该方法能够在时间方向上精确计算，空间方向的局部截断误差为O(h2)，并且该方法是无条件稳定的；文献[7]通过加权平均和紧致差分离散的思想提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的隐式紧致差分格式；文献[8]在Crank-Nicolson格式的基础上设计了重叠型区域分解的并行算法，该算法的最优逼近阶为O(τ2+h2)；文献[9]利用三次样条插值，提出了求解一维波动方程的一种三层隐式差分格式，该格式最优能够达到时间二阶，空间四阶精度，并且是无条件稳定的；文献[10]通过四次样条函数与广义梯形算法相结合的方法提出了一维波动方程的一类两层差分格式，其精度为O(τ2+h4)，当选择适当的参数时，其精度可提高到O(τ3+h4)；文献[11]采用四阶紧致差商逼近公式及加权平均思想，提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的交替方向隐式格式，前者是无条件稳定的，后者是条件稳定的；文献[12]提出了一种求解一维波动方程的高精度隐式差分格式，该格式是无条件稳定的，并且具有时间二阶、空间四阶精度.本文将建立2种显式紧致差分格式，为此，考虑如下一维波动方程的初边值问题:其中,u(x,t)是待求未知函数，a为波动系数，f(x,t)为非齐次项，φ(x)、ψ(x)、g0(t)、g1(t)为已知函数，且具有充分的光滑性.设时间步长为τ，空间步长为h，网格节点为(xj,tn)，其中xj=jh，tn=nτ，j=0,1,2,…,N，n>0，用表示u(xj,tn)的近似值.1.1 CTFS格式对初始时间层的离散.利用泰勒展开公式有将(2)式代入(4)式中，进行整理并舍去其截断误差项有计算的值.对空间内部节点采用文献[13]中的四阶紧致差分格式进行逼近，则有对于空间边界节点的处理，由(1)式与(3)式可得时间的推进.对时间方向上的推进，采用中心差分格式有对上式进行整理，并舍去其截断误差项有(10)式即为所构造的显式紧致差分格式，记为CTFS格式.等号右端的项采用(6)～(8)式通过追赶法进行计算，初始时间步由(5)式进行计算.通过差分格式的构造过程不难发现，该格式是显格式，其截断误差为O(τ2+h4).1.2 FTFS格式为了使时间精度与空间精度能够相匹配，使格式整体精度达到四阶，下面对上述差分格式进行改进，进一步提高时间精度，为此，对初始时间层的离散采用文献[7]中的方法，有其中λ=τ/h.对于时间二阶导数项的离散，采用中心差分格式离散后保留其截断误差主项，可得又由(1)式可得将上式代入(12)式中有对(14)式进行整理，并舍去其截断误差项有又由(1)式，对上式进行变形有(15)式即为整体四阶精度的显式紧致差分格式，记为FTFS格式.由格式的构造过程可知，该差分格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4).下面采用Fourier方法分析本文所提2种格式的稳定性.假设源项f精确无误差，令=ηneiωj，其中ξ、η为振幅，ω为相位角，为虚数单位.引理 1[1] 实系数二次方程μ2-bμ-c=0的根按模不大于1的充分必要条件为|b|≤1-c≤2.对于(6)式有对上式进行化简整理有对于CTFS格式(10)，令，将其写为矩阵的形式有令Uj=(uj,vj)T，并将(17)式代入进行整理有从而可得CTFS格式(10)的误差增长矩阵为令λ=τ/h，r=aλ,则得上述误差增长矩阵的特征方程为其中,，c=-1.因此，可得格式(10)稳定的充要条件为即.进而可得稳定性条件为|r|，即|a|.对于FTFS格式(15)，令，将其写为矩阵的形式有令代入上式，并进行整理有将(17)式代入(24)式进行整理，可得FTFS格式的误差增长矩阵为则误差增长矩阵的特征方程为其中，因此，可得该格式稳定的充要条件为上式等价于如下2个不等式:对于不等式(28)易得由于不等式对任意ω的取值都要成立，所以有即|a|.对于不等式(29)，由求根公式易得其等式解为令，则有在y∈[0,2]时，恒有<0，故有Smin=S(y)|y=2=2，此时cos ω=-1.又由于关于对称，故有另一解为1.进而可得第二个不等式的解为，与第一个不等式取交集即得差分格式(15)的稳定性条件为，即|a|].为了验证本文所提2种格式的精确性和可靠性，现考虑如下2个具有精确解的初边值问题.问题 1[7]:其精确解为u(x,t)=sin(πt)sin(πx).问题 2 :其精确解为u(x,t)=te-πtsin(πx).表1～3给出了问题1的计算结果.表1采用本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.由于这2种格式的精度均为时间二阶、空间四阶，因此取τ=2h2，计算了t=0.5时刻取不同h时(τ也相应不同)的L∞和L2范数误差和收敛阶.eL∞和eL2范数及收敛阶的定义如下：由表1的数据可以看出，2种格式空间均达到了四阶精度，而本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表2给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，由于2种格式均具有整体四阶精度，因此取τ=h，计算了t=0.5时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式几乎具有相同的精度.表3验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32,给出了不同时间步steps(不同时间t)、不同网格比λ的计算结果.可以看出，当λ=0.8时CTFS格式是稳定的，而当λ≥1时，CTFS格式是发散的，这与本文的理论分析结果|a|是吻合的.当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这也验证了本文的理论分析结果.而文献[7]中的四阶格式的稳定性条件为因此，当|a|λ大过1之后，计算结果是发散的.表4～6给出了问题2的计算结果.表4采用了本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.取τ=h2，计算了t=1时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.同样可以看出，本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表5给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，取τ=h，计算了t=1时刻取不同时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式均达到了四阶精度，但本文FTFS格式比文献[7]中的四阶格式的计算结果更加精确.与问题1齐次问题的结果相比较，说明了本文FTFS格式更加适用于求解非齐次问题.表6验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32，给出了不同时间步、不同网格比λ的计算结果.同样可以看出，当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这与我们对该格式稳定性的理论分析结果|a|]是吻合的.本文针对一维波动方程提出了2种显式高精度紧致差分格式，2种格式的截断误差分别为O(τ2+h4)和O(τ4+τ2h2+h4)，并通过Fourier分析法分析了2种格式的稳定性，其中前一种CTFS格式的稳定性条件为|a|，后一种FTFS格式的稳定性条件为|a|].然后通过数值实验将本文格式与文献[7]中的格式的计算结果进行对比，可以看出本文格式计算结果更加精确.并且本文格式的精度、稳定性与理论分析相一致，验证了本文格式的精确性与可靠性.此外，文献[14]提出了数值求解二维波动方程的三层全隐式紧致差分格式，其精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)，为了加快迭代收敛速度，采用了多重网格方法进行加速.而本文的显式差分方法可以推广到二维，并且在二维情况下只需进行2次追赶法求解和一次显式递推计算，无需迭代，因此可望本文方法推广到二维后，在保有高精度的情况下会较文献[14]的方法具有更高的求解效率.目前，我们正在进行此方面的研究.另外，文献[15]提出了分数阶波动方程的一种差分方法，发展分数阶波动方程的显式高精度差分方法也是一个有意义的研究方向.致谢宁夏大学自然科学基金项目(ZR1407)和宁夏大学研究生创新项目(GIP2016032)对本文给予了资助,谨致谢意.【相关文献】[1] 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