《计算数论》复习提纲

连分数、简单连分数的概念、性质 每一个简单连分数都是一个实数 任一无理数都可表为无限简单连分数， 有理数的连分数表示法

实数表示为连分数：


循环连分数：


二次代数数都是循环连分数
二次方根的连分数

最佳渐近分数
有限域(ch6)

有限域
GF(pm)的结构、组成、运算
素性检测(ch8)
即 x 21, 53(mod64).
故 2n ， 0(mod4 ) 。 n 0(m od 2) 所以n是偶数，记n=2h,便有2n+1=4h+1.这样便证明了整数 的所有奇素因数必形如4h+1。又由于两个4h+1形式的数的乘积仍 为4h+1 形式的数，故 x 2 1形式的数的奇因数必为 4h+1形式的数。
例5 解同余方程
解：d=(12,30)=6, 查表ind2=24, 6|24，有解且本题有6个解， 12indx=ind2(30) 即indx≡4(mod 5) ∴ indx≡2,7,12,17,22,27(mod 30) 查模31指标表， ∴ x≡9,17,8,22,14,23(mod 31)
例6 解同余方程28x≡21(mod 35)
例4 设x为整数，证明形如 x 2 1 的整数的所有奇因都
有4h+1的形式（其中h为整数）
证明：设2n+1是整数x 2 1 的任一奇素因数，于是有
x 2 1 0(mod 2n 1), 即 x 2 1(mod 2n 1).
1 故-1是模2n+1的平方剩余，即 1. 2n 1 其中2n+1是奇素数。所以 2n 1 1(mod 4)

专门用途的因子分解方法
“rho”方法
“p-1”方法
数论在密码学上的应用(ch10)

公钥密码
RSA机制 Elgamal机制
习题
习题（续）

1.设用户A的公开参数为(NA=55，eA=23)，用户B的公开 参数为(NB=33，eB=13)，用户A应用RSA算法向用户B传 送的消息m=6时，求A发送的带签名的保密信息。 2.设用户A选取p=11和q=7作为模数为N=pq的RSA公钥体 制的两个素数，选取eA=7作为公开密钥。请给出用户A的 秘密密钥，并验证3是不是用户A对报文摘要5的签名。

剩余类环 线性同余方程的求解 高次同余方程的求解
同余方程的求解方法




同余方程组的求解方法 原根和指数 缩系 应用
二次剩余（ch3）
二次剩余的概念 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 雅可比符号 重点：二次同余方程有解的判断与求解

连分数(ch5)

连分数的定义和性质：
《计算数论》复习提纲
整数的因子分解(ch1)

1.整数的唯一分解定理 2.欧几里德算法
最大公因子的求法 最大公因子的整数线性表示 模n的逆元 一元线性同余方程的求法


Mersenne素数 Fermat素数
同余 （ch2）

同余，简化了数论中的许多问题. 同余的基本性质
证：∵ q=8n+7,
2
4 n 3
2
q 1 2
2 q 1(modq)
∴ q |Mp，∴ Mp不是素数。
例9 若p和q=4p+1均为奇素数，则2是模q的一个原根。
2 x 例 解同余式 57(mod64)
解：因为
57 1(mod 8) ，所以方程有4解。
把x 2 57(mod8)的解记为x (1 4t 3 )， 2 代入x 57(mod16)，得 t3 1(mod 2)
解：∵ （28,35）=7|21， ∴ 原同余方程有解，且有7个解 原同余方程等价于4x≡3(mod 5) 而且4x≡3(mod 5)解为x≡2(mod 5) ∴ 原同余方程解为2，7，12，17，22，27， 31（mod 35）

例7 设p=4n+3是素数，试证当q=2p+1也是素数时， 梅素数Mp不是素数
记t3 1 2t4 x (5 8t4 )，
再代入x 2 57(mod32)，得 t4 0(mod 2) 记t4 2t5 x (5 16t5 )， 代入x 2 57(mod64)，得 t5 1(mod 2) t5 1 2t6 x (21 32t6 )
q 1
例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是 2pk+1形。
证：设q是2P-1的质因数，由于2P-1为奇数， ∴ q≠2， ∴ （2，q）=1。 由条件q| 2P-1, 即2P≡1（mod q） 又∵ （q,2）=1，2q-1≡1（mod q） 设i是使得2x≡1（mod p）成立最小正整数，即i是 2模p的阶。 若1<i<p，则有i|p，则与p为素数矛盾，∴ i=p, ∴ p|q-1 又∵ q-1为偶数，2|q-1, ∴ 2p|q-1,q-1=2pk,即q=2pk+1
来自百度文库
确定性算法
试除法 利用n-1、n+1的因子分解的素性检验

概率算法
Miller-Rabin算法
Lehmann算法
Solovay-Strassen
大整数因子分解算法（ch9）

通用整数因子分解方法：理论基础
连分数方法（CFRAC）， 二次筛法（QS）
*数域筛法（NFS）