《计算数论》复习提纲
数论专题讲义
数论专题讲义数论专题数论主要分为以下几个模块：1、数的整除问题2、质数合数与分解质因数3、约数与倍数4、余数问题5、奇数与偶数6、位值原理7、完全平方数8、数字谜问题一、分裂问题一.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位数和偶数位数之和的差可以除以11，那么这个数可以除以114.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，然后这个数字可以除以7、11或13【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果ca，CB，然后是C（a±b）性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果boa，Cob，然后COA用同样的方法，我们还可以得出：属性3如果a可以被B和C的乘积除，那么a也可以被B和C除。
也就是说，如果bcoa，那么么boa，coa．属性4如果数字a可以被数字B或数字C除，并且数字B和数字C是互质的，那么a必须被数字B除1/10除以和C的乘积。
也就是说，如果boa，COA和（B，C）=1，那么bcoa性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m是非零整数）；性质6如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果b｜a，和D C，然后是BD AC；1、整除判定特征如果六位数的数字是1992□ □ 可以除以105，最后两位数是多少？2、数的整除性质应用如果15abc6可以除以36，商是最小的，那么a、B和C分别是什么？3、整除综合性问题已知：23！？258d20c6738849766ab000。
第一讲计算与数论
第一讲：计算与数论*本讲提纲*1. 分数、繁分数、小数的根本计算2. 数列与数表的计算问题3. 分数与整数的裂项4. 数论局部〔整除★、质数与合数、余数★〕5.进位制与取整计算局部：一、 分数、小数的根本计算知识点：运算律的应用；凑整法；添去括号；定义新运算。
1、请直接写出答案。
〔1〕31－51= 〔2〕1.25×32×0.8= 〔3〕43×4÷4×43= 2.计算下面各题，写出计算过程。
11÷[116×(43＋61)] 76×20+16×71－71×10 [19.08＋〔3.2－0.299÷0.23〕]×0.25 43÷[53＋52×〔1－83〕] 2006÷200720062006＋2008124112161311481161814121+++++++ 4.6×183+8.4÷118－183×5 (595－1＋394)×〔7.6÷54＋252×1.25〕 规定〔3〕＝1×2×3 〔4〕＝2×3×4 〔5〕＝3×4×5 …〔10〕＝8×9×10如果 1112021(22)⨯－＝（）（），那么□是_______________。
规定a ⊕b=a+(a+1)+(a+2)+…+〔a+b-1〕,(a,b 均为自然数,b ＞a).如果x ⊕10=65,那么x=。
二、 数列、数表的计算知识点：等差数列；等比数列；1.计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 2.计算：20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋200420023.计算：1+2+4+8+16+32+……+10244.下面是按规律排列的三角形数阵：（1） 此数阵第12行所有数的总和是多少？（2） 此数阵第2022行左起第二个数是多少？5.把正整数依次排成以下数阵：求（1） 第20行第10列是哪个数？（2） 第10行第20列是哪个数？三、 分数裂项、整数裂项1、计算：7215614213012011216121+++++++ 2、计算：11111144771010131316++++⨯⨯⨯⨯⨯ 3、计算：)25231751531311(25⨯++⨯+⨯+⨯⨯ 4、计算：1311241192097167512538314⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 5、计算：20142013433221⨯+⨯+⨯+⨯ 四、 比拟与估算1、把0．66，66．6％，0．67，32 用“<〞连接起来 2、比拟以下5个数，从小到大排列：1，••24.0，73，1.667，35 3、求数11010102101011010010 +++=a 的整数局部。
(完整版)数论知识点总结
(完整版)数论知识点总结1. 整数与整除性质整数是数的基本单位，整除是整数相除所得到的商是整数的关系。
- 整数运算：加法、减法、乘法、除法。
- 整数性质：正整数、负整数、零。
- 整数除法：被除数、除数、商、余数。
2. 质数和合数质数是只能被1和自身整除的正整数，合数是除了1和本身外还能被其他正整数整除的正整数。
- 判断质数：试除法、素数筛法。
- 质因数分解：将一个合数分解成质因数的乘积。
3. 最大公约数和最小公倍数最大公约数是一组数的最大公因数，最小公倍数是一组数的最小公倍数。
- 欧几里得算法：用辗转相除法求最大公约数。
- 求最小公倍数：将数分解成质因数，再取每个质因数的最高次幂相乘。
4. 同余定理同余定理是描述整数之间关系的定理。
- 同余关系：如果两个整数对于同一个模数的除法所得的余数相等，则它们对于这个模数是同余的。
- 同余定理：如果a与b对于模数m同余，那么它们的和、差、积也对于模数m同余。
5. 欧拉函数欧拉函数是比给定正整数小且与它互质的正整数的个数。
- 欧拉函数公式：对于正整数n，欧拉函数的值等于n与所有小于n且与n互质的正整数的个数。
6. 莫比乌斯函数莫比乌斯函数是一个常用于数论的函数。
- 莫比乌斯函数的定义：对于任何正整数n，莫比乌斯函数的值分为三种情况，分别是μ(n) = 1，μ(n) = -1，μ(n) = 0。
7. 勒让德符号勒让德符号是用来判断一个整数是否是二次剩余的符号。
- 勒让德符号的定义：对于正整数a和奇素数p，勒让德符号的值是一个取值为-1、0或1的函数。
- 勒让德判别定理：如果勒让德符号等于1，则a是模p的二次剩余；如果勒让德符号等于-1，则a不是模p的二次剩余。
8. 素数定理和费马小定理素数定理和费马小定理是数论中的重要定理。
- 素数定理：对于足够大的正整数n，小于等于n的素数的个数约为n／(ln(n)-1)。
- 费马小定理：如果p是素数，a是不是p的倍数的正整数，则a^(p-1)与模p同余。
《计算数论复习提纲》课件
计算数论在信息科学中也有着广泛的应用，如数 据加密、信息隐藏、数字水印等领域。
计算数论的发展历程
古代数学时期
01
古代数学家就开始研究与计算数论相关的内容，如欧几里得算
法用于求两个整数的最大公约数。
近代数学时期
02
随着数学的发展，越来越多的数学家开始关注计算数论，如费
马小定理、欧拉定理等。
计算机技术发展时期
分治算法与快速排序
分治算法
分治算法是一种将问题分解为若干个子问题 ，递归地解决子问题，并将子问题的解合并 为原问题的解的算法。快速排序是分治算法 的典型例子，通过选择一个基准元素，将数 组分为两部分，小于和大于基准的元素，然 后递归地对这两部分进行排序。
快速排序
快速排序是一种高效的排序算法，其平均时 间复杂度为O(nlogn)。快速排序的基本思
数字签名应用
数字签名广泛应用于电子政务、电子商务和网络安全等 领域。例如，在电子投票中，数字签名可以确保投票的 匿名性和不可篡改性。
密码学中的数论应用
数论在密码学中的应用
数论作为数学的一个分支，为密码学提供了丰富的理 论基础和工具。例如，基于数论的Diffie-Hellman密 钥交换协议实现了安全通信的前提条件——双方在不 安全的通道上协商出一个安全的密钥。
03
计算数论在密码学、计算机科 学、信息科学等领域有着广泛 的应用。
计算数论的应用领域
1 2 3
密码学
计算数论提供了许多加密算法和哈希函数的基础 ，如RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换协议等 。
计算机科学
计算数论在计算机科学中有着广泛的应用，如计 算机图形学、计算机密码学、计算机算法设计等 领域。
数论初步例题和知识点总结
数论初步例题和知识点总结数论是数学的一个重要分支，主要研究整数的性质和它们之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些例题来讲解数论中的常见知识点。
一、整除整除是数论中最基本的概念之一。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。
例如：24÷6 ＝ 4，没有余数，所以 6 ｜ 24。
例题：证明若 a ｜ b 且 a ｜ c，则对于任意整数 m，n，有 a ｜（mb ＋ nc)。
证明：因为 a ｜ b ，所以存在整数 k1 使得 b ＝ k1a；同理，因为a ｜ c ，所以存在整数 k2 使得 c ＝ k2a 。
那么 mb ＋ nc ＝ m(k1a) ＋ n(k2a) ＝（mk1 ＋ nk2)a 。
因为 mk1 ＋ nk2 是整数，所以 a ｜（mb ＋ nc) 。
二、最大公因数和最小公倍数两个或多个整数公有的因数称为公因数，其中最大的一个称为最大公因数，记作（a, b) 。
两个或多个整数公有的倍数称为公倍数，其中最小的一个称为最小公倍数，记作 a, b 。
求最大公因数和最小公倍数可以使用质因数分解法。
例题：求 36 和 48 的最大公因数和最小公倍数。
36 ＝ 2×2×3×3，48 ＝ 2×2×2×2×3 。
它们公有的质因数是 2×2×3 ＝ 12，所以（36, 48) ＝ 12 。
最小公倍数为 2×2×2×2×3×3 ＝ 144 ，即 36, 48 ＝ 144 。
三、同余如果两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，我们就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m) 。
同余具有很多性质，例如：1、反身性：a ≡ a （mod m) 。
2、对称性：若a ≡ b （mod m) ，则b ≡ a （mod m) 。
数论教学大纲
数论教学大纲数论教学大纲数论是数学中的一个重要分支，它研究整数的性质和相互关系。
在数论教学中，我们应该注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，同时也要激发他们对数学的兴趣和探索精神。
本文将从数论的基础概念、主要内容和教学方法等方面来探讨数论教学的大纲。
一、基础概念1. 整数和有理数的基本性质：包括整数的四则运算、整除性质、质数与合数等基本概念；2. 同余与模运算：引入同余的概念，介绍模运算的性质和应用；3. 素数与因子分解：讲解素数的定义和性质，以及因子分解的方法和应用。
二、主要内容1. 数论基本定理：介绍费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理等数论基本定理的证明和应用；2. 数的分拆与组合数学：探讨数的分拆问题，如整数划分问题、斐波那契数列等；引入组合数学的概念，介绍排列组合、二项式系数等基本知识；3. 算术函数与数论函数：讲解算术函数和数论函数的定义和性质，如欧拉函数、莫比乌斯函数等；4. 数的性质与问题：介绍数的性质和问题，如完全平方数、质数分布等；讲解数论中的经典问题，如哥德巴赫猜想、费马大定理等。
三、教学方法1. 理论与实践相结合：在教学中注重理论知识的传授，同时也要引导学生进行实际问题的探索和解决，培养他们的数学思维能力；2. 举一反三：通过讲解典型例题，引导学生从中总结出规律和方法，培养他们的归纳和推理能力；3. 多元化教学手段：除了传统的讲授和练习，还可以利用数学软件、数学实验等多种教学手段，提高教学效果；4. 培养数学兴趣：通过引入趣味性的数论问题和数学游戏，激发学生对数学的兴趣，增强他们的学习主动性。
数论作为一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。
在教学中，我们应该注重培养学生的数学思维能力和问题解决能力，同时也要激发他们对数学的兴趣和探索精神。
通过合理的教学大纲和教学方法，可以有效提高学生的数学素养和创新能力，为他们将来的学习和工作打下坚实的基础。
数论知识点归纳总结
数论知识点归纳总结数论是数学的一个分支，研究整数及其性质的科学。
它是由数学中最古老的领域之一，也是最重要的领域之一。
数论大部分内容都集中在整数的性质和关系，包括数的性质、数的划分、数的因子、余数、等式、方程等。
数论在许多不同的领域有很多应用，如密码学、加密技术、算法设计、计算机科学等等。
下面将对数论的一些重要知识点进行归纳总结，以便更好地理解和掌握数论的基本概念和方法。
一、整数及其性质1. 整数的性质：整数是由自然数和其相反数构成的有理数。
整数的性质包括奇数和偶数的性质、质数和合数的性质、互质数和最大公约数的性质等等。
2. 除法定理：任意两个整数a和b中，存在唯一的一对整数q和r使得a=bq+r，其中0<=r<|b|。
3. 唯一分解定理：每一个大于1的自然数都可以写成一组素数的乘积。
而且，如果一个数有两种不同的素因数分解形式，那么这两种形式只差一个或若干个单位。
4. 有限整除原理：如果一个整数被另一个不等于0的整数整除，那么这两个整数中一定有一个是整数的最大公因子。
二、数的划分1. 除法和约数：一个整数能被另一个整数整除，那么这个整数就是另一个整数的约数。
2. 素数：只有1和它本身两个因子的自然数，称为素数。
3. 合数：大于1的除了1和它本身以外还有其他因子的数，称为合数。
4. 最大公因数和最小公倍数：两个整数a和b最大的公因数称为a和b的最大公因数，最小的公倍数称为a和b的最小公倍数。
5. 互质数：两个数的最大公因数是1，就称这两个数是互质数。
三、同余和模运算1. 同余性质：如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相等，就称a与b对模m同余。
2. 同余方程：形如ax≡b(mod m)的方程称为同余方程，其中a，b，m都是整数。
3. 欧拉函数：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)是小于或等于n且与n互质的正整数的个数。
4. 模反元素：在模n的情况下，如果一个数a与n互质，那么a关于模n的乘法逆元素x 就是属于[0, n-1]的一个整数，使得ax ≡ 1 (mod n)。
《计算数论》复习提纲
x 2 1 0(mod 2n 1), 即 x 2 1(mod 2n 1).
故-1是模2n+1的平方剩余，即 1 1. 2n 1
其中2n+1是奇素数。所以 2n 1 1(mod 4)
故 2n 0(mod4，) n 0(m。od 2)
Miller-Rabin算法 Lehmann算法 Solovay-Strassen
大整数因子分解算法（ch9）
通用整数因子分解方法：理论基础
连分数方法（CFRAC）， 二次筛法（QS） *数域筛法（NFS）
专门用途的因子分解方法
“rho”方法 “p-1”方法
数论在密码学上的应用(ch10)
制的两个素数，选取eA=7作为公开密钥。请给出用户A的 秘密密钥，并验证3是不是用户A对报文摘要5的签名。
q 1
例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是 2pk+1形。
证：设q是2P-1的质因数，由于2P-1为奇数， ∴ q≠2， ∴ （2，q）=1。 由条件q| 2P-1, 即2P≡1（mod q）
公钥密码
RSA机制 Elgamal机制
习题
习题（续）
1.设用户A的公开参数为(NA=55，eA=23)，用户B的公开 参数为(NB=33，eB=13)，用户A应用RSA算法向用户B传
送的消息m=6时，求A发送的带签名的保密信息。 2.设用户A选取p=11和q=7作为模数为N=pq的RSA公钥体
实数表示为连分数：
任一无理数都可表为无限简单连分数， 有理数的连分数表示法
循环连分数：
二次代数数都是循环连分数 二次方根的连分数
最佳渐近分数
初中数论知识点
初中数论知识点一、关键信息1、整数的性质整数的分类：正整数、零、负整数整数的整除性：若整数a 除以非零整数b，商为整数，且余数为零，称 a 能被 b 整除奇数与偶数：能被 2 整除的整数是偶数，不能被 2 整除的整数是奇数2、质数与合数质数：一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除合数：除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除3、公因数与公倍数公因数：几个整数公有的因数公倍数：几个整数公有的倍数4、数的整除特征能被 2 整除的数：个位数字是 0、2、4、6、8能被 3 整除的数：各位数字之和能被 3 整除能被 5 整除的数：个位数字是 0 或 55、同余定理若两个整数 a、b 除以同一个整数 m 所得的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余6、最大公因数与最小公倍数的求法质因数分解法短除法二、整数的性质11 整数包括正整数、零和负整数。
正整数是大于 0 的整数，负整数是小于 0 的整数，零既不是正整数也不是负整数。
111 整数的整除性是数论中的重要概念。
例如，6 能被 3 整除，因为 6÷3 ＝ 2，余数为 0。
112 奇数和偶数具有不同的性质。
奇数可以表示为 2n ＋ 1 的形式，其中 n 为整数；偶数可以表示为 2n 的形式。
三、质数与合数21 质数是数论中的基本概念，如 2、3、5、7 等都是质数。
质数在密码学等领域有重要应用。
211 合数则相对复杂，例如 4、6、8、9 等。
可以通过分解质因数来判断一个数是否为合数。
四、公因数与公倍数31 公因数是指几个整数公有的因数。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6。
311 公倍数是几个整数公有的倍数。
12 和 18 的最小公倍数是 36。
五、数的整除特征41 能被 2 整除的数，其个位数字必然是 0、2、4、6、8 之一。
这一特征在判断整数的奇偶性时非常有用。
411 能被3 整除的数，其各位数字之和必须能被3 整除。
小学奥数知识点梳理1——数论教学提纲
数论：1、奇偶;2、整除;3、余数；4、质数合数‘5、约数倍数；6平方；7、进制；8、位值。
一、奇偶：一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。
奇偶数有如下运算性质：（1）奇数土奇数=偶数偶数土偶数= 偶数奇数土偶数=奇数偶数土奇数二奇数（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。
（3）奇数x奇数二奇数偶数x偶数二偶数奇数X偶数二偶数（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。
（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。
上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。
二、整除：掌握能被30以下质数整除的数的特征。
被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.被3 （9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被 3 （9）整除。
被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。
被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。
下面研究被7、11、13整除的数的特征。
有一关键性式子：7X11X13=1001。
判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
例：N=987654321判定N是否被11整除。
9 8 7-333第一歩:第二歩6 54因为654不能被11整除，所以N不能被11整除例：N= 215332判定N是否被7、11、13整除。
由于117= 13X 9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N 能 被13整除，不能被7、11整除此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被 7或11或13整除时，可用减 法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。
数论基础知识点总结
数论基础知识点总结1. 整数的性质整数是我们熟悉的数学概念，包括正整数、负整数和零。
整数有许多基本性质，比如加法、减法和乘法的封闭性、交换律、结合律和分配律等。
这些性质在数论中都有重要的应用，例如在证明整数的性质、定理及推论时经常用到。
2. 素数素数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7、11等。
素数具有许多重要的性质，比如任何一个大于1的整数都可以被唯一地分解为若干个素数的乘积。
这就是著名的素因数分解定理。
素数在密码学中有着重要的应用，比如RSA加密算法就是基于素数的乘积难以分解的特性来实现的。
3. 同余同余是数论中一种重要的概念，表示两个数的差能被某个数整除。
例如，对于整数a、b和n，如果a-b能够被n整除，即(a-b) mod n=0，则称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)。
同余在数论中有着广泛的应用，比如判断整数的奇偶性、最大公约数等问题。
4. 求模运算求模运算是数论中常见的一种运算，它指的是对一个整数进行取余操作。
例如，对于整数a和n，a mod n表示a除以n的余数。
求模运算在数论中有着重要的应用，比如判断奇偶性、判断整数是否能被某个数整除等问题。
5. 费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它描述了在模p意义下的幂的性质。
具体来说，费马小定理说明，如果p是素数，且a是p的倍数，那么a^p与a模p同余。
费马小定理在密码学中有着重要的应用，比如用来生成加密密钥、生成大素数等。
6. 欧拉定理欧拉定理是数论中的一个重要定理，它描述了模n意义下幂的性质。
具体来说，欧拉定理说明，如果n是大于1的整数，a和n互质（即它们的最大公约数是1），那么a的φ(n)次方与a模n同余，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
欧拉定理有着广泛的应用，比如RSA加密算法就是基于欧拉定理来实现的。
7. 等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，它的每一项与前一项之差都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
数论计数的知识点六年级
数论计数的知识点六年级数论计数的知识点（六年级）在数学学科中，数论是一个重要的分支，其研究的是整数及其性质。
计数是数论中的一个重要内容，涉及了整数的排列组合、计数方法等。
下面将介绍数论计数的一些基本知识点，希望能够帮助六年级的同学们更好地理解和应用。
一、排列与组合排列和组合是数论计数中两个常见的概念。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序选出若干个元素进行排列的过程，而组合则是从一组元素中选择若干个元素进行组合的过程。
1. 排列在六年级数学中，排列通常指的是从一组不同元素中选取若干个元素进行排列。
对于n个元素，选取r个元素进行排列的方法数可表示为P(n,r)或者nPr。
计算排列的方法有两种常用的公式：- 公式一：P(n,r) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1)- 公式二：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
2. 组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。
选取r个元素进行组合的方法数可表示为C(n,r)或者nCr。
计算组合的方法有两种常用的公式：- 公式一：C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)- 公式二：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)在进行组合计算时，可以利用公式一直接计算，也可以利用公式二进行递推计算。
二、因式分解与质因数因式分解和质因数是数论计数中另外两个重要概念，它们在解题过程中经常会用到。
1. 因式分解因式分解是指将一个数表示为几个数相乘的形式，这几个数即为其因子。
例如，将12表示为2 × 2 × 3即为因式分解。
在因式分解中，要先找出该数的质因数，再根据质因数的个数进行组合，并计算不同组合下的因数个数。
二年级下册数学复习提纲自己精修订
二年级下册数学复习提纲自己GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-数学复习提纲一、有余数的除法：注意余数和除数的关系；被除数、除数、商、余数的关系；余数的取舍和单位（商的单位同问题，余数的单位同被除数）例题：□÷9=3……△中，△最大是（）最小是（）；□最大是（）最小是（）。
79÷□=8……6中，除数是（）；□÷6=9……5中被除数是（）被除数和除数相同，商是（）；除数和商都是6，被除数是（）现有53个苹果，8个放一盘，需要过少个盘子才能全部放下？53个苹果分给8个小朋友，每人最多几个？27本练习本，最少拿出几本，才能平均分给6个同学？李师傅每天做7个零件，需要做60个，至少要几天才能完成？□□△△○○☆☆依次排列，第78个为（），第40个为（）二、千以内数的认识：读书和写数时要从高位起，算数是要从低位起；0在末尾时不读，0在中间时读出来，但是连续的0只读一个；读作时不能出现小写。
例题：最高位是万位的数是（）位数。
4500中有（）个百；392中有（）个百，（）个十；（）个一。
3、4、7、9组成最大的3位数是（），最小的4位数是（）。
最大的三位数和最小的四位数相邻，对吗和800相邻的数是700和900，对吗1038读作 6009读作 3800读作 3080读作 10400读作最大能填几（）683＜5913； 1（）93＜1378；最小填几（）683＞5913； 1（）93＞1378按规律写数（）800、850（）950（）（）； 190（）（）205、210（）； 110（）90（）70、60一桶油56元，一包饼干8元，妈妈带了100元买了一桶油后，还能买几包饼干？三、千米、分米、毫米：比划一下它们分别是多少，记住它们之间的进位关系、cm mm m dm km例题：小明高154（）。
妈妈高16（）橡皮厚5（）长3（），汽车每小时行80（）23米－50分米= 50厘米+100毫米= 78分米+90厘米= 7千米—5000米=（）千米在尺子上从刻度2到刻度8是（）厘米合（）毫米 50米+4千米=（）米500米的跑道小明跑了2圈多100米，他跑了多少分米？四、五、万以内数的加减法注意事项：相同位数要对齐，从个位算起，验算时尽量加法用加法，减法用加法，不要直接抄前面的三个数，注意题目要求：列竖式、脱式计算、验算、估算；连续进位、借位要标出来，认真算。
高三复习：数论-知识点、题型方法归纳
高三复习：数论-知识点、题型方法归纳
1. 知识点概述
- 数论是研究整数的性质和规律的数学分支。
- 常用的数论知识点包括质数与因数分解、最大公约数与最小公倍数、同余与模运算、欧几里得算法等。
2. 题型分类与方法
2.1 质数与因数分解
- 计算质数的方法：试除法、筛法等。
- 因数分解方法：提取公因数、分解定理、试除法等。
2.2 最大公约数与最小公倍数
- 求最大公约数的方法：辗转相除法、质因数分解法等。
- 求最小公倍数的方法：利用最大公约数求解。
2.3 同余与模运算
- 同余的性质与定理：同余的基本性质、同余定理等。
- 模运算的规律与应用：加法、减法、乘法的模运算规律等。
2.4 欧几里得算法
- 欧几里得算法求最大公约数：利用辗转相除法逐步缩小待求数与除数的差值。
3. 复方法建议
- 温故知新：回顾数论的基本概念和常用公式。
- 多做练题：通过大量的练题加深对知识点的理解和掌握。
- 制定复计划：合理安排每天的复时间，有针对性地复重点知识点。
- 解析错题：针对每道错题进行仔细分析和解析，找出错误的原因以及解题方法。
以上是高三复习数论知识点及题型方法的归纳，请根据个人实际情况进行复习规划和练习安排。
数学知识点讲解：算术和数论
数学知识点讲解：算术和数论
数学知识点讲解:算术和数论
很多新手对于GMAT数学不是十分自信，究其原因往往就是是由于对于GMAT数学知识点没有复习，而直接做题，为此店铺特收集整理了算数和数论的GMAT数学知识点，分享给大家，希望对大家有所帮助，文中观点仅供参考。
1. Integer : 整数
① Positive integer: 正整数，从1开始，不包括0。
② 奇数：不能被2整除的'整数，通式：2n+1。
如-1，1。
③ 偶数：能被2整除的整数，零是偶数。
通式：2n。
如-4，-2，0，2，4。
2. Odd even number: 奇数与偶数
① 偶数=偶数+偶数或奇数+奇数，偶数=偶数偶数或奇数偶数
② 奇数=奇数+偶数
③ 奇数个奇数相加减，结果为奇数
④ 偶数个奇数相加减，结果为偶数
⑤ 任意个偶数相加减，结果为偶数
⑥ 若n个整数相乘结果为奇数，则这n个整数为奇数
⑦ 若n个连续的整数相加等于零，则n为奇数。
⑧ 若n个连续的奇数相加等于零，则n为偶数。
⑨ 若n个连续的偶数相加等于零，则n为奇数。
⑩ 两个质数之和为奇数，其中必有一个是2。
例：若 a^2+b^2=c^2，其中a, b, c均为整数，下面那个不可能是a+b+c的值?
【数学知识点讲解:算术和数论】。
小学数论知识点梳理
小学知识点梳理——数论1．奇偶性问题（1）奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
最小的奇数是１，最小的偶数是０．（2）奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
偶数×偶数=偶数（３）反证法例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
二．位值原则形如：abc=100a+10b+c三、整除性（１）概念一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
（２）性质性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
数论问题知识点总结
数论问题知识点总结一、整除性和因数分解整除性是数论研究的一个重要内容。
当整数a和b满足关系式a=bc时，就称a能被b整除，记作b|a。
若a≠0且b|a，则称b是a的约数，a是b的倍数。
设a是正整数，如果它除1和它自身外再无其它正约数，则称a是质数。
如果一个数既不是1，也不是质数，那么它就称为合数。
元素a的最大约数称为a的因数。
对于任何一个自然数n，它至少有两个因数，即1和它自身。
将一个合数n分解成若干个质数的积的形式，这样的分解称为n的素因数分解。
这样的分解就是因数分解。
这个分解的积展示了原数的最基本的因数。
例如，28=2×2×7=2^2×7, 56=2×2×2×7=2^3×7。
这种分解方法是唯一的。
二、模运算和同余模运算是数论中一个非常重要的概念。
模运算就是求余数的一种，做模运算指的是计算一组数除以一个整数后的余数。
如果整数a被整数n整除时的余数是b,就说a模n等于b，记作a≡b(mod n)。
这里等式a≡b(mod n)是同余关系，表示a与b在模n的意义下同余。
可知这个方程式的解对a有限制，即a不能大于除数n，也不能比n小n的绝对值，即a的范围应该是[0,n-1]。
例如3≡11(mod 4)，这说明3与11模4下同余。
同余关系是一种等价关系：它是自反的（对任何整数a，a≡a(mod n)），对称的（如果a≡b(mod n)，那么b≡a(mod n)），传递的（如果a≡b(mod n) ，b≡c(mod n)，那么a≡c(mod n)）。
定理：m的同余关系将集合整数的等价分成了m个等价类。
三、费马小定理和欧拉定理费马小定理是数论中一个非常著名且重要的定理。
它是由费尔马提出，并对未经证明的费马最后定理作出了重要贡献。
费马小定理的具体内容是：如果p是一个质数，a是整数，且a与p互素，那么a^(p-1)≡1(mod p)。
费马小定理是欧拉定理的特例。
高中数学数论知识点总结
高中数学数论知识点总结数论是数学的一个分支，主要研究整数之间的性质和关系。
在高中阶段，数论是数学课程中的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要的作用。
下面将对高中数学数论知识点进行总结，并分为以下几个方面进行讲解。
一、整数的性质和运算1. 整数的分类：正整数、负整数、零和自然数。
2. 整数的加法和减法：整数的加法满足结合律、交换律和零元素等性质；整数的减法可以转化为加法运算。
3. 整数的乘法和除法：整数的乘法满足结合律和分配律；整数的除法和整除关系密切，可使用带余除法和辗转相除法进行计算。
二、最大公约数和最小公倍数1. 定义和性质：最大公约数是整数a和b的公共因子中最大的那个数；最小公倍数是整数a和b的公共倍数中最小的那个数。
2. 求解方法：可以使用因数分解、短除法和辗转相除法等方法来求解最大公约数和最小公倍数。
三、模运算1. 定义和性质：模运算是指对于给定的整数n，对任意整数a，b，如果它们除以n所得的余数相同，则称a与b对模n同余，记作a≡b (mod n)。
2. 同余定理和运算规则：同余定理包括同余的传递性、对称性和反身性；模运算具有加法、减法、乘法和幂运算的运算规则。
四、素数和合数1. 定义和性质：素数是只能被1和自身整除的大于1的整数；合数是除了1和自身外还有其他因数的整数。
2. 素数的判定方法：可以使用试除法、素数筛法等方法来判定一个数是否为素数。
3. 质因数分解：对任意一个大于1的整数，都可以唯一地表示为若干个素数的乘积。
五、同余方程和模线性方程组1. 同余方程的定义和性质：同余方程是指形如ax≡b (mod n)的方程，其中a，b和n为已知整数，x为未知整数。
2. 同余方程的求解方法：可以根据同余方程的性质，使用同余定理和模逆元素等方法来求解同余方程。
3. 模线性方程组：是指一组形如同余方程的方程组，可以使用高斯消元法和同余方程的求解方法来求解模线性方程组。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
剩余类环 线性同余方程的求解 高次同余方程的求解
同余方程的求解方法
同余方程组的求解方法 原根和指数 缩系 应用
二次剩余（ch3）
二次剩余的概念 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 勒让德符号 雅可比符号 重点：二次同余方程有解的判断与求解
连分数(ch5)
连分数的定义和性质：
专门用途的因子分解方法
“rho”方法
“p-1”方法
数论在密码学上的应用(ch10)
公钥密码
RSA机制 Elgamal机制
习题
习题（续）
1.设用户A的公开参数为(NA=55，eA=23)，用户B的公开 参数为(NB=33，eB=13)，用户A应用RSA算法向用户B传 送的消息m=6时，求A发送的带签名的保密信息。 2.设用户A选取p=11和q=7作为模数为N=pq的RSA公钥体 制的两个素数，选取eA=7作为公开密钥。请给出用户A的 秘密密钥，并验证3是不是用户A对报文摘要5的签名。
记t3 1 2t4 x (5 8t4 )，
再代入x 2 57(mod32)，得 t4 0(mod 2) 记t4 2t5 x (5 16t5 )， 代入x 2 57(mod64)，得 t5 1(mod 2) t5 1 2t6 x (21 32t6 )
解：∵ （28,35）=7|21， ∴ 原同余方程有解，且有7个解 原同余方程等价于4x≡3(mod 5) 而且4x≡3(mod 5)解为x≡2(mod 5) ∴ 原同余方程解为2，7，12，17，22，27， 31（mod 35）
例7 设p=4n+3是素数，试证当q=2p+1也是素数时， 梅素数Mp不是素数
例4 设x为整数，证明形如 x 2 1 的整数的所有奇因都
有4h+1的形式（其中h为整数）
证明：设2n+1是整数x 2 1 的任一奇素因数，于是有
x 2 1 0(mod 2n 1), 即 x 2 1(mod 2n 1).
1 故-1是模2n+1的平方剩余，即 1. 2n 1 其中2n+1是奇素数。所以 2n 1 1(mod 4)
《计算数论》复习提纲
整数的因子分解(ch1)
1.整数的唯一分解定理 2.欧几里德算法
最大公因子的求法 最大公因子的整数线性表示 模n的逆元 一元线性同余方程的求法
Mersenne素数 Fermat素数
同余 （ch2）
同余，简化了数论中的许多问题. 同余的基本性质
即 x 21, 53(mod64).
确定性算法 试除法 利用n-1、n来自1的因子分解的素性检验
概率算法
Miller-Rabin算法
Lehmann算法
Solovay-Strassen
大整数因子分解算法（ch9）
通用整数因子分解方法：理论基础
连分数方法（CFRAC）， 二次筛法（QS）
*数域筛法（NFS）
解：d=(12,30)=6, 查表ind2=24, 6|24，有解且本题有6个解， 12indx=ind2(30) 即indx≡4(mod 5) ∴ indx≡2,7,12,17,22,27(mod 30) 查模31指标表， ∴ x≡9,17,8,22,14,23(mod 31)
例6 解同余方程28x≡21(mod 35)
连分数、简单连分数的概念、性质 每一个简单连分数都是一个实数 任一无理数都可表为无限简单连分数， 有理数的连分数表示法
实数表示为连分数：
循环连分数：
二次代数数都是循环连分数
二次方根的连分数
最佳渐近分数
有限域(ch6)
有限域
GF(pm)的结构、组成、运算
素性检测(ch8)
q 1
例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是 2pk+1形。
证：设q是2P-1的质因数，由于2P-1为奇数， ∴ q≠2， ∴ （2，q）=1。 由条件q| 2P-1, 即2P≡1（mod q） 又∵ （q,2）=1，2q-1≡1（mod q） 设i是使得2x≡1（mod p）成立最小正整数，即i是 2模p的阶。 若1<i<p，则有i|p，则与p为素数矛盾，∴ i=p, ∴ p|q-1 又∵ q-1为偶数，2|q-1, ∴ 2p|q-1,q-1=2pk,即q=2pk+1
证：∵ q=8n+7,
2
4 n 3
2
q 1 2
2 q 1(modq)
∴ q |Mp，∴ Mp不是素数。
例9 若p和q=4p+1均为奇素数，则2是模q的一个原根。
2 x 例 解同余式 57(mod64)
解：因为
57 1(mod 8) ，所以方程有4解。
把x 2 57(mod8)的解记为x (1 4t 3 )， 2 代入x 57(mod16)，得 t3 1(mod 2)
故 2n ， 0(mod4 ) 。 n 0(m od 2) 所以n是偶数，记n=2h,便有2n+1=4h+1.这样便证明了整数 的所有奇素因数必形如4h+1。又由于两个4h+1形式的数的乘积仍 为4h+1 形式的数，故 x 2 1形式的数的奇因数必为 4h+1形式的数。
例5 解同余方程