自考线性代数(经管类)公式汇总(精髓版)

第一章 行列式

一．行列式的定义和性质

1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义

2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1

1

,1,2,

;(,1,2,

)n

n

ij

ij ij ij

ij ij n

n

i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑

2）11 ;

00

n

n ij ik ij kj i j k j k i A A

a A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.

3．行列式的性质 1）.T

A A =

2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.

6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 例 设行列式2211

b a b a =1，2211

c a c a =2，则2

221

11c b a c b a

++=（ 3 ）

二．行列式的计算

1．二阶行列式和三角形行列式的计算.

2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5. 范德蒙行列式的计算公式

例(性质4) (1)(1)(2)

(2)(1)(3)

123233

100

233

100203249

4992004992004090.367677

300677

300607

+-+-==

= 例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧）

333000300030

x a a a x a a a a x a a a a a x a a x a x a a x a D a a x a x a a x a

x a a a a

x

x a a a

x

x a

+++-===

=+-+-3(3)().x a x a =+-

例（行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算）

1111111100

000

00000 ==+(1)(1) 000000n n n n n n n a b a b a D aA bA aM b M a b a b b a

++=

+-=+-

例 23

11

248()13927

1

41664

x x x D x =

中，3x 项的系数5

14124

(1)139(32)(42)(43)21416

A ==-=----=-

第二章 矩阵

一、矩阵的概念

1.要弄清矩阵与行列式的区别

2.两个矩阵相等的概念

3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵） 二、矩阵的运算

1． 矩阵,A B 的加、减、乘有意义的充分必要条件 2．矩阵运算的性质

比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.

+ ;+;A B A AB BA B A B A B A BA AB B ±=+++=22222()()(-)-- 22(); ()2k k k AB ABAB

AB A B A E A A E =≠±=±+

如果AB O =，可能,.A O B O ≠≠例如1122,1122A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦

都不为零，但AB O =.

3．转置 对称阵和反对称阵

1）转置的性质

(); () ;()T T T T T T T T T A B A B A A ABC C B A λλ±=±==

2）若()T T

A A A A ==-，则称A 为对称（反对称）阵

例 A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．T A A +

B ．T

A A - C ．T AA

D ．T

A A

解析 ()()T T

T

T T

T

T

A A A A A A A A +=+=+=+.故T

A A +为对称阵. ()()T T T T

A A A A A A -=-=--.故T

A A -为反对称阵. ().T T T AA AA =故T AA 为对称阵.同理T

A A 也为对称阵.

4. 方阵的行列式的性质

; ; ; T n A A A A AB A B λλ===

1

11 ; ;.k

n k A A A A A A

--*==

= 5.逆矩阵

1）方阵A 可逆(也称非异，A 满秩)的充分必要条件是0A ≠.

当A 可逆时，1

1A A A

-*=.其中方阵A 的伴随阵A *的定义1121

112

22212n n n

n

nn A A A A

A A A A A A *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。 特别 当0ad bc -≠时，1

1a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

重要公式

AA A A A E **==；1

n A A -*=； A *与1

A -的关系

2）重要结论：若n 阶方阵,A B 满足AB E =，则,A B 都可逆，且1

1,A B B A --==.

3）逆矩阵的性质：

11();A A --=;当0λ≠时，111111

();()A A AB B A λλ

-----=

=；11()()T T A A --=;11A A

-=

. 4）消去律：设方阵A 可逆，且()AB AC BA CA ==，则必有B C =.（若不知A 可逆，仅知0A ≠结论不一定成立。）

例 设A 为2阶可逆矩阵，且已知1

12(2)34A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，则A =1

121342-⎡⎤⎢⎥⎣⎦