汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究

实例13 汽车悬架双质量系统的传递特性仿真研究

根据汽车理论可知悬架双质量系统微分方程为

)()()(0)()(1212111121222=-+-+-+=-+-+q z k z z k z z c z m z z k z z c z m t &&&&&&&& (13-1) 对式（13-3）和式（13-4）进行拉氏变换并整理，可得

t

t qk k cs z k k cs s m z k cs z k cs s m z ++=++++=++)()()()(22

111222 (13-2)

由上式可得2z 和1z 之间的传递函数为

k

cs s m k

cs z z s G +++==

2

2121)( (13-3) 另,,,2

132221t t k k cs s m A k k cs s m A k cs A +++=+++=+=将(13-3)代入(13-2),可得

到1z 与路面激励q 的传递函数为

N

k A A A A k A q z s G t t 2212321

2)(=-==

(13-4) 13.1 车身位移z 2与路面激励位移q 的传递函数

现在可分析车轮与车身双质量系统的传递函数。由式（13-3）（13-4）相乘可以得到车

身位移z 2与路面激励位移q 的传递函数为

N

k A s G s G q z s G t 1212

)()()(===

（13-5） 由于传递函数分母为高阶多项式相乘，计算量比较大，因此可利用MATLAB 多项式计算函数

求出分母N 的系数。具体程序如下：

m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1); n2=conv(a1,a1); N2=poly2sym(n2); nn=N1-N2; pretty(nn); a1=[c*kt k*kt];

den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(a1,den); w=0.1:.1:100; >> figure(1)

>> [h,w1]=freqs(a1,den,w); >> freqs(a1,den,w);

运行可得到传递函数表达式以及传递函数的频率响应特性图：

Transfer function:

2.88e008 s + 4.224e009

------------------------------------------------------------------- 1.441e004 s^4 + 544350 s^3 + 6.894e007 s^2 + 2.88e008 s + 4.224e009

10

10

10

10

Frequency (rad/s)

P h a s e (d e g r e e s )

10

10

10

10

10

10

10

10

1

Frequency (rad/s)

M a g n i t u d e

由图（13-1）中的频率响应幅值（Magnitude）可以清楚的看到，在0.1到100rad/s 的频率围，有两个明显的共振峰值，由汽车理论可知，这两个共振峰值是由汽车双质量系统两个主频率

ω和2ω决定的。下面进一步具体计算汽车双质量系统两个主频率1ω和2ω。具体1

程序如下：

m2=317.5;

m1=45.4;

k=22000;

kt=192e3;

c=1.5e3;

a1=[c*kt k*kt];

den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000];

sys=tf(a1,den);

w=0.1:.1:100;

[h,w1]=freqs(a1,den,w);

freqs(a1,den,w);

title('z2/z0')

mag=abs(h);

margin(sys);

j=0;

for i=1:length(w)-1;

if (mag(i+1)-mag(i))<0&(mag(i)-mag(i-1))>0;

j=j+1;

magmax(1)=mag(i);

wm(1)=w(i);

elseif(mag(i+1)-mag(i))<0&abs(mag(i)-mag(i-1))<0.0001;

j=j+1;

magmax(2)=mag(i);

wm(2)=w(i);

end

end

wm1=wm(1)/2/pi;

wm2=wm(2)/2/pi;

magm1=magmax(1);

magm2=magmax(2);

>> i1=wm1/f0;

>> i2=wm2/f0;

>> fprintf('汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=%3.3f HZ \n',wm1)

汽车双质量悬架系统主频率1（低频）w1=1.210 HZ

>> fprintf('汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=%3.3f HZ \n',wm2)

汽车双质量悬架系统主频率2（高频）w2=9.390 HZ

>> fprintf('汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=%3.3f \n',magm1)

汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=2.413

>> fprintf('汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=%3.3f \n',magm2)

汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=0.155

>> fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f \n',i1) 主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.913

>> fprintf('主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f \n',i2) 主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.088

10

10

10

10

Frequency (rad/s)

P h a s e (d e g r e e s

)

M a g n i t u d e (d B )10

10

10

10

P h a s e (d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

由仿真计算结果可以看出，汽车双质量悬架系统主频率（低频）1ω与汽车车身系统固有频率f 0比较接近，而汽车双质量悬架系统主频率（高频）2ω与汽车车轮系统固有频率f 1比较接近。由上图容易得出系统参数。

幅值稳定裕度：Gm=16.9dB 。 穿越频率：ωg =65rad/s 。

相位角稳定裕度：Pm=65.9度。 剪切频率：ωc =11.6rad/s 。

13.2车身加速度2??z 对车轮速度?

q 的传递函数

车身加速度2?

?z 对车轮速度?

q 的传递函数H 1(s)为

)

()0()0()(2222

1s G s q

z s sq z s q z s H +=+===&&& (13-6) 式(13-6)可理解为车身加速度与车轮加速度的传递函数H 1(s)是传递函数G(s)与环节

(s+0)串联形成，现在利用matlab 进行传递函数H 1(s)的频率响应分析。具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4;

k=22000;

kt=192e3;

c=1.5e3;

a1=[c k];

a2=[m2 c k];

a3=[m1 c k+kt];

n1=conv(a3,a2);

N1=poly2sym(n1);

n2=conv(a1,a1);

N2=poly2sym(n2);

nn=N1-N2;

pretty(nn);

a1=[c*kt k*kt];

den=[28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000]; sys=tf(a1,den)*tf([1,0],[0,1]);

w0=(k/m2)^0.5;

f0=w0/2/pi;

wt=((k+kt)/m1)^0.5;

ft=wt/2/pi;

kexi=c/2/sqrt(k*m2);

w=0.1:.1:100;

figure(1)

[mag,phase]=bode(sys,w);

margin(sys);

grid on

j=0;

for i=1:length(w)-1;

if (mag(i+1)-mag(i))<0&(mag(i)-mag(i-1))>0;

j=j+1;

magmax(1)=mag(i);

wm(j)=w(i);

elseif(mag(i+1)-mag(i))<0&abs(mag(i)-mag(i-1))<0.0001; j=j+1;

magmax(2)=mag(i);

wm(2)=w(i);

end

end

wm1=wm(1)/2/pi;

wm2=wm(2)/2/pi;

magm1=magmax(1);

magm2=magmax(2);

i1=wm1/f0;

i2=wm2/f0;

fprintf('汽车车身系统固有频率f0=%3.3f HZ \n',f0)

fprintf('汽车车轮系统固有频率ft=%3.3f HZ \n',ft)

fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=%3.3f \n',w1) fprintf('汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=%3.3f \n',w2) fprintf('汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=%3.3f \n',magm1) fprintf('汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=%3.3f \n',magm2) fprintf('主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=%3.3f \n',i1) fprintf('主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=%3.3f \n',i2) 运行程序可以得到下述结果和图13-3：

Transfer function:

2.88e008 s^2 + 4.224e009 s

---------------------------------------------------------------- 1.441e004 s^4 + 544350 s^3 + 6.894e007 s^2 + 2.88e008 s

+ 4.224e009

汽车车身系统固有频率f0=1.325 HZ

汽车车轮系统固有频率ft=10.927 HZ

汽车车身加速度对车轮速度主频率1 (低频)w1=1.289

汽车车身加速度对车轮速度主频率2（高频)w2=10.027

汽车双质量悬架系统低频共振峰值 Mag1=9.364

汽车双质量悬架系统高频共振峰值 Mag2=9.364

主频率1（低频）w1与车身系统固有频率f0之比i1=0.973

主频率2（高频）w2与车身系统固有频率f0之比i2=7.568

-40-20

20

40

M a g n i t u d e (d B )10

10

10

10

-180

-90

90

P h a s e (d e g )

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , P m = 11.2 deg (at 155 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

图13-3 车身加速度2?

?z 对车轮速度?

q 的传递函数

相对动载荷)(1q z k F t d -=，静载荷为g m m G )(21+=.则G F d /对q 的传递函数为

))(()(2112g

m m k q q z s H t +-=

将上式代入式（13-8）可以写为

g m m k N N k A Gq F t

t d )(2

12+??? ??-= （13-9） 式（13-9）是非常复杂的多项式，可以先利用MATLAB 符号计算方法先将传递函数分子分母

计算出来后再进行频率响应仿真分析。具体程序如下： m2=317.5; m1=45.4; k=22000; kt=192e3; c=1.5e3; a1=[c k]; a2=[m2 c k]; a3=[m1 c k+kt]; n1=conv(a3,a2); N1=poly2sym(n1);