数轴标根法

用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式或分式不等式

具体方法步骤如下：

① 将不等式等价化为()()21x x x x --…())0(0<>-n x x 形式，并将各因式x 的系数化“+”(为了统一方便)；

② 求出对应方程()()21x x x x --…()0=-n x x 的根（或称零点），并在数轴上表示出来；

③ 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧()x f 有因式()n x x 1-时，n 为奇数时，

曲线在1x 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在1x 点处不穿过数轴）；

④ 若不等式（x 的系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间。

例1 解不等式0)1)(4(<-+x x 由标根法知－4

例2、解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.

解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；

②求得相应方程的根为：-2（偶次根），-1，3；

③在数轴上表示各根并穿线，如图：

④∴原不等式的解集是{x|-1≤x ≤3或x=-2}.

说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.

例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.

解：①检查各因式中x 的符号均正；

②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是偶次根，3是奇次根）；

③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④∴原不等式的解集为：{x|-1

例4解不等式0.

1)3)(1(6

x x x -++

解：（1+x ）(x+3)6(1-x)>0等价于（x+1）(x+3)6（x-1）<0

所以 -1

例4 解不等式()()

032432≤+---x x x x x 解析：先将原不等式等价化为不等式()()()032432<+---x x x x x 且2,0,3≠≠-≠x x x ，

即()()()()04132<-++-x x x x x 且2,0,3≠≠-≠x x x ，用“数轴标根法”

∴原不等式的解是()[)(]4,20,13, --∞-

【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.