不等式的实际应用
不等式的应用练习题运用不等式解决实际问题
不等式的应用练习题运用不等式解决实际问题不等式是数学中一种重要的关系式，用来表示不同数值之间的大小关系。
不等式的应用十分广泛，尤其在解决实际问题时能发挥重要作用。
下面将通过一些实际问题来展示如何运用不等式解决相关问题。
问题一：某公司生产的某种产品A的每个单位成本为c元，销售价格为p元。
现有一批产品A，最多可生产n个单位，并且销售数量不少于m个单位。
问该公司最少需要以多少价格出售每个单位产品A，能够保证不亏本？解答：设x为每个单位产品A的出售价格，由题目可知不等式关系：nx ≥ mc。
根据题意，还需满足销售数量不少于m个单位，即p ≥ m。
根据不等式nx ≥ mc和p ≥ m，我们可以得到以下关系式：nx ≥ mcp ≥ m为了保证不亏本，我们需要求解x的最小值。
首先，根据nx ≥ mc，我们可以将c除以n，得到：x ≥ c/n然后，我们再考虑p ≥ m，可以选择最小的p值来保证不亏本。
因此，最小的x值为c/n，当且仅当p = m时，不等式达到最小值。
综上所述，公司最少需要以c/n元的价格出售每个单位产品A，才能保证不亏本。
问题二：某商品的原价为p1元，现在正在打折促销，降价至p2元。
已知促销期间每天能销售的商品数量不能超过n个，如果该店至少想要保持每天的销售额不低于m元，问降价后的最低售价是多少？解答：设x为商品降价后的售价。
根据题意，我们知道不等式关系：nx ≤ m。
根据不等式nx ≤ m，我们可以得到以下关系式：nx ≤ m为了保证每天的销售额不低于m元，我们需要求解x的最小值。
由于降价后的售价p2必须小于原价p1，所以我们可以选择最小的p2值作为降价后的售价。
根据nx ≤ m，我们可以将m除以n，得到：x ≤ m/n然后，我们再考虑p2 ≤ x，可以选择最小的x值来保证每天的销售额不低于m元。
因此，降价后的最低售价为m/n元，当且仅当p2 =m/n时，不等式达到最小值。
综上所述，降价后的最低售价为m/n元，才能保证每天的销售额不低于m元。
例析不等式在实际生活中的应用
不等式在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：
1.金融：不等式可以用来分析金融市场的风险和收益。
例如，可以使用不等式来估算
投资的最大损失，或者计算最小投资回报率。
2.公平竞赛：不等式可以用来保证公平竞赛的公正性。
例如，在体育竞赛中，可以使
用不等式来确定最多能够获得的奖励，以确保所有参赛者有同等的机会获胜。
3.保险：不等式可以用来分析保险公司的风险和收益，并确定保险费用。
例如，可以
使用不等式来估算保险公司的最大赔偿金额，或者计算最小保费收益率。
4.工程设计：不等式可以用来分析工程设计的安全性和可靠性。
例如，在建造高楼大
厦时，可以使用不等式来确定楼房的最大承载能力，以确保安全。
5.统计学：不等式可以用来分析数据的统计特征，例如求出数据的平均值和方差。
基本不等式实际应用题
得最小值为（ ） B
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
D.
11 ab
1 4
2.（2010四川文）设ab0， 则a2 1 1 的最小值是( D )
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3.（2009山东理12T)设 x满,足y约束条件
3x y 6 0,
x
y若 目2 标 函0 ,数
2(x+y)=20
即 x+y=10
∴ xy ( x y )2 =25
当且仅当x=y=5时取等号
2
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25
m2
y x
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合 算(即使用多少年的平均费用最少？)
a2
16 b(a
b)
a2
64 a2
2
a
2
64 a2
16,
a 2 2,b 2
1. 两个不等式 （1）
a,bR,那么 a2b2 2ab （2） (当且 当且仅仅 当aa=b当 时，b等时 号成立取 ""号)
不等式的实际应用
解：如图，设矩形的长与宽分别为x，y,圆柱的侧面积为S
则2x+2y=36，即x+y=18
因
S
2xy
2
x
2
y
2
162
当且仅当x=y且x+y=18，即x=y=9时取等号
y x
答：当矩形的长与宽均为9时，圆柱的侧面积最大
(6)课本P：101 B组 Ex1 设矩形ABCD(AB＞CD)的周长为24，把 ⊿ABC沿AC向⊿ADC折叠，AB折叠后交DC于点P，设AB=x 求⊿ADP的 最大面积及相应x的值
三、不等式的实际应用
1.线性规划
2.其他不等式
一、解决实际问题的两大步骤
建模
实际问题 ﹤
还原
二、常见的数学模型
概率与统计
排列组合
解三角形
线性规划
1.按模型分 函数
方程
不等式
数列
······
2.按条件分
模型已知 模型未知
﹥ 数学问题
一次 二次 三次 对号 分段 绝对值 幂函数型 指数函数型 对数型 三角函数 ···
同底法 取对数法 其他法
单调性法
注：对数不等式要注意Domain
解三角不等式
（一）基础型——背诵法
1.若 sin x 0 ,则 x 2.若 cos x 0 ,则 x 3.若 tan x 0 ,则 x 4.若 sin x cos x ,则 x 5.若 sin x tan x ,则 x
（二）其他型——图象法
未知
需知1
需知2
……
已知
综合法： 由因导果顺推法
已知
可知1
可知2
……
未知
反证法： 假设归谬三存真 正难则反及显然
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例
初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例数学不等式作为初中数学中的一个重要内容，不仅有理论的意义，还有实际的应用。
本文将从实际问题的角度出发，给出一些初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例，以展示不等式在实际生活中的重要性。
一、物品购买问题假设小明去商店买口红，他现在有300元的预算，一支口红的价格是x元。
根据经验，我们知道在购买同款口红时，价格越高，质量越好。
但是小明想要在预算范围内选择质量尽可能好的口红。
这个问题可以用不等式进行求解。
首先，我们可以列出不等式：x ≤ 300，其中x为口红的价格。
由于小明希望选择质量尽可能好的口红，根据经验可以假设价格与质量成正比。
因此，价格越高，质量越好。
所以，通过解不等式，我们可以得到小明预算范围内，价格越高的口红质量越好。
通过这个案例，我们可以看到不等式在物品购买问题中的应用。
二、年龄差问题在生活中，经常会遇到解决年龄差不等式的问题。
例如，小明比小红大5岁，小红比小白大3岁，请问小明和小白的年龄差是多少？假设小明的年龄为x岁，则小红的年龄为x-5岁，小白的年龄为x-5-3岁，即x-8岁。
根据题目的条件，我们可以列出不等式：(x-5) - (x-8) ≥ 0简化该不等式，我们可以得到：x - 5 - x + 8 ≥ 0化简后得到：3 ≥ 0这个不等式恒成立，说明小明和小白的年龄差是大于等于0的。
通过这个简单的案例，我们可以看到不等式在解决年龄差问题中的应用。
三、角度问题在几何学中，不等式可以用来描述角度之间的关系。
例如，给定一个三角形ABC，角A的度数是x，角B的度数是2x，角C的度数是3x。
我们需要找出x的取值范围，使得三角形ABC为锐角三角形。
根据角度的性质，我们知道锐角的度数是小于90度的。
因此，我们可以列出不等式：x < 90由于角A、角B、角C是三角形的三个内角，所以它们的和应该等于180度。
根据题目的条件，我们可以列出等式：x + 2x + 3x = 180简化该等式，我们得到：6x = 180解方程得到x = 30。
62. 不等式的常见应用实例有哪些？
62. 不等式的常见应用实例有哪些？62、不等式的常见应用实例有哪些？在我们的日常生活和学习中，不等式是一种非常有用的数学工具，它帮助我们解决各种实际问题，并做出更合理的决策。
接下来，让我们一起看看不等式的常见应用实例。
在购物时，不等式就大有用处。
比如说，我们有一定的预算，比如200 元，而商店里有不同价格的商品。
假设我们想买衣服和鞋子，衣服的价格是每件 80 元，鞋子的价格是每双 120 元。
我们可以用不等式来表示我们的购买选择：设购买衣服的数量为 x，购买鞋子的数量为 y，那么 80x ＋120y ≤ 200。
通过这个不等式，我们可以确定在不超出预算的情况下，能够购买的衣服和鞋子的组合。
在工程领域，不等式也经常出现。
例如，在建造桥梁时，需要考虑桥梁的承重能力。
假设桥梁的最大承重为 100 吨，而通过的车辆重量各不相同。
一辆小型汽车重 2 吨，一辆大型卡车重 8 吨。
设通过的小型汽车数量为 m，大型卡车数量为 n，那么 2m ＋8n ≤ 100。
这样的不等式可以帮助工程师确定在保证桥梁安全的前提下，能够允许通过的车辆数量和类型。
在资源分配方面，不等式也发挥着重要作用。
比如，一家工厂有一定数量的原材料，如钢材和铝材。
钢材有 50 吨，铝材有 30 吨。
生产一种产品需要钢材 3 吨，铝材 2 吨；生产另一种产品需要钢材 2 吨，铝材 4 吨。
设生产第一种产品的数量为 a，第二种产品的数量为 b，那么 3a ＋2b ≤ 50，2a ＋4b ≤ 30。
通过这样的不等式，工厂可以合理安排生产，以充分利用有限的资源。
在行程问题中，不等式同样有应用。
假设你要去一个距离为 200 公里的地方，你的汽车每小时能行驶 60 公里，但由于路况等因素，平均速度可能会降低。
你希望在 4 小时内到达目的地。
设平均速度为 v 公里/小时，那么v × 4 ≥ 200。
通过这个不等式，可以确定为了按时到达，汽车的平均速度至少要达到多少。
不等式应用举例知识点
不等式应用举例知识点
不等式是数学中常用的一种表示关系的方法，用于描述数量的大小关系。
在实际应用中，
不等式常常用于解决一些问题，例如：
1. 成绩不低于某个标准：假设某个考试的及格分数线是60分，如果一个人的成绩超过了60分，则可以表示成x > 60，其中x 表示这个人的成绩。
这个不等式表示了成绩不低于60分的条件。
2. 收入与支出关系：假设一个人的月收入是1000美元，如果他的每月支出不超过800美元，
则可以表示成x ≤ 800，其中 x 表示这个人的月支出。
这个不等式表示了收入与支出的关系。
3. 时间问题：假设某个人从 A 地到 B 地的路程是100公里，他以每小时80公里的速度行驶，
那么他到达 B 地所需要的最短时间可以表示为t ≥ 1.25，其中 t 表示小时数。
这个不等式表示
了到达时间的下限。
4. 购物优惠活动：假设某商店推出了满100元减20元的优惠活动，如果一个人购买的金额超
过100元，则可以表示成 x > 100，其中 x 表示购买金额。
这个不等式表示了是否能够享受优
惠的条件。
这些例子只是不等式应用的一小部分，不等式在数学中涉及到的领域很广泛，能够帮助我们描
述和解决各种问题。
不等式的实际应用教案
不等式的实际应用教案一、教学目标1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 能够将实际问题转化为不等式问题，并运用不等式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义与基本性质2. 实际问题转化为不等式问题3. 不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的概念与基本性质，实际问题转化为不等式问题的方法。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解不等式的定义与基本性质，引导学生理解不等式的概念。
2. 案例分析法：通过实际问题，引导学生将问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
3. 小组讨论法：分组讨论不等式在实际问题中的应用，促进学生之间的交流与合作。
五、教学准备1. 教学课件：制作课件，展示不等式的定义与基本性质，实际问题转化为不等式问题的案例。
2. 练习题：准备一些实际问题，供学生在课堂上练习解决。
【章节一：不等式的定义与基本性质】1. 引入不等式的概念，讲解不等式的定义。
2. 讲解不等式的基本性质，如传递性、同向可加性等。
3. 通过示例，让学生理解不等式的表示方法，如“<”、“>”、“≤”、“≥”等。
【章节二：实际问题转化为不等式问题】1. 引入实际问题，如“两个人比赛跑步，A跑得比B快，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“A跑得比B快”可以表示为“A 的速度> B的速度”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题。
【章节三：不等式在实际问题中的应用】1. 引入实际问题，如“一个班级有男生和女生，男生人数多于女生人数，如何用不等式表示？”2. 引导学生将实际问题转化为不等式问题，如“男生人数多于女生人数”可以表示为“男生人数> 女生人数”。
3. 通过其他案例，让学生练习将实际问题转化为不等式问题，并解决实际问题。
【章节四：不等式的解集与图像】1. 讲解不等式的解集的概念，如“解不等式2x + 3 > 7的解集是什么？”2. 引导学生通过图像法或代数法求解不等式的解集。
不等式的应用
不等式的应用不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用来表示两个数的大小关系。
在实际生活中，不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
本文将以几个具体的应用案例为例，讨论不等式在实际问题中的应用。
一、经济学中的不等式应用在经济学中，不等式经常用于描述供求关系、成本与收入之间的关系。
以市场价格为例，我们知道市场上的商品价格不可能低于生产成本，这就可以用不等式来表示。
假设生产成本为C，市场价格为P，则可以表示为P > C。
另一个例子是利润最大化问题。
假设某企业的成本函数为C(x)，收入函数为R(x)，其中x表示生产或销售的数量。
为了使利润最大化，我们可以建立如下不等式关系：R(x) - C(x) > 0。
通过求解这个不等式方程，可以找到使得利润最大化的生产或销售数量。
二、物理学中的不等式应用在物理学中，不等式经常用于描述物理量之间的关系，如力、速度、加速度等。
以力学为例，根据牛顿第二定律，力F等于物体的质量m乘以加速度a，即F = ma。
但是物体所受力的大小不能超过一定范围，即F ≤ Fmax。
这个不等式描述了物体所受力的上限。
另一个例子是能量守恒定律。
根据能量守恒定律，能量总量在封闭系统内是守恒的。
假设某系统的初始能量为E1，经过某一过程后的能量为E2，那么可以建立如下不等式关系：E1 ≥ E2。
这个不等式表明经过过程后的能量不能超过初始能量。
三、工程学中的不等式应用在工程学中，不等式被广泛应用于优化问题的求解。
以线性规划为例，线性规划是一种在约束条件下最大化或最小化线性目标函数的优化方法。
假设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，线性目标函数为f(x1,x2, ..., xn)，约束条件为一系列不等式关系。
通过求解这些不等式关系，可以找到使目标函数最优化的决策变量取值。
另一个例子是电路设计中的不等式应用。
在电路设计中，为了满足电路的稳定性和可靠性要求，往往需要限制电流、电压等物理量的取值范围。
不等式的应用
不等式的应用不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
不等式是一种比较大小关系的数学表达式，通过不等号（如大于号或小于号）来表示两个数之间的大小关系。
本文将以几个不等式应用的实例来说明其在实际问题中的作用。
一、成本与收益不等式在商业领域中，成本和收益是一个重要的考虑因素。
当我们考虑某个项目或产品时，需要确定其成本和预计收益，并通过不等式来评估其可行性。
假设我们有一个生产某种产品的计划，成本为C，每个单位的收益为R，销售数量为x。
那么我们可以建立不等式C ≤ R * x，来限制生产的成本不能超过预期的收益。
二、速度与时间不等式在物理学中，速度和时间是一个常见的关系。
例如，当我们考虑一个物体的运动时，可以利用速度和时间之间的不等式来解决相关问题。
假设一个物体的速度为v，运动的时间为t，那么我们可以建立不等式v * t ≤ d，其中d为物体的位移。
这个不等式告诉我们，物体在一段时间内的位移不会超过速度与时间的乘积。
三、资源分配不等式在资源管理中，资源的有限性是一个重要的考虑因素。
假设我们有一定数量的资源，需要分配给不同的工作或项目，我们可以利用不等式来确定资源的合理分配。
设资源数量为N，需要分配给n个项目，每个项目所需的资源分别为r1、r2、...、rn。
我们可以建立不等式r1 +r2 + ... + rn ≤ N，来限制资源分配不超过总数量。
四、难度与能力不等式在教育领域中，考试和评估是一种常见的方式来衡量学生的能力。
考试的题目难度通常是不同的，我们可以利用不等式来判断学生是否具备解答某道题目的能力。
假设题目的难度为D，学生的能力为S，那么我们可以建立不等式S ≥ D，来要求学生的能力能够超过题目的难度。
总结：以上仅是不等式应用的一些实例，实际上不等式在各个领域都有着广泛的应用，包括经济学、工程学等等。
通过合理运用不等式，我们可以解决各种实际问题，做出正确的决策和评估。
因此，掌握和理解不等式的应用是数学学习的重要一环，也是我们在日常生活中需要具备的数学思维能力之一。
不等式的应用与解法
不等式的应用与解法不等式是数学中一种常见的表达方式，用于表示两个数或者两个表达式之间的关系。
在实际问题中，不等式常被用来描述条件、限制和约束等情况。
解决不等式问题的过程中，我们可以通过各种方法进行推导和求解。
本文将详细介绍不等式的应用与解法。
一、不等式的应用不等式在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
下面列举几个常见的例子来说明不等式在实际问题中的应用。
1. 金融领域：在股票市场中，人们常用不等式来描述价格变化的范围，并判断是否存在投资机会。
例如，如果股票价格上涨不少于10%，则可以得到利润。
2. 经济学：在经济学中，不等式被用来表示供给和需求等关系。
例如，如果某种商品的需求量超过供给量，则价格将上涨。
3. 物理学：在物理学中，不等式用于描述力学系统中的平衡和稳定性条件。
例如，对于一个悬挂在桥梁上的物体，不等式被用于确定支撑的最大负荷。
4. 工程学：在工程学中，不等式常用于约束条件的限制。
例如，在建筑设计中，不等式被用来确定结构材料的使用范围。
以上只是不等式应用的一些例子，实际中的应用场景更加广泛。
二、不等式的解法解决不等式问题的方法有很多种，下面将详细介绍几种常用的解法。
1. 数轴法：数轴法是一种直观的解决不等式问题的方法。
将不等式中的变量在数轴上表示出来，通过观察数轴上的位置关系，可以找到不等式的解集。
例如，对于不等式x > 3，将3在数轴上标记出来，可以发现x的取值范围是大于3的所有实数。
2. 方程转换法：对于某些特殊的不等式，可以通过将其转化为等价的方程来求解。
例如，不等式x + 2 > 5可以转化为方程x + 2 = 5，然后求解方程得到x的取值范围。
3. 函数法：对于一些复杂的不等式问题，可以利用函数的性质来解决。
通过观察函数图像和函数值的变化，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4 > 0，可以通过绘制函数y = x^2 - 4的图像，找到使y大于0的x的取值范围。
不等式的应用举例
例 1 已知函 f(x)的 数定义 1， 2域 ，是
求函 f(x数 21)的定.义域
例 2 已x,知 yR，2x 且 8yx y0, 求 xy的最 . 小值
二、应用不等式求字母的范围
例3 定义R在 上的减函 f(x数 )，如果不等式
f(1k xx2) f(k2)对任x何 0,1
例6 如图，在△ABC中，∠C=900 , AC=3,BC=4, 一条直线分△ABC的面积为相等的两部分，且夹 在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.
都成立， k的求取值范 围
例4 设不等(2式 x1) m(x2 1)对满足 m2的一切实m的 数值都成立， 求x的取值范 . 围
三、不等式在实际问题中的应用
例5 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制 造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱. 污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体长度为a米， 高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数 与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方 米，问各取多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小？（不计A、B孔的面积）
23. 不等式的实际应用场景有哪些？
23. 不等式的实际应用场景有哪些？23、不等式的实际应用场景有哪些？在我们的日常生活和工作中，不等式的应用场景随处可见。
虽然它可能不像数学中的某些概念那样引人注目，但却在默默地发挥着重要的作用。
首先，让我们来看看在购物时不等式的应用。
假设你有一定的预算去购买商品，比如你有 200 元准备购买衣服和鞋子。
衣服的单价为 50 元，鞋子的单价为 80 元。
那么可以列出不等式：50x ＋80y ≤ 200，其中 x 表示购买衣服的数量，y 表示购买鞋子的数量。
通过这个不等式，你可以计算出在预算范围内的各种购买组合，从而做出更合理的消费决策。
在生产领域，不等式也大有用处。
一家工厂要生产某种产品，生产一件产品需要耗费一定的材料和时间。
假设材料的成本为每单位10 元，生产时间为每单位 2 小时，而工厂每天的材料预算不超过 500 元，工作时间不超过 8 小时。
那么可以列出不等式：10x ≤ 500 和2x ≤ 8，通过求解这些不等式，工厂可以确定每天合理的生产数量，以达到资源的最优利用和最大的经济效益。
交通规划中也能看到不等式的身影。
例如，一个城市规划新建道路，需要考虑车辆通行量。
假设一条道路每小时最多能容纳1000 辆车通行，而预计在高峰时段该区域的车流量为 x 辆。
为了保证交通不拥堵，就需要满足不等式x ≤ 1000。
通过这样的分析和规划，可以合理设计道路的宽度、车道数量等，以提高交通的流畅性。
在资源分配方面，不等式同样发挥着关键作用。
比如学校分配教学资源，有一定数量的教材、电脑和教室等。
假设每个班级需要至少 20本教材、5 台电脑和 1 间教室，而学校拥有的资源总量是有限的。
那么可以通过不等式来确定能够满足教学需求的班级数量上限，从而合理分配资源，确保教学活动的正常进行。
投资领域也离不开不等式的应用。
投资者在考虑多种投资项目时，会面临风险和收益的权衡。
假设投资项目 A 的预期收益为 x%，风险为y%；投资项目 B 的预期收益为 m%，风险为 n%。
方程、不等式的实际应用问题
方程和不等式在实际应用中广泛用于解决各种问题。
以下是一些实际应用问题的示例，涉及方程和不等式的解决：1. 费用问题（线性方程）：问题：一家公司生产一种产品，每个产品的生产成本为100美元，销售价格为150美元。
公司希望知道需要卖多少个产品，才能达到盈亏平衡。
解决方法：设销售的产品数量为x，那么公司的总成本为100x美元，总收入为150x美元。
要实现盈亏平衡，总成本应等于总收入，即100x = 150x。
解这个线性方程可以得到x的值，即需要卖多少个产品才能盈亏平衡。
2. 距离、时间、速度问题（一元一次方程）：问题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，开了3小时后，它离起点多远？解决方法：使用速度=距离/时间的公式，我们可以得到距离=速度×时间。
将速度60公里/小时和时间3小时代入方程，计算出距离=60公里/小时×3小时= 180公里。
3. 增长与衰减问题（指数方程）：问题：一种细菌在每小时分裂成两倍，如果开始有100个细菌，多少小时后会有1000个细菌？解决方法：设t小时后有x个细菌，我们可以建立指数方程2^t = x，其中2表示细菌数量翻倍的速度。
解这个方程，我们可以得到t的值，即多少小时后会有1000个细菌。
4. 成本效益问题（不等式）：问题：一家工厂可以生产两种产品A和B，产品A的生产成本为5美元，产品B的生产成本为8美元。
如果工厂每天最多能生产100个产品，且希望最小化生产成本，应该生产多少个产品A和产品B？解决方法：设产品A的数量为x，产品B的数量为y。
我们可以建立以下不等式：5x + 8y ≤100（生产成本不超过100美元）x ≥0（产品A数量为非负数）y ≥0（产品B数量为非负数）通过解这组不等式，可以确定应该生产多少个产品A和产品B，以实现最小化生产成本的目标。
这些示例展示了方程和不等式在各种实际应用中的用途，从财务决策到物理问题和生产规划等。
方程和不等式是解决复杂问题的有力工具，可以用来优化决策、解决工程问题和预测趋势。
不等式应用举例
不等式应用举例
不等式应用在我们生活中无处不在，涉及到人们的经济、医疗、
教育、安全等方面。
下面，我们就来看几个具体的例子，来了解不等
式在实际生活中的应用。
首先，经济方面。
我们知道，经济增长与收入水平相关，而收入
水平与教育程度和工作岗位也有关系。
在同等教育程度下，拥有高薪
职业的人群可以得到更高的收入。
那么，我们可以利用不等式的概念
来描述这种关系，即“收入水平≥教育程度×工资水平”。
这样就方
便了我们进行各种经济分析和预测。
其次，医疗方面。
大家都知道，医疗保健的价格远高于许多人的
负担能力。
为保障人民的健康，一些政府组织或慈善机构推出了医疗
救助计划，通过根据收入情况提供的补贴和优惠办法来降低医疗成本。
对于这样的救助方式，我们可以利用不等式来描述其应用场景，即“（医疗成本-补贴）÷收入≤%”。
再次，安全方面。
在道路交通方面，我们需要担心的不仅是车辆
碰撞事故，更要考虑到车辆超速的情况。
超越合理限速行驶，往往会
导致危险的驾驶结果，因此一些政府部门推出了交通管理措施，并依
靠超速处罚的方式对车辆超速行驶做出应对。
此时，不等式“车速＞
限速”也在这个过程中得到了应用。
总而言之，不等式在我们日常生活中有广泛的应用。
经济、医疗、安全等领域都有涉及，我们可以通过应用这些不等式来描述和分析生
活中的各种复杂场景，让我们更好地理解生活中的问题并为之打好基础。
不等式的实际问题应用
不等式的实际问题应用不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数之间的关系。
在实际生活中，不等式可以应用于各种问题中，尤其是涉及到数量的大小比较和范围限定的情况。
本文将围绕不等式的实际问题应用展开论述，不仅仅是理论的介绍，而是通过具体实例分析，以期读者能更好地理解不等式在实际中的应用。
小节一: 数量的大小比较在日常生活中，我们经常遇到需要比较两个数量大小的情况。
不等式给予了我们一种工具，能够简洁又准确地描述这种关系。
例如，在购物时我们经常会遇到各种打折活动，商家会用不等式来表示实际价格与原价之间的关系。
假设原价为P，折扣为d，我们可以用不等式来表示打折后的价格P'与原价之间的关系: P' ≤ P。
这个不等式告诉我们，打折后的价格不会超过原价，而是小于等于原价。
小节二: 范围限定不等式也可以用来限定某个变量的取值范围。
在各种问题中，我们常常需要找到满足一定条件的解，而不等式可以帮助我们找出这些解。
例如，在线购票过程中，铁路公司会限定购票人年龄的范围。
假设最小年龄为A，最大年龄为B，我们可以用不等式来表示购票人年龄x的范围: A ≤ x ≤ B。
这个不等式告诉我们，购票人的年龄必须在A和B之间。
小节三: 实际问题分析除了以上例子外，不等式还可以应用于更复杂的实际问题中。
例如，假设我们有一块长方形的地块，其中一边已经被修建了围墙。
现在我们想要在地块内部修建一个游泳池，而且我们希望游泳池的面积尽可能大。
其中一个限制条件是，游泳池的一边必须与已修建的围墙平行。
假设围墙的长度为L，地块的另一边的长度为W，我们可以用不等式来表示游泳池的面积S与L、W之间的关系: S ≤ L * W。
这个不等式告诉我们，游泳池的面积不能超过地块的面积。
又如，假设我们要购买月饼作为礼物送给朋友，每盒月饼的重量为W，而我们手头的预算为B。
我们希望购买的月饼盒数尽可能多，但是不能超过预算。
我们可以用不等式来表示月饼盒数n与W、B之间的关系: W * n ≤ B。
教学设计3：§3.4 不等式的实际应用
§3.4 不等式的实际应用教学目标1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题.2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题.教学知识总结知识点一 不等式模型思考 一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了？【答案】 设a 和b 分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积，m 表示增加的面积，则只需比较a b 与a ＋m b ＋m的大小即可. 梳理 建立不等式模型解决实际问题的过程：(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；(3)解决数学问题；(4)回归实际问题，写出准确答案.知识点二 常见的不等式模型1.一元二次不等式模型根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响.2.均值不等式模型根据题意抽象出的模型是(1)y ＝x ＋a x(a ＞0)，(2)a ＋b ，ab 中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a ＞0，b ＞0，以及等号成立的条件是否具备.题型探究类型一 一元二次不等式的实际应用 命题角度1 范围问题例1 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫作税率R %)，则每年的产销量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额 不少于112万元，则R 应怎样确定？解 设产销量每年为x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.由题意，得70(100－10R)·R%≥112，整理，得R2－10R＋16≤0.因为Δ＝36＞0，所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8}.所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元.反思与感悟解有关不等式应用题的步骤(1)选用合适的字母表示题中的未知数.(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组).(3)解所列出的不等式(组).(4)结合问题的实际意义写出答案.跟踪训练1某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为AB＝400，∠BAx＝30°，所以热带风暴中心B的坐标为(2003，－200)，x h后热带风暴中心B到达点P(2003，40x －200)处，由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解不等式，得3.75≤x≤6.25，A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，故在3.75h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5h.命题角度2最值问题例2甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险.(1)若f (0)＝10，g (0)＝20，试解释它们的实际意义；(2)设f (x )＝x 4＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？ 解 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费.(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y ≥f (x )＝14x ＋10，x ≥g (y )＝y ＋20成立. 故y ≥14(y ＋20)＋10， 则4y －y －60≥0，所以(y －4)(4y ＋15)≥0，得y ≥4，故y ≥16，x ≥y ＋20≥24，即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费.反思与感悟 与最值相关的二次函数问题的解题方法(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值.(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值.(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小.跟踪训练2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.解 设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2，则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立， ∴a <－1.当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∴－1≤a <1.当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).类型二 均值不等式的实际应用例3 某单位决定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.(1)仓库底面积S (m 2)的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 (1)设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy .由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3200.由均值不等式，得3200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，∴S ≤100.∴S 的最大允许值是100m 2.(2)由(1)知取得最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m. 反思与感悟 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求.均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查.(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视.在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性.跟踪训练3 把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】设截成的两段铁丝长分别为x ，16－x ，0<x <16，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫16－x 42≥⎝⎛⎭⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立.故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B.教学检测1.某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A.x ＝a ＋b 2B.x ≤a ＋b 2C.x >a ＋b 2D.x ≥a ＋b 2【答案】B【解析】由题意知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， 即x ＝(1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b 2， 当且仅当1＋a ＝1＋b ，即a ＝b 时，取等号.2.某校要建一个面积为392m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为m 2.【答案】648【解析】设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392xm ， 又设占地面积为y m 2，依题意，得y ＝(x ＋8)⎝⎛⎭⎫392x ＋4＝424＋4⎝⎛⎭⎫x ＋784x ≥424＋224＝648(m 2). 当且仅当x ＝784x，即x ＝28时，取“＝”. 3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站公里处.【答案】5【解析】设仓库到车站距离为x 公里，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 且k 1＝20，k 2＝45， 则两项费用之和S ＝20x ＋45x ≥8(万元)， 当且仅当20x ＝45x ， 即x ＝5公里时，两项费用之和最小为8万元.4.要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值.解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18500＋25a ＋40b ≥18500＋225a ×40b＝18500＋21000ab ＝24500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm 2. 课堂小结1.解不等式实际应用题的解题思路 实际问题―――――――――→建模审题、抽象概括、转化数学问题―――→建模推理演算数学模型答案――→验证实际问题结论 2.建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.。
3.4不等式的实际应用课件人教新课标B版
例1 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大.最大面积是多少？
【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值.
r
2 设运动场的造价为y元
y 150 (80000 8 r 64 ) 30 (10000 80000 8 r 64 )
300000
r
120
ห้องสมุดไป่ตู้
(80000
8
r)
7680
r
r
令f (r) 80000 8 r, 当r [30, 40]时，f (r) 80000 8 r为减函数
r
r
函数y 300000 120 (80000 8 r) 7680 在[30, 40]上为减函数.
探究 基本不等式在求最值中的应用 例1 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的 篱笆是多少？
【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
解:设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方 形时总造价最低，最低总造价是297 600元.
【即时训练】 (2014高考福建卷)
要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的
底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的
最低总造价是( )
(A)80元
不等式在实际问题中的应用
不等式在实际问题中的应用不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。
不等式的应用范围广泛，涉及到经济、生活、科学等各个领域。
本文将从几个实际问题出发，探讨不等式在解决这些问题中的应用。
一、经济领域中的不等式应用在经济领域中，不等式常常被用来描述资源的分配情况和经济收入的差距。
以收入分配为例，我们可以通过不等式来描述不同社会群体之间的收入差距。
假设有两个家庭A和B，家庭A的年收入为X元，家庭B的年收入为Y元，且X<Y。
我们可以用不等式X<Y来表示家庭B的收入高于家庭A。
这样的不等式可以帮助我们分析收入差距的大小，为政府制定相关政策提供参考。
二、生活中的不等式应用在日常生活中，不等式也有着广泛的应用。
以购物打折为例，商场经常会推出各种促销活动，如打折、满减等。
假设某商场推出了一种打折活动，商品原价为P 元，现在打折后的价格为Q元，且Q<P。
我们可以用不等式Q<P来表示商品打折后的价格低于原价。
通过不等式，我们可以判断打折力度的大小，从而决定是否购买。
三、科学领域中的不等式应用在科学研究中，不等式也有着重要的应用。
以生态学为例，生态系统中的物种数量和资源之间存在着一定的关系。
假设某个生态系统中的物种数量为N，资源的供给量为R，且N<R。
我们可以用不等式N<R来表示资源供给量不足以支撑物种的数量。
通过不等式，我们可以分析生态系统的平衡状态，为保护生物多样性提供科学依据。
四、教育领域中的不等式应用在教育领域中，不等式也被广泛应用于学生的成绩评价和升学选拔。
以高考为例，学生的分数通常通过不等式来进行排名和选拔。
假设某个学校有N个学生，他们的总分从高到低依次为S1、S2、...、SN，且S1>S2>...>SN。
我们可以用不等式S1>S2>...>SN来表示学生之间的成绩差距。
通过不等式，学校可以根据学生的成绩进行排名，为升学选拔提供依据。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
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第30学时不等式的实际应用
预习导学
一、自学教材，思考下列问题
1、比较两实数大小的常用方法
2、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写下表
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
Y=ax2+bx+c
(a>0)的图
象
ax2+bx+c=0
（a>0）的
根
ax2+bx+>0
（a>0）的
解集
ax2+bx+c<0
（a>0）的
解集
二、一试身手
⒈实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设，将量与量间的关系变成或不等式组．
⒉实际问题中的每一个量都有其，必须充分注意定义域的变化．
3．由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变。
若一个假分数呢？试证明之。
课堂探究
【学习目标】
（1）知识与技能：通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤。
（2）过程与方法：让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
（3）情感态度价值观：通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
探究问题
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式，师：引例就是不等式在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。
（引出课题）
【典型例题】
例⒈某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2
的厂房。
工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4
a
元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为
2
a
元。
现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x ≥14)。
问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？
例2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？ 分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升
第一次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度x
x 8
- 第二次
：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（
x
x 8
-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％
解答：学生完成。
由例1、例2归纳出解不等式应用题的一般步骤:
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800
万元，以后每年投入将比上一年减少
51
，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4
1
．（1）设n 年内（本年度万第一年）总投入万
a n 万元，旅游业总收入万
b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【当堂检测】
⒈某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n }，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P 1，第三年比第二年增长的百分率万P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，且P 1＋P 2＋P 3＝1。
给出以下数据⑴
72，⑵52，⑶31，⑷21，⑸3
2
，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是（ ）
Ａ．⑴⑵ Ｂ．⑴⑶ Ｃ．⑵⑶⑷ Ｄ．⑵⑸
⒉用一张钢板制作一个容积为4m 3
的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m ）。
若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是（ ）
Ａ．2×5 Ｂ．2×5.5 Ｃ．2×6.1 Ｄ．3×5 3光线透过一块玻璃，其强度要减弱
101，要使光线的强度减弱到原来的3
1
以下，至少需要这样的玻璃板__________块（lg2=0.3010,lg3=0.4771）．
4、某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本。
如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是多少？
5、某工人共加工300个零件。
在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务。
问改进操作方法前，每天至少要加工多少个零件？
【课堂小结】
同学们，这节课你有哪些收获？
巩固延伸
一．选择题：
1.某工厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂家正在改造建设，一月份投入建设资金恰好与一月份利润相等，随着投入资金的逐月增加且每月增加的百分比
相同，到12月投入资金又恰好与12月生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入N 的大小关系是（ ）
Ａ．W>N Ｂ．W<N Ｃ．W=N Ｄ．不能确定
2.生物学指出，生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10％～20％的能量转入到
下一个营养级，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，若能使H 6获得10kj 的热量，则需要H 1最多可提供的能量是（ ）
Ａ．104kj Ｂ．105kj Ｃ．106kj Ｄ．107
kj 3.某商场对顾客实行购物优惠，规定一次购物付款总额：⑴如果不超过200元，则不予优惠；
⑵如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；⑶如果超过500元，500元按⑵条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是（ ）元。
Ａ．413.7 Ｂ．513.7 Ｃ．546.6 Ｄ．548.7 二．填空题：
4.Rt △ABC 斜边长c=1，那么它的内切圆半径r 的最大值为___________．
5.已知ab=1000，a>1，b<1，则b a lg 1lg 1+++的最大值是____________． 三．解答题：
6.某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80），每天销售的件
数为P ＝2
5
)40(10-x ，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？．
7.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面
用钢筋网围成。
⑴现有可围36m 长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可
使每间虎笼面积最大？⑵若使每间虎笼面积为24m 2
，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可始围成四间虎笼的钢筋网总长最小？。