非线性动力学演示文稿

H (x, q) : f ~ g
• Liao提出“广义同伦”之概念：
H (t, q) (1 q)F(t) q G(t) H (t, q) A(q)F(t) B(q)G(t)
Basic ideas of HAM
• E1.非线性代数方程 f(x)=0.(构造同伦)
设 x0 为已知的初始猜测解,嵌入变量 p [0,1], X ( p)
f X (1) 0
则X (1) x , 就是原非线性方程f(x)=0的解.
因此,当嵌入变量 p从0变化到1时, X ( p)从初始猜测解 x0
变化到非线性代数方程解 x ,因此方程(1)构造了一个
x0 ~ x 的同伦.
设 X ( p) 存在无穷阶导数
x[m] 0
m X ( p) pm
p0
根据Taylor定理,有
is an unknouw(nf)unction, respectively.
(1) Construct zero-order deformation equation
(1 p) (, p) u0( ) p H( ) (, p), (7)
Where p ∈ [0, 1] is the embedding parameter,
H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，
H（x,q）
则称f和g 是同伦的,称H是由f到 g的一个同伦或伦移,即
H
f ~g
同伦是关于映射的等价关系
f（x） = H（x,0）
示意图
拓扑理论传统的同伦概念：
二、H(“t, q同) 伦(1分q)析F(方t) 法q ”G(t简) 述
其中，q为嵌入变量.
非线性动力学演示文稿
优选非线性动力学
Beyond Perturbation
Introduction to Homotopy Analysis Method
Outline
• Concept of Homotopy in Topology • Basic ideas of Homotopy Analysis method • Examples • Applications of the theory in solving nonlinear
同伦的基本概念
• 两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的 形变从一个变到另一个，那么就称这两个 拓扑空间同伦。
• 同伦的定义
设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映
射，即 f：X→Y， g： X→Y ， 如果存在连
续映射H：X×Ｉ→Y（这里Ｉ=[0,1]），使得
对任何x∈X，满足：
g（x） =H（x,1）
(
x0
)(
x[1] 0
)2
f (x0 )
类似地，可以求得k阶变形导数 x0[k ] ，则
x
x0
k 1
x[k ] 0
k!
一阶近似公式为
x x0
f (x0 ) f ' (x0 )
（ 1 时为牛顿迭代公式）
E2.非线性微分方程
u( ) 0
where is a nonlinear operator, denotes independent variable,
X
(
p)
X
(0)
k 1
x[k ] 0
k!
p
k
则
x
x0
k 1
x[k ] 0
k!
(2)
如何求 x0[k ] ?
将(1)式对p求一阶导数
(1
) f (X ) 1 (1
) p df
dX
dX dp
f (x0 )
(3)
Байду номын сангаас p0 得
f
'
(
x0
)
x [1] 0
f (x0 )
则
x [1] 0
f (x0 ) f ' (x0 )
Obviously, when p = 0 and p =1, it holds
( ,0) u0( ), ( ,1) u( ).
Thus as p increases from 0 to 1, the solution
易知，q=0时，H(x;0)=f(x); q=1时，H(x;1)=g(x).
因此，当嵌入变量q从0增加到1时，函数H(x,q)从f(x) 连续变化到g(x).
这样，H(x,t) 建立起从f(x) 到和g(x)之间的联系.在拓扑 (topology)〕理论中，这种连续的变化称为同伦 (homotopy)，表示为
is a nonzero auxiliary parameter,
H ( ) is an auxiliary function,
is an auxiliary linear operator,
[0] 0
u0 ( ) is an initial guess of u(,) ( , p)is a unknown function, respectively.
怎样的近似解析方法才是最理想的？ • 不依赖小参数 • 确保解的收敛性，适用于强非线性问题
拓扑学中的几个基本概念
• 拓扑和拓扑空间
如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引 入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就 称为拓扑。
具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。
引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、 闭集系、闭包系、内部系等不同方法。
equations • Conclusions • References
“摄动方法”的本质： 应用方程中的小（大）物理参数，将一个 非线性问题转化为无穷多个线性子问题。
优点：物理意义明确；简单、易懂；
缺点:(1)依赖小参数,当所研究问题不含小参 数时使得摄动展开法面临困难 (2)摄动展开解只在参数比较小的情况下 能够给出较好的近似,随着“小参数”的增 大,近似解精度下降,以致失效。 (3)无法确保解的收敛
(4)
将(3)式对p再求一次导数
2(1
) df dX [1 (1 dX dp
)
p]
d2 dX
f
2
dX
dp
2
df dX
d2X dp2
0
(5)
令 p0 得
f
(
x0
)
x[2] 0
2(1
)f
(
x0
)
x[1] 0
f
(
x0
)(
x[1] 0
)2
(6)
x[2] 0
2(1
)
f
(
x0
)
x[1] 0
f
为一未知的嵌入变量 p [0,1] 的函数,我们构造如下 的一个单参数的非线性代数方程:
(1 p) f (X ( p)) f (x0) pf X ( p), (1)
当 p 0时,上述方程为线性方程
f ( X (0)) f (x0 ) 0,
即
X (0) x0
当 p 1时,方程(1)变为