全称命题和存在命题
高一数学全称量词命题和存在量词命题的否定乐乐课堂
高一数学全称量词命题和存在量词命题的否定乐乐课堂摘要：一、全称量词命题和存在量词命题的定义二、全称量词命题和存在量词命题的否定含义三、全称量词命题和存在量词命题的否定举例四、全称量词命题和存在量词命题的否定在数学中的应用正文：一、全称量词命题和存在量词命题的定义在全称量词命题中，“任意一个”或“所有的”这样的词语表示整体或全部的含义。
例如，“对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0”是一个全称量词命题。
存在量词命题中，“存在一个”或“至少有一个”这样的词语表示个别或一部分的含义。
例如，“存在一个实数x，使得x^2 < 0”是一个存在量词命题。
二、全称量词命题和存在量词命题的否定含义对于全称量词命题的否定，我们需要找到一个反例，即存在一个x 使得命题不成立。
例如，对于命题“对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0”，其否定为“存在一个实数x，使得x^2 < 0”。
对于存在量词命题的否定，我们需要证明所有的x 都不满足命题。
例如，对于命题“存在一个实数x，使得x^2 < 0”，其否定为“对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0”。
三、全称量词命题和存在量词命题的否定举例1.全称量词命题的否定举例：命题：对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0否定：存在一个实数x，使得x^2 < 02.存在量词命题的否定举例：命题：存在一个实数x，使得x^2 < 0否定：对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0四、全称量词命题和存在量词命题的否定在数学中的应用在数学中，全称量词命题和存在量词命题的否定经常用来证明数学命题的成立。
2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)
2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)2.3全称量词命题与存在量词命题（解析版）在数理逻辑中，全称量词命题和存在量词命题是重要的概念。
本文将详细解析这两种命题的含义、特点以及它们在推理和证明中的应用。
全称量词命题是表示一个命题对于某一特定论域中的所有个体都成立。
通常用符号∀x 来表示全称量词，其中 x 是论域中的个体。
举例来说，全称量词命题 "对于所有的学生x，x是努力学习的" 表明在论域中的每个学生都是努力学习的。
全称量词命题具有以下特点：1. 它对论域中的每个个体都进行了普遍的断言，因此涵盖了整个论域。
2. 全称量词命题通常用于进行普遍性的推理和推广，能够从一个特例得出普遍结论。
3. 当全称量词命题能够通过具体的例证或数学证明得到验证时，我们可以得出它的真值。
存在量词命题则表示在论域中存在至少一个个体使该命题成立。
用符号∃x 表示存在量词，其中 x 仍然是论域中的个体。
例如 "存在一个学生x，x是优秀的" 表明论域中至少存在一个优秀的学生。
存在量词命题的特点如下：1. 它只需要论证至少存在一个使命题成立的个体，而不需要考虑其他个体。
2. 存在量词命题通常用于证明问题的存在性，例如存在一个解，存在一个答案等。
3. 能否验证存在量词命题的真值取决于具体的情境和论域。
全称量词命题与存在量词命题在推理和证明中具有不同的应用。
全称量词命题可以用于推理和推广，通过观察和验证特例来得出普遍性结论。
它也可以用于证明某个性质对于论域中的每个个体都成立。
而存在量词命题则可以用于证明问题的存在性，例如存在一个解或存在一个满足条件的对象。
在解析命题时，我们需要根据命题的具体形式和要求来确定是应该使用全称量词还是存在量词。
通过正确地使用全称量词和存在量词，我们能够准确地表达命题的意思，并进行有效的推理和证明。
总结起来，全称量词命题和存在量词命题是数理逻辑中重要的概念。
全称量词命题表示对于论域中所有个体都成立的命题，而存在量词命题表示在论域中存在至少一个个体使命题成立。
第六讲 全称量词命题与存在量词命题-(解析版)
第六讲 全称量词命题与存在量词命题【学习目标】1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【基础知识】1.全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x ). 2.存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为∃x ∈M ，p (x ). 3.命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 4.全称量词命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∃x ∈M ，p ⌝ (x ). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 5.存在量词命题的否定存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∀x ∈M ，p ⌝ (x ). 存在量词命题的否定是全称量词命题.4.常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【考点剖析】考点一：全称量词命题与存在量词命题的识别例1．下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x R∈，总有211 1x+．存在量词命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于（4），对于任意x R∈，总有211 1x+，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选B．考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2．下列命题为真命题的是()A ．0x R ∃∈，使200x <B ．x R ∀∈，有20xC ．x R ∀∈，有20x >D ．x R ∀∈，有20x <【答案】B【解析】因为x R ∈，所以20x ，所以x R ∀∈，有20x ， 故选B ．考点三：依据含量词命题的真假求参数取值范围例3．已知命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．[0，4] C ．[4，)+∞ D ．(0,4)【答案】D【解析】命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题， 即判别式△21(2)4404a =--⨯⨯<， 即△2(2)4a =-<，则222a -<-<，即04a <<， 故选D ．考点四：全称量词命题的否定例4．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．考点五：存在量词命题的否定例5．设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为( )A ．(0,)x ∀∈+∞，33x x <B ．(0,)x ∀∈+∞，33x x >C ．(0,)x ∀∈+∞，33x xD ．(0,)x ∃∈+∞，33x x【答案】C【解析】命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为：(0,)x ∀∈+∞，33x x ． 故选C ．考点六：根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数例6．已知命题:p x R ∃∈，使220ax x a ++，当a A ∈时，p 为假命题，求集合． 【解析】当a A ∈时，p 为假命题， 则当a A ∈时，x R ∀∈，使220ax x a ++<， 若0a =，不等式等价为0x <，不满足条件． 若0a ≠，要使不等式恒成立，则20440a a <⎧⎨=-<⎩，即011a a a <⎧⎨><-⎩或，则1a <-， 即(,1)A =-∞-．【真题演练】1．下列命题是全称量词命题的是( ) A ．有一个偶数是素数B ．至少存在一个奇数能被15整除C ．有些三角形是直角三角形D ．每个四边形的内角和都是360︒ 【答案】D【解析】A ，有一个，存在性量词，特称命题， B ，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C ，有些，存在性量词，特称命题，D ，每个，全称量词，全称命题， 故选D ．2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．x R ∀∈，2210x x ++> B ．所有菱形的4条边都相等 C ．若2x 为偶数，则x N ∈ D ．π是无理数【答案】B【解析】对于:A x R ∀∈，2221(1)0x x x ++=+，故A 错误； 对于B ：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B 正确； 对于C ：若2x 为偶数，则x N ∈或N -，故C 错误； 对于:D π是无理数不是全称命题，故D 错误． 故选B ．3．已知对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >，则m 的取值范围为( ) A ．3m B ．3m > C ．1m > D ．1m【答案】A【解析】对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >， 3m ∴，故选A ．4．下列命题含有全称量词的是( ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数C ．方程2250x x ++=有实数解D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】A ：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；B ：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；C ：方程2250x x ++=有实数解，不是全称量词命题；D ：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；故选B ．5．有下列四个命题：①x R ∀∈10>；②x N ∀∈，20x >；③x N ∃∈，[3x ∈-，1)-；④x Q ∃∈，22x =．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，x R ∀∈10>，是真命题，2010>； 对于②，x N ∀∈，20x >，是假命题， 因为0x =时，x N ∈，20x =；对于③，x N ∃∈，[3x ∈-，1)-，是假命题， 由x N ∈知0x ，所以[3x ∉-，1)-； 对于④，x Q ∃∈，22x =，是假命题， 因为x Q ∀∈，22x ≠．所以真命题的序号是①，共1个． 故选A ．6．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．7．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <B ．3a -，或3aC ．33aD ．a <a >【答案】C【解析】命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，即“x R ∀∈，23210x ax ++成立”是真命题， 故△24120a =-，解得33a ．故选C ．8．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ．【答案】x R ∀∈，210x x -+≠【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．9．设命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=，命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠．若p ，q 都为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】若命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=为真命题， 则△44(3)0m =--，解得4m ；若命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠为真命题， 则△224(5)4(19)0m m =--+<，解得3(5m ∈，)+∞，又p ，q 都为真命题，∴实数m 的取值范围是33{|4}{|}(55m m m m >=，4]．【过关检测】1．命题“x N +∃∈使230x x m -+”的否定是( ) A ．x N +∃∈使230x x m -+< B ．不x N +∃∈使230x x m -+<C ．对x N +∀∈都有230x x m -+D ．对x N +∀∈都有230x x m -+<【答案】D【解析】命题“存在x N +∈，使230x x m ++”为特称命题， ∴命题的否定为：对任意x N +∈，使230x x m ++<，故选D ．2．下列语句是特称命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若430x -=，则34x = D ．x M ∀∈，()p x 成立【答案】B【解析】命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词存在， 故B 是特此命题， 故选B ．3．设a 为常数，对任意x R ∈，210ax ax ++>，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0，4) C ．(0,)+∞ D ．(,4)-∞【答案】B【解析】①当0a =时，10>恒成立，即0a =时满足题意， ②当0a ≠时，由对任意x R ∈，210ax ax ++>，则有： 240a a a >⎧⎨-<⎩，解得：04a <<， 综合①②得：a 的取值范围是[0，4)，故选B ．4．命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>，则p ⌝是( )A ．0x R ∃∈，使70070x x +B ．0x R ∃∈，使70070x x +C ．x R ∀∈，使770x x +D ．x R ∀∈，使770x x +【答案】B【解析】根据题意，命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>， 这是全称命题，其否定为特称命题， 即0x R ∃∈，使70070x x +， 故选B ．5．若存在x 使2()1x a ->成立．则a 的取值范围是( ) A ．(-∞．)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0．)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】A【解析】由2()1x a ->得12x a >+， 若存在x 使2()1x a ->成立， 则(a ∈-∞．)+∞，故选A ．6．若命题“[1x ∀∈，2]，22430x ax a -+”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(,1]3B ．2[,1)3C ．2[,1]3D ．2(,1)3【答案】C【解析】设22()43f x x ax a =-+，对[1x ∀∈，2]，22()430f x x ax a =-+是真命题， ∴22(1)1430(2)4830f a a f a a ⎧=-+⎨=-+⎩，∴113223a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴213a ． 故选C ．7．已知命题：“[1x ∃∈，2]，使220x x a ++”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3-，)+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[8-，)+∞ D ．(8,)-+∞【答案】C【解析】设2()2f x x x a =++， 要使[1x ∃∈，2]，使220x x a ++， 据二次函数的图象与性质得： 只要：f （2）0即可， 22220a ∴+⨯+，8a ∴-．故选C ．8．若“存在[1x ∈，2]，使0x a -”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,1)-∞【解析】由题转化为命题“[1x ∀∈，2]，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立， 又y x =在[1，2]上单调递增，所以1min y =，故1a <． 故答案为：(,1)-∞．9．若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】2λ【解析】若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题， 则“(0,)x ∀∈+∞，21x x λ+”是真命题； 所以，(0,)x ∈+∞时，1x xλ+恒成立， 又1122x x x x+=，当且仅当1x =时取“=”； 所以实数λ的取值范围是2λ． 故答案为：2λ．10．已知命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”，命题q ：“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”．试问p 是q 什么条件？【解析】因为命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”所以△0<，440a +<，解得：(,1)a ∈-∞-因为命题:q x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<，所以△0>，即2(1)40a -->，解得(a ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞ 所以，p 是q 充分不必要条件．。
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 学案(含答案)
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题学案（含答案）2.32.3全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题22..3.13.1全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题学习目标1.理解全称量词.全称量词命题的定义.2.理解存在量词.存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有.任意.每一个存在.有的.有一个符号命题含有全称量词的命题称为全称量词命题含有存在量词的命题称为存在量词命题一般形式xM，pxxM，px思考1全称量词命题中的“x，M与px”表达的含义分别是什么答案元素x可以表示实数.方程.函数.不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围px表示集合M的所有元素满足的性质如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“xN，x0”思考2“一元二次方程ax22x10有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题请改写成相应命题的形式答案是存在量词命题，可改写为“存在xR，使ax22x10”1“三角形内角和是180”是全称量词命题2“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题3“xR，x211”是真命题4存在量词命题“xR，x21,3x40成立；2对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；3有些整数既能被2整除，又能被3整除；4某个四边形不是平行四边形解1全称量词命题，表示为xx|x1,3x40.2全称量词命题，表示为a，bR，方程axb0恰有一解3存在量词命题，表示为xZ，x既能被2整除，又能被3整除4存在量词命题，表示为xy|y是四边形，x不是平行四边形反思感悟判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题1凸多边形的外角和等于360；2矩形的对角线不相等；3若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；4有些实数a，b能使|ab||a||b|；5方程3x2y10有整数解解1可以改为所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称量词命题2可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题3若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题4含存在量词“有些”，故为存在量词命题5可改写为存在一对整数x，y，使3x2y10成立故为存在量词命题二.全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2判断下列命题的真假1xZ，x30.解1因为1Z，且1311，所以“xZ，x30”是假命题反思感悟判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言1要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使px成立即可，否则命题为假2要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，px都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使px不成立即可跟踪训练2试判断下列命题的真假1xR，x212；2直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；3存在一对整数x，y，使得2x4y6.解1取x0，则x2112，所以“xR，x212”是假命题2与x 轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题3取x3，y0，则2x4y6，故为真命题三.依据含量词命题的真假求参数的取值范围例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命题p“xB，xA”是真命题，求m 的取值范围解由于命题p“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以m12m1，m12，2m15，解得2m3.延伸探究1把本例中命题p改为“xA，xB”，求m的取值范围解p为真，则AB，因为B，所以m2.所以2m15，m2或22m15，m2，解得2m4.2把本例中的命题p改为“xA，xB”，是否存在实数m，使命题p是真命题若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由解由于命题p“xA，xB”是真命题，所以AB，B，所以m12m1，m12，2m15，解得m，所以不存在实数m，使命题p是真命题反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法1首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意2其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围跟踪训练3若命题“xR，x24xa0”为真命题，求实数a的取值范围解命题“xR，x24xa0”为真命题，方程x24xa0存在实数根，则424a0，解得a4.1多选下列命题是全称量词命题的是A任意一个自然数都是正整数B有的菱形是正方形C梯形有两边平行DxR，x210答案AC 解析选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题2下列命题中是存在量词命题的是A任何一个实数乘以0都等于0B任意一个负数都比零小C每一个正方形都是矩形D一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A每个二次函数的图象都开口向上B存在一条直线与已知直线不平行C对任意实数a，b，若ab0，则abD 存在一个实数x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxca0的图象开口向下，也应排除，故应选C.4命题pxR，x22x50是________填“全称量词命题”或“存在量词命题”，它是________命题填“真”或“假”答案存在量词命题假解析命题p是存在量词命题，因为方程x22x50的判别式22450解析一次函数ykx2的图象过点0,2，若恒过第三象限，则k0.1知识清单1全称量词命题.存在量词命题的概念2含量词的命题的真假判断3依据含量词的命题的真假求参数的取值范围2常见误区有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体.全部”，存在量词命题强调“个别.部分”。
全称量词命题与存在量词命题
有”，是假命题.
试一试
全称量词命题与存在量词命题
思考讨论：
提示：都是在指定范围内，表示全体、整体、全部的含义.
注意：①有时全称量词可以省略；
全称量词命题的真假，需要所有元素都要满足 条件，命题才为真。
如：以上命题都为真命题，又如：“实数的平方大于0”是 假命题，因为存在实数0不满足条件.
思考讨论：
提示：这些命题，都是对全体中的个体或者一 部分的判断，加点的字表示个体或者一部分。
例4：判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指
出其中的全称量词，并判断真假：
试一试
（1）所有正方形都是平行四边形；
（2）能被5整除的整数末位数字为0.
解：（1）是全称量词命题，全称量词为“所有”，
是真命题；
北师版数学高二-如何判断一个命题是全称命题或存在性命题？
如何判断一个命题是全称命题或存在性命题？
答：（1）命题中有量词的：只要是表示全体的量词，不管怎么叙述，都是全称量词；只要是表示存在的量词，不管表示的程度多大，都是存在量词。
这种形式的命题类型容易判断，要注意的是对同一个数学关系式，如果冠以不同的量词，命题的属性也不一样，如“对任意实数x , 210x x ++>”与“存在实数x ，210x x ++>”，前这是全称命题，后者是存在性命题。
（2）命题从表面上看不含有量词的：这时应根据命题中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词，如“平行四边形的对边相等”，它没有指明是哪一个平行四边形，就表明指的是任意一个平行四边形；如果是对某一个对象的特征描述，其中就隐含有存在量词，如“ABC ∆的内角中有锐角”，表明存在一个ABC ∆，它的内角中有锐角，又如“边长为1cm 的正方形的面积是21cm ”，表明存在一个正方形的面积是21cm 。
例析全称量词命题与存在量词命题的常见题型
ʏ宋秀华全称量词命题与存在量词命题是一类特殊的问题,下面就这类问题的常见题型,进行举例分析㊂一㊁全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号 ∀ 或 ∃ 表示㊂(1)自然数的平方大于或等于零(2)有的幂函数图像经过点(1,1)(3)所有的二次函数的图像的开口都向上(4)有些直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B解:(1)全称量词命题㊂表示为∀nɪN, n2ȡ0㊂(2)存在量词命题㊂∃幂函数,它的图像过点(1,1)㊂(3)全称量词命题㊂∀二次函数,它的图像的开口都向上㊂(4)存在量词命题㊂∃直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B㊂评注:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词㊂由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题㊂二㊁全称量词命题与存在量词命题的否定例2(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3>0 的否定为()㊂A.∀xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0B.∃xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0C.∃xɪR,e x+s i n2x-3<0D.∀xɪR,e x+s i n2x-3<0(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 的否定是()㊂A.∀xɪR,2x>3xB.∀xɪR,2xɤ3xC.∃xɪR,2xɤ3xD.∃xɪR,2x<3x解:(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3> 0 为全称量词命题,其否定为:∃xɪR,e x+ s i n2x-3ɤ0㊂应选B㊂(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 为特称命题,其否定为:∀xɪR,2xɤ3x㊂应选B㊂评注:全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题㊂三㊁全称量词命题与存在量词命题的真假判断例3(多选题)有四个关于三角函数的命题,其中真命题是()㊂A.∃xɪR,s i n x+c o s x=2B.∃xɪR,s i n2x=s i n xC.∀xɪ-π2,π2,1+c o s2x2=c o s xD.∀xɪ0,π,s i n x>c o s x解:对于A,s i n x+c o s x= 2s i n x+π4ɤ2,A错误㊂对于B,由s i n2x=s i n x=2s i n x c o s x,可得s i n x=0或c o s x=12,所以∃xɪR,使得s i n2x=s i n x, B正确㊂对于C,∀xɪ-π2,π2,c o s x>0,所以1+c o s2x2=c o s x=c o s x,C正确㊂对于D,∀xɪ0,π4,s i n x<c o s x成立,D错误㊂应选B C㊂评注:熟练掌握三角函数的图像与性质是解答本题的关键㊂3知识结构与拓展高一数学2023年7 8月Copyright©博看网. All Rights Reserved.四㊁由全称量词命题与存在量词命题的真假,确定参数的取值范围例4 (1)若命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0为假命题,则实数a 的取值范围是( )㊂A .-ɕ,4 B .-ɕ,4 C .-ɕ,-4D .-4,+ɕ(2)若命题 ∃x ɪR ,(a 2-3a +2)x 2+(a -1)x +2<0 是真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:(1)因为命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0 为假命题,所以 ∃x 0ɪR ,x 20-4x 0+a =0 是真命题,所以方程x 2-4x +a =0有实根,所以Δ=(-4)2-4a ȡ0,解得a ɤ4㊂应选A ㊂(2)①若a 2-3a +2=0,则a =1或a =2㊂当a =1时,不等式为2<0,显然不成立;当a =2时,不等式为x +2<0,显然∃x ɪR ,使x +2<0成立,即a =2符合题意㊂②若a 2-3a +2<0,则1<a <2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向下,符合题意㊂③若a 2-3a +2>0,则a <1或a >2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向上,要使符合题意,只需方程(a 2-3a +2)㊃x 2+(a -1)x +2=0有两个不相等的实根,所以Δ=(a -1)2-4ˑ2(a 2-3a +2)>0,解得1<a <157,所以2<a <157㊂由①②③得实数a 的取值范围为1<a <157,即a ɪ1,157㊂评注:根据命题真假求参数的方法:利用题目条件,推出每个命题的真假(有时不一定只有一种情况);求出每个命题是真命题时参数的取值范围;根据每个命题的真假情况,确定出参数的取值范围㊂五㊁由全称量词命题与存在量词命题的否定的真假,确定参数的取值范围例5 命题:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为真命题,则实数a 的最大值为㊂解:由特称命题的否定可知:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为∀x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4ȡ0,且为真命题,所以a 2-4a -1ɤx 2+4x在x ɪ[1,4]上恒成立㊂对于∀x ɪ[1,4],x 2+4x =x +4xȡ24=4,当且仅当x =2时等号成立,所以a 2-4a -1ɤ4,所以-1ɤa ɤ5,即a ɪ[-1,5]㊂故所求实数a 的最大值为5㊂评注:解答这类问题的关键是利用命题的含义,结合函数的性质求得参数的取值范围㊂六㊁全称量词命题与存在量词命题的综合应用例6 命题p :∃x ɪ{x |-1ɤx ɤ1},使得x 2+1<a 成立;命题q :任意的x ɪ(0,+ɕ),不等式a x <x 2+1恒成立㊂若命题p 与q 只有一个为真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:若命题p 为真命题,则存在x ɪ[-1,1],使得x 2+1<a 成立㊂令f (x )=x 2+1,则x ɪ[-1,1],a >f (x )m i n ㊂因为f (x )m i n =f (0)=1,所以a >1㊂若命题q 为真命题,则对任意的x ɪ(0,+ɕ),a x <x 2+1恒成立,即a <x 2+1x恒成立㊂令函数g (x )=x 2+1x =x +1x,则x ɪ(0,+ɕ),a <g (x )m i n ㊂因为g (x )=x +1x ȡ2x ㊃1x =2,当且仅当x =1时等号成立,所以g (x )m i n =2,所以a <2㊂当命题p 与命题q 只有一个为真命题时,若命题p 为真命题且命题q 为假命题,则a >1且a ȡ2,所以a ȡ2;若命题p 为假命题且命题q 为真命题,则a ɤ1且a <2,所以a ɤ1㊂故实数a 的取值范围为(-ɕ,1]ɣ[2,+ɕ)㊂评注:利用分离法求函数不等式恒(能)成立问题,遵循以下原则:∀x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m i n ;∀x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m i n ㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
全称量词命题与存在量词命题的否定
(3)p：对任意 ∈ ，2的个位数字不等于3.
解：(1)﹁：存在一个能被3整除的整数不是奇数；
(2)﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；
(3)﹁p： ∈ Z，2的个位数字等于3.
通过上面的学习，我们可以知道：全称量词命题的否定就是存在量词命
题称为原命题的否定.记为 p ，读作“非 p”.例如：
原命题：56是7的倍数
否定：56不是7的倍数
原命题：空集是集合A ={1，2，3}的真子集
否定：空集不是集合A ={1，2，3}的真子集
注：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一
真一假.
全称量词命题的否定
思考1.写出下列命题的否定：
1.5.2 全称量词命题与存在量词
命题的否定
1.了解含有量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（重点）
2.正确地对含有量词的命题进行否定．（难点）
命题的否定
下列两个命题间有什么关系？
(1)35能被5整除;
(2)35不能被5整除.
答案：命题(2)是命题(1)的否定.
一般地，对一个命题 p 进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3) x R，x | x | 0 .
它们与原命题在形式上有什么变化？
（1）的否定：“存在一个矩形不是平行四边形”；
（2）的否定：“存在一个素数不是奇数”；
（3）的否定：“∃ ∈ R， + || < 0”．
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
(2)有些梯形是等腰梯形；
新课标2023版高考数学一轮总复习第1章预备知识第3节全称量词命题与存在量词命题教师用书
第三节全称量词命题与存在量词命题考试要求：能正确地对全称量词命题与存在量词命题进行否定．一、教材概念·结论·性质重现1．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”．( √)(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．( ×)(3)“∃x∈R，x2＋1＝0”为真命题．( ×)(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √)(5)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，p(x)”的真假性相反．( √) 2．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则p为( )A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，使得(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)e x≤1B 解析：“∀x >0，总有(x ＋1)e x >1”的否定是“∃x >0，使得(x ＋1)e x≤1”． 3．(多选题)下列命题为全称量词命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0ABC 解析： A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称量词命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在量词命题．故选ABC ．4．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，有x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立ABD 解析：原命题为存在量词命题，A ，B ，D 选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C 为全称量词命题．5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B 解析：锐角三角形的内角都是锐角，所以A 项是假命题；当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 项既是存在量词命题又是真命题；因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C项是假命题；对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 项是假命题．考点1 全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性1．(2021·南昌测试)命题“∀x ≥0，sin x ≤x ”的否定为( ) A ．∃x <0，sin x >x B ．∃x ≥0，sin x >xC ．∀x ≥0，sin x >xD ．∀x <0，sin x ≤xB 解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题．因为否定的是结论而不是条件，所以A 选项错误，B 选项正确．故选B ．2．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2D 解析：改变量词，否定结论．所以p 应为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2．”3．(2021·安徽滁州联合质检)命题“∃x ∈R,2x 2<cos x ”的否定为________________． ∀x ∈R,2x 2≥cos x 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x ∈R,2x 2<cos x ”的否定为“∀x ∈R,2x 2≥cos x ”．1．解决此类问题一般是先改写量词，再否定结论．2．对于省去量词的命题要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．考点2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断——综合性(1)下列四个命题中的真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<n D ．∀n ∈R ，n 2<nB 解析：对于选项A ，令n ＝12，即可验证其为假命题；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均为假命题．(2)(多选题)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x |y ＝lg x －3}，则下列命题中的真命题是( )A ．∃m ∈A ，mB B ．∃m ∈B ，m AC ．∀m ∈A ，m ∈BD ．∀m ∈B ，m ∈AAD解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，B＝{x|y＝lg x－3}＝(3，＋∞)，所以B A，则A，D是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真1．(2022·重庆一中模拟)命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则( )A．p是假命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1B．p是假命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1D．p是真命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C解析：因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，所以p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1．2．(多选题)命题p：存在实数x∈R，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为( )A．{3,4,5} B．{x|x>3}C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}ABCD解析：根据中位数的定义可知，只需x≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A，B，C，D中的取值集合均满足x≥3．考点3 全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性(1)“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥0B．a≥1C．a≥2 D．a≥3D解析：“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题，即2a≥x2在x∈[－2,1]时恒成立，所以2a≥4，所以a≥2，即“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥2，所以可转化为求“a≥2”的充分不必要条件，即找集合A ＝{a |a ≥2}的非空真子集，结合选项知故选D ．(2)(多选题)(2021·辽宁盘锦模拟改编)使命题“∃x ∈[－1，2)，f (x )＝－x 2＋ax ＋4≤0”为假命题的充分不必要条件可以为( )A ．0≤a ＜3B ．0＜a ＜3C ．a ＜3D ．1＜a ＜2BD 解析：若命题p “∃x ∈[－1,2)，f (x )＝－x 2＋ax ＋4≤0”为假命题，则命题p“∀x ∈[－1,2)，f (x )＝－x2＋ax ＋4＞0”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1＞0，f 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ＋4＞0，－4＋2a ＋4≥0，解得0≤a ＜3，结合选项知BD 正确．例2(1)改为“∃x ∈[－2,1)，x 2－2a ≤0”为真命题，则a 的取值范围为________． AB 解析：“∀x ∈[－2,1]，x 2－2a ≤0”为真命题，即2a ≥x 2在x ∈[－2,1]时恒成立，所以2a ≥4，所以a ≥2，即“∀x ∈[－2,1]，x 2－2a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥2，所以可转化为求“a ≥2”的必要不充分条件．结合选项知选AB ．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．1．命题“存在x ∈R ，使x 2＋ax －4a ＜0为假命题”是命题“－16≤a ≤0”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析：因为存在x ∈R ，使x 2＋ax －4a <0为假命题，所以任意x ∈R ，使x 2＋ax －4a ≥0为真命题，则Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0．故选A ．2．若“∃x ∈(0，＋∞)，λx >x 2＋1”是假命题，则实数λ的取值范围是________． (－∞，2] 解析：因为∃x ∈(0，＋∞)，λx >x 2＋1是假命题，所以∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1≥λx 为真命题，即λ≤x ＋1x 在(0，＋∞)上恒成立．当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以λ≤2．。
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全称量词与存在量词
典例精讲
例
全称量词与存在量词
本题小结
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题： ➢ 判断为真，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立； ➢ 判断为假，只要能举出集合M中的一个x=x0，使得p(x0)不成立即可，此方法为“举反例”. (2)存在量词命题: ➢ 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可； ➢ 否则，这一存在量解：(1)和(3)含有全称量词 ，为全称量词命题；
(2)和(4)含有存在量词，为 存在量词命题.
全称量词与存在量词
本题小结
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 (1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量 词的命题是存在量词命题； (2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断； (3)全称量词命题有时会省略全称量词,但存在量词命题的量词一般不能省略.
1.5.1 全称命题与存在命题 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一
存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的 _∃__
含有存在量词 的命题 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 “∃x∈M，p(x) ”
4 例题解析
【例1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题
(1)任何实数的平方都是非内角中有锐角; (2)任何数与0相乘，都等于0; (3)任何一个实数都有相反; (4)△ABC的内角中有锐角; (5) 有的偶数是合数； (6)在同一平面内，与同一直线垂直的两条直线平行； (7)有的三角形两边长相等； (8)和圆没有公共点的直线与圆相离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2 m 4或2 m 3 2 m 4
m {m | 2 m 4}。
4 例题解析
【例5】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p:“∀x∈A，x∈B”， 是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
所以它们不是命题.
语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；
语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定；
从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
2 全称量词与全称量词命题
知识点1
全称量词 符号表示
所有的、任意一个、一切、每一个、任给 _∀__
2 全称量词与全称量词命题
问题1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数.
【解析】语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
2.3全称量词命题与存在量词命题2.3.1全称量词命题与存在量词命题课标要求素养要求1.理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.新知探究有下列几个命题：①有些集合没有子集；②所有三角形都有外接圆；③有些四边形有内切圆.问题在这些命题中有一些短语“有些，所有的”在逻辑中如何定义？提示短语“所有的，全部，任一个”等在逻辑中通常叫做全称量词.而“有些”“有一个”“有的”是存在量词.1.全称量词和全称量词命题(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：∀x∈M，p(x).2.存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，常用符号“∃x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：∃x∈M，p(x).拓展深化[微判断]1.存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(×)2.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)3.“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(√)4.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)提示3是无理数，但(3)2＝3是有理数.[微训练]用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(3)所有的梯形都不是平行四边形；(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.解(1)∃(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.(2)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)∀x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.(4)∀x∈R，－x2＋2x－4<0.[微思考]1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题型一全称量词与存在量词命题的识别【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点.(3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上.题型二命题真假的判断【例2】判断下列命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)任意矩形的对角线相等； (3)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0. 解 (1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)是真命题.(3)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在量词命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0”为假命题.规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x ，使p (x )成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x ，p (x )都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x ，使p (x )不成立即可.【训练2】 判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)∃x ∈R ，2x 2＋x ＋1<0； (3)∀x ∈R ，x 2>0.解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y ＝x 2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题. ∵2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78≥78>0，∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题. (3)该命题是全称量词命题.x ＝0时，x 2＝0，故该命题是假命题. 题型三 由命题的真假求参数范围【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. (1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围. 解 (1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅， 因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤5，2m －1≥－2，m ≥2.解得2≤m ≤4.规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围. 【训练3】 (1)已知命题“∃x ∈[－3，2]，3a ＋x －2＝0”为真命题，求实数a 的取值范围.(2)∀x ∈[1，5]，1x －2m ＋3≥0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由3a ＋x －2＝0得－x ＝3a －2.∵x ∈[－3，2]，∴－2≤－x ≤3，∴－2≤3a －2≤3， 即0≤a ≤53.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53.(2)令y ＝1x ，由图象可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1，∴2m －3≤15，∴m ≤85，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，85.一、素养落地1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题. 二、素养训练1.下列命题中全称量词命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n 边形的内角和是(n －2)×180°. A.0 B.1 C.2D.3解析 ①③是全称量词命题. 答案 C2.下列存在量词命题是假命题的是( ) A.存在x ∈Q ，使4－x 2＝0 B.存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的实数为正数解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0恒成立.答案 B3.对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]4.给出下列四个命题：①有理数是实数；②矩形都不是梯形； ③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1； ④凡是三角形都有内切圆.其中全称量词命题是________(填序号).解析 在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①的实质为：所有的有理数都是实数；②的实质是：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题. 答案 ①②④5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1)∃x ，x －2≤0；(2)三角形两边之和大于第三边； (3)有些整数是偶数.解 (1)存在量词命题.x ＝1时，x －2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x ，x －2≤0”是真命题.(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.基础达标一、选择题1.下列命题中存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.A.0B.1C.2D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.答案 B2.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.0<a<4B.a>4C.a<0D.a≥4解析∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4. 答案 B3.下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A.有一个x∈R，使得x2>3成立B.对有些x∈R，使得x2>3成立C.任选一个x∈R，都有x2>3成立D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立解析“任选一个”“任意一个”是全称量词.答案 C4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为()A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D.存在x <0，y <0，使x 2＋y 2≤2xy 成立解析 B ，D 有存在量词“存在”，C 中，x ，y 的范围与原命题不符. 答案 A5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a ，b ，若a －b ≤0，则a ≤b D.存在一个实数x ，使等式x 2－2x ＋1＝0成立解析 B ，D 是存在量词命题，故应排除；对于A ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象开口向下，也应排除，故应选C. 答案 C 二、填空题6.命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2>0”用“∃”写成存在量词命题为________.解析 存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”.答案 ∃x <0，(1＋x )(1－9x )2>07.若命题“∃x ∈R ，使x 2＋2x －3m ＝0”为真命题，则m 的取值范围为________. 解析 由方程有实根，即Δ＝4＋12m ≥0，∴m ≥－13. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞8.下列全称量词命题中真命题的个数为________. ①∀x ∈R ，x 2＋2>0； ②∀x ∈N ，x 4≥1；③对任意x ，y ，都有x 2＋y 2≠0.解析 ①由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题.②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.答案 1三、解答题9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？(1)矩形有一个外接圆.(2)非负实数有两个平方根.(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.解(1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”是全称量词命题.(2)原命题改写为“任意的非负实数都有两个平方根”是全称量词命题.(3)原命题改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”是存在量词命题.10.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假.(1)实数都能写成分数形式；(2)有一个实数x，使1x－1＝0；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}.解(1)∀x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题.(2)∃x∈R，1x－1＝0.因为不存在x∈R，使1x－1＝0，所以该命题是假命题.(3)∀x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合}，A{1，2，3}.存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.能力提升11.已知命题p：∃x≥3，使2x－1<m是假命题，则实数m的最大值为________. 解析命题p为假命题，则任意x≥3，2x－1<m不成立，因为当x≥3时，2x－1≥5，故m≤5.答案 512.若∀x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.创新猜想13.(多选题)下列说法错误的是()A.对所有的正实数t，有t<tB.存在实数x，使x2－3x－4＝0C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4解析t＝14时，t>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.答案ACD14.(多选题)下列命题中的真命题是()A.∀x∈R，|x|＋1>0B.∀x∈N＋，(x－1)2>0C.∃x∈R，1x<1 D.∃x∈R，5x－3＝2解析A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；C项，当x>1时，1x<1，故C正确；D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确. 答案ACD。
全称量词命题和存在量词命题的否定
量词命题的否定
学习目标
发展素养
1.能正确使用存在量词对全称 1.借助全称量词命题和存在量词命题的
量词命题进行否定，并会判 否定判断命题的真假性，提升逻辑推
断真假．
理素养．
2．能正确使用全称量词对存 2．通过对命题否定的学习，学生能使用
在量词命题进行否定，并会 常用逻辑用语表达数学对象，进行数
判断真假.
学推理，提升数学抽象素养.
知识点一 全称量词命题的否定 (一)教材梳理填空 1．命题的否定：
(1)一般地，对一个命题进行 否定 ，就可以得到一个新的命题，这一新命 题称为原命题的否定． (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 _一__真__一__假__ .
[微提醒] 命题的否定是只否定结论，不否定条件．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．[好题共享——选自北师大版新教材]请举出几个生活中的全称量词命题或存在
量词命题，并写出这些命题的否定． 解：(1)这个篮子里的鸡蛋都是好的． 其否定是这个篮子的鸡蛋并非都是好的． (2)某箱产品至少有一件是次品． 其否定是某箱产品都是正品．(答案不唯一)
2．全称量词命题的否定：
全称量词命题 全称量词命题的否定
结论
∀x∈M，p(x)
__________________________
全称量词命题的否定是 _存__在__量__词_命题
[微思考] 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 提示：不唯一．如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所 有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3 全称量词命题与存在量词命题“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．1．全称量词与全称量词命题(1) “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．2．存在量词与存在量词命题(1) “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M, p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．全称量词命题与存在量词命题的否定语句p(x)是对语句p(x)的否定．一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否p：∃x∈M，p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否p：∀x∈M，p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．一般地，对全称量词命题的否定，主要对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．4．全称量词命题与存在量词命题的真假的判定(1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可．(2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明．(3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．1．下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C2．下列全称量词命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 [答案] B3．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2 019<1 D．∃x∈R,2x＞2B [当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．] 4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是( ) A．p：∃x∈R，sin x≥1B．p：∀x∈R，sin x≥1C．p：∃x∈R，sin x＞1D．p：∀x∈R，sin x＞1[答案] C全称量【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝．[解] (1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0．[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．全称量词命题和存在量词命题的否定【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C．(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0．[解] (1) p：∃x∈R，＜0，假命题．因为∀x∈R，≥0恒成立，所以p是假命题．(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3) r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r是真命题．(4) s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．全称量词命题与【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m｜m<－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax．3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．m≥1B．m＞1C．m＜1 D．m≤1B [命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m ＞1．故选B．]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，条件不变，并把命题的结论加以否定．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x R，x2－3x＋3≤0． ( )[答案] (1)√(2)×(3)×2．下列存在量词命题中，是假命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C [A中，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C．] 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．]4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3．[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．2.3 全称量词命题与存在量词命题“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．1．全称量词与全称量词命题(1) “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．2．存在量词与存在量词命题(1) “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M, p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．全称量词命题与存在量词命题的否定语句p(x)是对语句p(x)的否定．一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否p：∃x∈M，p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否p：∀x∈M，p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．一般地，对全称量词命题的否定，主要对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．4．全称量词命题与存在量词命题的真假的判定(1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可．(2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明．(3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．1．下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C2．下列全称量词命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5[答案] B3．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2 019<1 D．∃x∈R,2x＞2B [当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．]4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是( )A．p：∃x∈R，sin x≥1B．p：∀x∈R，sin x≥1C．p：∃x∈R，sin x＞1D．p：∀x∈R，sin x＞1[答案] C全称量词命题和存在量词命题的判断【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝．[解] (1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0．[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．全称量词命题和存在量词命题的否定【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C．(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0．[解] (1) p：∃x∈R，＜0，假命题．因为∀x∈R，≥0恒成立，所以p是假命题．(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3) r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r是真命题．(4) s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．全称量词命题与存在量词命题的应用【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m｜m<－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax．3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．m≥1B．m＞1C．m＜1 D．m≤1B [命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1．故选B．]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，条件不变，并把命题的结论加以否定．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x R，x2－3x＋3≤0． ( )[答案] (1)√(2)×(3)×2．下列存在量词命题中，是假命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C [A中，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C．] 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．]4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3．[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。
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1.4 全称量词与存在量词
教材内容：1.全称命题及其真假判断；2.特称命题及其真假判断；教材分析：全称量词和特称量词是数学选修1—1第一章常用逻辑用语里面最后一节内容。
在我们日常交往、学习和工作中，
逻辑用语是必不可少的工具。
学习一些常用逻辑用语，可
以使我们真确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表
达数学内容。
新课标要求：新课程理念告诉我们，教师已不再象以前是知识的权威，也不都是将事先组织的知识体系传递给学生。
而是学
生们的合作伙伴，帮助学生掌握和提高解决问题的方法以
及把握好行动的方向，在学生研究问题的关键时候“扶
一把”，与学生共同探究知识。
学情分析：高二（8）是由68人组成的普通文科班，学生数学基础薄弱，但很刻苦。
在数学方面绝大多数学生是学困生，
所以在教学中要设计新颖别致的问题，使学生学习有趣
味感、新鲜感，从而诱发学生的内驱力。
教学目标：
知识与技能：1.全称量词、存在量词的含义和表示；
2.正确区分全称命题和特称命题；
3.准确判断全称命题和特称命题的真假；
过程与方法：1.通过探究式学习全称命题的含义、表示以及判断全
称命题真假的方法；
2.用类比法归纳特称命题的含义、表示以及判断特称
命题真假的方法；
情感、态度、价值观:培养逻辑思维，提高解决问题的能力；
重点目标：能区分全称命题和特称命题，能判断它们真假；
教学难点：准确判断全称命题和特称命题的真假
教学关键：1.正确区分全称命题和特称命题；
2.准确判断全称命题和特称命题的真假；
教学方法或模式：自主探究法讨论法类比法
教学活动设计思路：创设情景，引入课题→探究全称命题的含义和表示→引导学生总结判断全称命题真假的方法→探究
特称命题的含义和表示→引导学生总结判断特称命题真
假的方法→课堂练习、小结与课后作业；
教学用具：多媒体
教学过程：
一、复习命题和简单的逻辑联结词
二、创设情境引入课题
1.所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护.
2.凡是中国人，都是黄种人.
3.全体同学到多媒体教室上数学课.
4.每一个例题都必须认真听懂.
5.有一位同学没来上课.
6.对任意实数x，它的平方大于等于0.
7.存在两个相交平面垂直于同一条直线.
通过生活和数学中的实例，引出课题——全称量词和存在量词。
三、 学习新知
1. 探究全称命题的含义和表示及命题的真假判断
问题1：下列语句是命题吗? (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)3;(2)21,3;,21x x x R x x Z x ≥+∈≥∈+是整数；
(3)对所有的（4）对任意一个是整数
短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号“∀”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
问题2：你还能列举一些常见的全称量词吗？
“对一切” “对每一个”“任给”“所有的”等。
问题3：你能列举出一些全称命题的实例吗？你是如何判断全称命题？归纳总结，得出规律。
问题4：全称命题用数学符号语言怎样表示？其数学意义是什么？
将含有变量x 的语句用p (x ), q (x ), r (x ),…表示,变量x 的取值范围用M 表示，那么全称命题“对M 中任意一个x ，有 p (x )成立”可用符号简记为(),x M p x ∀∈，
读作：“对任意x 属于M ，有 p (x )成立”.
例1：判断下列全称命题的真假：
(1) 所有的素数都是奇数；（2）11,2≥+∈∀x R x
(3) 2
,x x 对每一个无理数也是无理数
解 （1）假命题（2）真命题（3）假命题
练习 ：判断下列全称命题的真假：
（1） 每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方
根；（3）2{|}x x x x ∀∈是无理数，是无理数。
解（1）真命题（2）假命题（3）假命题
问题5：如何判断特称命题的真假？学生自己总结，得出方法。
2. 探究特称命题的含义和表示及命题的真假判断 用类比法让学生归纳总结。
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
常见的存在量词还有 “有些”
“有一个” “对某个”等.特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题。
特称命题的符号表示：0
0,(),x M p x ∃∈ 000()()x p x p x 读作“存在一个属于M ，使成立”. 例2 判断下列特称命题的真假：
（1）000x x x 2有一个实数，使+2+3=0；
(2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3） 有些整数只有两个正因数。
解（1）假命题（2）假命题（3）真命题
练习 判断下列特称命题的真假：
（1）00,0x R x ∃∈≤
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
（3）200{|}x x x x ∃∈是无理数，是无理数。
解（1）真命题（2）真命题（3）真命题
学生自己总结判断特称命题的真假，得出方法。
3.目标检测：世纪金榜p17
4.课时小结：
1.全称量词、存在量词的含义和表示；
2.正确区分全称命题和特称命题；
3.准确判断全称命题和特称命题的真假；
5.课后作业：课本P26习题1.4 1、2
6.板书设计：
1.4全称量词和存在量词
1.全称量词
2.特称量词
例1 例2
练习练习
四．课后反思：。