连续体的有限元分析原理

平面问题的单元构造
表1
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
4节点矩形单元
单元的几何和节点描述
4节点矩形单元
8个节点位移自由度
平面问题的单元构造
单元位移场的表达
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
单元应变场的表达
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
单元的刚度方程
3节点三角形单元
将单元的势能式对节点位移 qe 取一阶极值，可得到单元的刚度方程
单元在承受非节点载荷时，如在边线上承受一个分布载荷，这时应根据
外力功的计算公式来获得节点载荷的等效值，常见的平面问题3节点三角 形单元的节点等效外载荷列阵如表1所示；
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计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
单元的刚度矩阵
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
位移场分布图 应变场分布图 应力场分布图
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
如图所示的平面矩形结构，其 假设有约束和外载，即
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算精度的比较
平面问题的单元构造
计算各个单元的位移场、应变场、应力场。
计算精度的比较
平面问题的单元构造
位移场分布图 应变场分布图 应力场分布图
演 讲 人：彭 珊
连续体的离散过程及特征
桥梁结构
桥梁结构
本身存在有自然的连接关系 自然离散
连续体的离散过程及特征
连续体
连续体
本身内部不存在自然的连接关系，而是以连续介质的形式给出物质间的相互 关联，所以，必须人为的在连续体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连续 的形式来逼近原来复杂的几何形状。
单元应力场的表达
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
单元势能的表达 是4节点矩形单元的刚度矩阵
各个子块矩阵为
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
4节点矩形单元
平面问题的单元构造
4节点矩形单元
将单元的势能对节点位移 取一阶极值，可得到单元的刚度方程
平面问题的单元构造
三角形单元与矩形单元计算精度的比较
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
单元应变场的表达
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
单元应力场的表达
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
单元的势能的表达
3节点三角形单元
逼近性离散
Leabharlann Baidu 平面问题的单元构造
3节点三角形单元
单元的几何和节点描述
3节点三角形单元
6个节点位移自由度（DOF）
平面问题的单元构造
单元位移场的表达
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
平面问题的单元构造
3节点三角形单元
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平面问题的单元构造
3节点三角形单元
代入上述表达式，重写位移函数，并以节点位移的形式进行表示，有：
平面问题的单元构造
从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是完全一次式， 因而其应变场和应力场在单元内均为常数；而四边形单元其形函数带有二次 式，计算得到的应变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函 数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计 算精度越高，从上述计算表达式，比较两种单元计算得到的系统势能，可以 看出，在相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角形单元高。 下面进行的精细网格划分的计算也说明这一点