初一上册 重难点——探索多个绝对值和的最值问题及x的取值专题

若x<1 AM+BM=AB+2AM>AB
若点M在AB上时，即１≤ｘ≤２， AM+BM=AB 取到最小值
因此，当１≤ｘ≤２时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣有最小值，最小值是１（AB=1）
注：也可用分类讨论的方法求∣x－1∣+ ∣x－2∣的最小值
探究三
问题：当x满足
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣有最小值，最小值是多少？
大头老师
知识准备
1、∣a∣表示的意义是什么？ ∣a∣的意义：在数轴上表示数a的点到原点的距离 2、∣a∣是什么数？最小是多少？ ∣a∣是非负数，即∣a∣≥0，最小值是0 3、你知道∣x+3∣表示的意义吗？它的最小值是多少？ ∣x+3∣的意义：在数轴上表示数x的点到表示-3的点的距离；最小值是0.
探究一
思维点拨： 1、∣x－1∣表示的意义是什么？
2、∣x－2∣表示的意义是什么？
3、∣x－1∣ + ∣x－2∣表示的意义又是什么？
问题解决
解:设A：1，B：2，M：x
A:1；B:2???
M AMB M
则AM=∣x－1∣，BM= ∣x－2∣ AM +BM ＝ ∣x－1∣+ ∣x－2∣
若x>2 AM+BM=AB+2BM>AB
=0+2+4+6+8+...+2020
=1010×1011
=1021110
思考题
问题：当x满足
时， ∣2x－4∣+ ∣3x+6∣+ ∣4x－4∣有最小值，最小值是多少？
当3≤x≤4时， ∣x－3∣ + ∣x－4∣有最小值为1.
三者同时取最小值的条件是3≤x≤4
因此，当3≤x≤4时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－4∣ + ∣x－5∣ + ∣x－6∣ 有最小值，最小值是9
探索与发现
由上述几个探究你发现了什么规律?每个探索的规律一样吗？
规律
问题：当x满足
探索六
问题：当x满足
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－4∣+ ∣x－5∣ + ∣x－6∣
有最小值，最小值是多少？
同样，我们可以分为∣x－1∣+ ∣x－6∣、 ∣x－2∣+ ∣x－5∣和∣x－3∣ + ∣x－4∣ 三组
当1≤x≤6时， ∣x－1∣ + ∣x－6∣有最小值为5.
当2≤x≤5时， ∣x－2∣ + ∣x－5∣有最小值为3.
时， ∣x－a1∣+ ∣x－a2∣+ ∣x－a3∣+ ...+ ∣x－an-1∣ + ∣x－an∣
Байду номын сангаас
有最小值？已知a1≤a2≤a3≤a4≤... ≤an-1≤an
结论： ⑴当n为奇数时
a 当x= n1 时，原式有最小值. 2
⑵当n为偶数时
a a 当 n x n1 时，原式有最小值.
2
2
拓展延伸一
拓展延伸二
问题：当x满足
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+...+ ∣x－2020∣ + ∣x－2021∣
有最小值，最小值是多少？
当x=1011时，原式有最小值. 它的最小值为： （1011-1）+（1011-2）+（1011-3）+...+1+0+1+2+...+ （2020-1011）+ （2021-1011）
问题：当x=
时，∣x－2∣－3有最小值，最小值是多少？
解：∵ ∣x－2∣≥0 ∴ ∣x－2∣－3≥ －3 ∵当x=2时， ∣x－2∣=0 ∴当x=2时， ∣x－2∣－3=－3 因此，当x=2时， ∣x－2∣－3有最小值，最小值是－3
探究二
当x=
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣有最小值，最小值是多少？
同样，我们可以分为∣x－1∣+ ∣x－5∣、 ∣x－2∣+ ∣x－4∣和∣x－3∣三组 当1≤x≤5时， ∣x－1∣ + ∣x－5∣有最小值为4. 当2≤x≤4时， ∣x－2∣ + ∣x－4∣有最小值为2. 当x=3时， ∣x－3∣ 有最小值为0. 三者同时取最小值的条件是x=3
因此，当x=3时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－4∣ + ∣x－5∣有最小值， 最小值是6
问题：当x=
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+...+ ∣x－2020∣有最小值，
最小值是多少？
当1010≤x≤1011时，原式有最小值.取x=1010 则它的最小值为：
（1010-1）+（1010-2）+（1010-3）+...+（1010-1010） +（1011-1010）+（1012-1010）+...+（2020-1010） =1009+1008+1007+...+1+0+1+2+...+1010 =10102 =1020100
1、那么怎样求∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣的最小值呢？能否分为两组呢？怎 么分组呢？
可分为∣x－1∣ + ∣x－3∣和∣x－2∣两组. 分组标准：存在x取值同时满足各组.有最小值 有探究一和探究二可知
当1≤x≤3时， ∣x－1∣ + ∣x－3∣有最小值为2.
当x=2时， ∣x－2∣有最小值是0
当1≤x≤4时， ∣x－1∣ + ∣x－4∣有最小值为3. 当2≤x≤3时， ∣x－2∣ + ∣x－3∣有最小值为1.
二者同时取最小值的条件是2≤x≤3
因此，当2≤x≤3时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－4∣ 有最小值，最小值是4
探索五
问题：当x满足 最小值是多少？
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－4∣+ ∣x－5∣有最小值，
2、X为多少时，可以满足两组同时取最小值呢？ x = 2
因此，当x=2时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣有最小值，最小值是2
探究四
问题：当x满足 最小值是多少？
时， ∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+ ∣x－4∣有最小值，
同样，我们可以分为∣x－1∣+ ∣x－4∣和 ∣x－2∣+ ∣x－3∣两组