初一上册 重难点——探索多个绝对值和的最值问题及x的取值专题
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当1≤x≤4时, ∣x-1∣ + ∣x-4∣有最小值为3. 当2≤x≤3时, ∣x-2∣ + ∣x-3∣有最小值为1.
二者同时取最小值的条件是2≤x≤3
因此,当2≤x≤3时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+ ∣x-4∣ 有最小值,最小值是4
探索五
问题:当x满足 最小值是多少?
时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+ ∣x-4∣+ ∣x-5∣有最小值,
当3≤x≤4时, ∣x-3∣ + ∣x-4∣有最小值为1.
三者同时取最小值的条件是3≤x≤4
因此,当3≤x≤4时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+ ∣x-4∣ + ∣x-5∣ + ∣x-6∣ 有最小值,最小值是9
探索与发现
由上述几个探究你发现了什么规律?每个探索的规律一样吗?
规律
问题:当x满足
思维点拨: 1、∣x-1∣表示的意义是什么?
2、∣x-2∣表示的意义是什么?
3、∣x-1∣ + ∣x-2∣表示的意义又是什么?
问题解决
解:设A:1,B:2,M:x
A:1;B:2???
M AMB M
则AM=∣x-1∣,BM= ∣x-2∣ AM +BM = ∣x-1∣+ ∣x-2∣
若x>2 AM+BM=AB+2BM>AB
时, ∣x-a1∣+ ∣x-a2∣+ ∣x-a3∣+ ...+ ∣x-an-1∣ + ∣x-an∣
有最小值?已知a1≤a2≤a3≤a4≤... ≤an-1≤an
结论: ⑴当n为奇数时
a 当x= n1 时,原式有最小值. 2
⑵当n为偶数时
a a 当 n x n1 时,原式有最小值.
2
2
拓展延伸一
若x<1 AM+BM=AB+2AM>AB
若点M在AB上时,即1≤x≤2, AM+BM=AB 取到最小值
因此,当1≤x≤2时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣有最小值,最小值是1(AB=1)
注:也可用分类讨论的方法求∣x-1∣&, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣有最小值,最小值是多少?
1、那么怎样求∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣的最小值呢?能否分为两组呢?怎 么分组呢?
可分为∣x-1∣ + ∣x-3∣和∣x-2∣两组. 分组标准:存在x取值同时满足各组.有最小值 有探究一和探究二可知
当1≤x≤3时, ∣x-1∣ + ∣x-3∣有最小值为2.
当x=2时, ∣x-2∣有最小值是0
=0+2+4+6+8+...+2020
=1010×1011
=1021110
思考题
问题:当x满足
时, ∣2x-4∣+ ∣3x+6∣+ ∣4x-4∣有最小值,最小值是多少?
同样,我们可以分为∣x-1∣+ ∣x-5∣、 ∣x-2∣+ ∣x-4∣和∣x-3∣三组 当1≤x≤5时, ∣x-1∣ + ∣x-5∣有最小值为4. 当2≤x≤4时, ∣x-2∣ + ∣x-4∣有最小值为2. 当x=3时, ∣x-3∣ 有最小值为0. 三者同时取最小值的条件是x=3
因此,当x=3时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+ ∣x-4∣ + ∣x-5∣有最小值, 最小值是6
拓展延伸二
问题:当x满足
时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+...+ ∣x-2020∣ + ∣x-2021∣
有最小值,最小值是多少?
当x=1011时,原式有最小值. 它的最小值为: (1011-1)+(1011-2)+(1011-3)+...+1+0+1+2+...+ (2020-1011)+ (2021-1011)
2、X为多少时,可以满足两组同时取最小值呢? x = 2
因此,当x=2时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣有最小值,最小值是2
探究四
问题:当x满足 最小值是多少?
时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+ ∣x-4∣有最小值,
同样,我们可以分为∣x-1∣+ ∣x-4∣和 ∣x-2∣+ ∣x-3∣两组
问题:当x=
时,∣x-2∣-3有最小值,最小值是多少?
解:∵ ∣x-2∣≥0 ∴ ∣x-2∣-3≥ -3 ∵当x=2时, ∣x-2∣=0 ∴当x=2时, ∣x-2∣-3=-3 因此,当x=2时, ∣x-2∣-3有最小值,最小值是-3
探究二
当x=
时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣有最小值,最小值是多少?
大头老师
知识准备
1、∣a∣表示的意义是什么? ∣a∣的意义:在数轴上表示数a的点到原点的距离 2、∣a∣是什么数?最小是多少? ∣a∣是非负数,即∣a∣≥0,最小值是0 3、你知道∣x+3∣表示的意义吗?它的最小值是多少? ∣x+3∣的意义:在数轴上表示数x的点到表示-3的点的距离;最小值是0.
探究一
问题:当x=
时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+...+ ∣x-2020∣有最小值,
最小值是多少?
当1010≤x≤1011时,原式有最小值.取x=1010 则它的最小值为:
(1010-1)+(1010-2)+(1010-3)+...+(1010-1010) +(1011-1010)+(1012-1010)+...+(2020-1010) =1009+1008+1007+...+1+0+1+2+...+1010 =10102 =1020100
探索六
问题:当x满足
时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x-3∣+ ∣x-4∣+ ∣x-5∣ + ∣x-6∣
有最小值,最小值是多少?
同样,我们可以分为∣x-1∣+ ∣x-6∣、 ∣x-2∣+ ∣x-5∣和∣x-3∣ + ∣x-4∣ 三组
当1≤x≤6时, ∣x-1∣ + ∣x-6∣有最小值为5.
当2≤x≤5时, ∣x-2∣ + ∣x-5∣有最小值为3.