有限元小教程：线性约束方程

线 性 约 束 方 程

By wild_field

1. 解释

线性约束方程即线性多点约束方程，为节点（或节点组）变量的线性组合。形如：

021=+⋅⋅⋅++R k

u N A Q j u A P i u A （1） 其中节点变量P i

u 表示节点P 在第i 个自由度方向上的位移。 2. 所需的参数（请参看（1）式）

⑴ 方程式中项的个数：N ；

⑵ 节点（或节点组）：P ，Q ，…，R ；自由度：i ，j ，…，k ；

⑶ 系数： n A A A , (21)

例如：

010*******=+−u u u （2）

其参数为：N =3, P =5, i =3, 1A =1.0, Q =6, j =1, 2A =–1.0, R =1000, k =3, 3A =1.0。

3. 用法

⑴ inp 文件用法为：

等式（2）在inp 文件中写为：

*EQUATION

3

5, 3, 1.0, 6, 1, -1.0, 1000, 3, 1.0

写成通俗的格式为：

*EQUATION

N

P, i, 1A , Q, j, 2A , …

这里的P 和Q 可为节点或节点组。如果P 为节点组，那么Q 可以为节点组，也可为节点；如果P 为单一的节点，那么Q 只能为单一的节点。当节点组相对应时，要注意节点间的对应关系要正确。

⑵ CAE 用法：

Interaction 模块：Create Constraint ：Equation 。

只能以节点组的形式应用。第一个组可以包含一个点或多个点，第二个组仅能包含一个点。

4. 一个常用的约束方程

021=−+⋅⋅⋅++Z m u R k u N A Q j u A P i u A ) （3）

方程（3）引入了点Z （比如上图的参考点），它与模型中任何一个单元都不相连，是一个“孤立”的点。Z

m u )为Z 点在自由度m 方向上的位移，这个位移的值可随时间变化，并可以通过边界条件来施加。方程内的其它点（比如上图黄线框内的点）在其规定的自由度方向上的位移都会随着Z 点在自由度m 方向上位移的变化而变化。这种方法经常在Abaqus/Explicit 中应用。

5. 求得约束力

对于给定的约束方程，节点的约束力是与各自的系数成比例关系的。为求得约束力，可引入一个“孤立点”Z ，改写方程如下：

0121=−+⋅⋅⋅++Z m u A R k u N A Q j u A P i u A ) （4）

指定为0位移边界条件，由等式（4）可知，Z 点在自由度m 方向上的约束力等于P 点在自由度i 方向上的约束力；其它点在其自由度方向上的约束力为P 点约束力的1/A A K 倍（K A 为各项的系数）。

例如：010*******=−−u u u ，节点1000为孤立点，因为53u 的系数与10003u 的系数相反，节点5在自由度3方向上的力就等于节点1000在自由度3方向的力；因为63u 的系数与10003u 的系数相同，节点6在自由度3方向上的力与节点1000在自由度3方向的力相反。

6. 需要注意的地方

⑴ 在Abaqus/Standard 中，第一个节点变量P i

u （见（1）式，对应系数1A ）在施加约束时被孤立出来（在（2）式中节点5在3方向的自由度被束缚）；因此它不能被用于施加边界条件，也不能被用于任何后继的multi-point 约束，kinematic coupling 约束，tie 约束及equation 约束。另外系数1A 也不能为0。在Abaqus/Explicit 中没有这些限制。

⑵ 在Abaqus/Standard 中，线性多点约束不能用于连接两个刚体上的点（参考点除外），因为多点约束使自由度被束缚，而刚体上的其他点没有独立的自由度。在Abaqus/Explicit 中刚体上的参考点与其他点可以用于约束方程。

⑶ 线性约束方程会引入约束力，这些力被认为是外部力，它们不会被添加到反作用力输出中去。因此最后反作用力输出的结果提供的是一个不完全的总体平衡的测量。如下图所示的系统：

静平衡反力为3−=C y R ，6−=D y R ，增加了线性约束方程0=−B y

u A y u 后，为保证梁维持水平，引入了约束力5.1=A y F

和5.1−=B y F ，新的支反力为5.4−==D y

R C y R 。由于约束力不会被添加到反作用力输出中去，所以总体弯矩在A 点的平衡不能被核实。

总体力平衡也可以是不完全的。如下图所示系统：

约束方程为：0=−B x u A y u ，这将引入x

F 和y F 两个约束力，由于约束力不会被添加到反作用力输出中去，所以在X 和Y 方向导致不完全的总体力平衡。