数学解题中的差异分析法

数学解题中的差异分析法

程富良

所谓差异分析法简单就是寻找题目中条件与结论之间的差异，再通过不断平衡这些差异达到解题目标的方法。差异分析可以为我们确定解题的方向，一旦找到平衡，就要做到立即平衡差异，直到到达目标.

【例题1】(高一练习册P35例4)已知112

2

3a a

-+=，求下列各式的值：

(1)1a a -+ ； （2）22

a a -+ ； （3）

3322112

2

a a a a

--

-- .

【分析】(1)差异：条件112

2

3a a

-

+=中的指数分别为11

-22

和

结论1

a a -+中的指数分别为1-1和

即结论中的指数分别是条件中的指数是2倍

平衡： 易知将112

2

3a a -+=两边同时平方就达到差异平衡

解：(1)由1

12

2

3a a -+=得：1

1222

2()3a a -

+= 即129a a -++= 所以17a a -+=

(2)(3)略

【例题2】(高一练习册P44第9题)若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，

则l o g

= . 【分析】差异①: 条件lg lg 2lg(2)x y x y +=-的左边是和的形式，右边是单项 平衡①：lg lg lg x y xy +=2lg(2)x y =-

差异②：等式l g 2l g (2x y x

y =-左边的系数为1，右边的系数为2

平衡②：2l g l g (2)x y x y =-

即有2

(2)xy x y =-，整理得22

540x xy y -+=

差异③：等式2

2

540x xy y -+=

的左边都是二次项，而结论中的l o 的真数x

y

是分式形式

平衡③：将22540x xy y -+=两边同除以2y 即可得到

x

y

的形式 解：由lg lg 2lg(2)x y x y +=-得：

l g 2l g (2x y x y =-

∴2lg lg(2)xy x y =- ∴2(2)xy x y =- ∴22540x xy y -+= 将上式两边同除以2y 得： ∴2

()5

40x

x

y

y

-+= ∴

4x

y

=或1 又

0,0,20x y x y >>->

2x y ∴

> 4x

y

∴=

2

log 164∴=== 【例题3】(高一练习册P31例4)设函数()f x 对任意的,x y R ∈，都有

()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，2

()0,(1)3

f x f <=-

(1) 证明：()f x 是奇函数；(2) ()f x 在R 上为减函数.

【分析】（1）要证明()f x 是奇函数即要证明对任意的x R ∈，有()()f x f x -=-，也就是()()0f x f x +-=

差异①:对比()()()()()0f x f y f x y f x f x +=+⎧⎨+-=⎩

知等式左边存在()y x -与的不同

平衡①：令y x =-

差异②：()()()

()()0

f x f y f x y f x f x +=+⎧⎨

+-=⎩一旦左边相同，右边就是(0)f 与0的差别

平衡②：证明(0)0f =

(1) 证明：因为函数()f x 对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+ 所以令0x y ==有：(0)2(0)f f =，∴(0)0f = 令y x =-有：()()0f x f x +-=，∴()()f x f x -=- 故()f x 是奇函数

【分析】（2）要证明()f x 在R 上为减函数即要证明对任意的12x x <有：21()()0f x f x -< 差异①：对比21()()0f x f x -<与()()()f x y f x f y +=+，第一个不等式是差的形式，

第二个等式是和的形式

平衡①：将()()()f x y f x f y +=+改成差的形式:()()()f x y f x f y +-=

差异②：对比21()()0f x f x -<与()()()f x y f x f y +-=的左边，存在2x x y →+，

1x x →的差别

平衡②：令2x y x +=，1x x =

差异③：通过平衡②，()()()f x y f x f y +-=变为：2121()()()f x f x f x x -=-，与

21()()0f x f x -<比较：存在等式与不等式的差别

平衡③：证明21()0f x x -<

(2) 证明:由()()()f x y f x f y +=+得：()()()f x y f x f y +-= 令2x y x +=，1x x =，则21y x x =- 则：2121()()()f x f x f x x -=- 设12x x <，则210x x ->，

又因为0()0x f x ><时，，所以21()0f x x -< 所以21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，