留数(答案解析)

复变函数练习题 第五章 留数

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§1 孤立奇点

孤立奇点类型的判别法 1、洛朗展开法

f(z)在点a 处的洛朗展式中， 若无负幂项，则点a 为可去奇点；

若负幂项最高次数为m ，则点a 为m 阶极点； 若负幂项为无穷多个，则点a 为本性奇点。 2、极限法 lim ()z a

f z →

存在且有限，则点a 为可去奇点； 等于无穷，则 a 为极点（无法判断阶数）； 不存在且不等于无穷，则a 为本性奇点。 3、判断极点的方法 3.11

()()()m

f z

g z z a =

-，g(z)在点a 解析且g(a)不等于零；

3.21

()()lim ()lim()()()

m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→=

=--，存在且有限; 3.3

1

()()()

m z a h z f z =-， h(z)在点a 解析且h(a)不等于零 一、选择题 1．函数

cot 23

z

z π-在||2z i -=内奇点的个数为 [ D ]

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

cot cos 3

(23)sin 0,()23(23)sin 2

z z z z z k k z z z ππππ=-=⇒=∈--，

2．设()f z 与()g z 分别以z a =为可去奇点和m 级极点，则z a =为()()f z g z +的 [ C ] （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 (对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和) 3．0z =为函数

2

4

1sin z e

z z

-的m 级极点，那么m = [ C ] （A ）5 （B ）2 （C ）3 （D ）

4

224

224

5532

01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!

lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →⎛⎫

++ ⎪--⋅=⋅=⋅++ ⎪

⎪ ⎪++= ⎪⎝

⎭

利用方法， 4．z =∞是函数3

2

32z z z ++的 [ B ]

（A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点

32

22

32321=32=0z z z z z z ζζζζ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭

以为一阶极点 5．1z =是函数1

(1)sin

1

z z --的 [ D ] （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）一级零点 （D ）本性奇点 （将函数在z=1洛朗展开，含无穷多个负幂项） 二、填空题

1．设0z =为函数3

3

sin z z -的m 级零点，那么m = 9 。

()

()

3

5

339156

3333

9

1sin ()()3!

5!

3!5!3!5!

z z z z z z z z z z -=--

+

+

=-+=-+

2．设0z =为函数3sin z

z

的n 级极点，那么n = 2 。 三、解答题

1．下列函数在有限点处有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： （1）

32

1

1

z z z --+ 322

11

=1, 1.1(1)(1)11.

z z z z z z z z z ==---+-+==-解：显然，的奇点有其中是其二阶极点；是其一阶极点 （2）1

1

z e

-

11

11

2

1.11112!(1)11z z e z e

z z z z --==+

++---=解：可能的奇点为具有的无穷个负幂项，从而为其本性奇点

11

1.

1

1lim ;

1

1lim 0;

11z n n n n e z z e n z e n

z z -→∞-→∞==+=∞=-===解法二：可能的奇点为令，则令，则即函数在点极限不存在，从而为其本性奇点

（3）3

sin 1z z

- 335

23332sin 1

0.

1sin 11113!5!3!5!0.

sin 1010.

z z z

z z z z z z z z z z z z z -=-+-+-

-==-+-+-=-=-=解法一：可能的奇点为故有为其三阶极点解法二：由在点解析且等于，从而为原函数的三阶极点

（4）21n

n

z z +（n 为正整数）

22011=

1()()()

(0,1,

,1)1

.(0,1,

,1).

n n

n n k n k z z z z z z z z z z k n z n z k n -+---=-=-=-，

其中是方程

的个根从而是原函数的一阶极点

2．判断∞点是下列函数的什么奇点？ （1）

2

23z

z

+ 2322

1

,

222(13)26331

0.

z

z z z ζζ

ζζζζζζ===-+=-+++==∞解：令为可去奇点，从而为原级数的可去奇点

（2）2

2z e z

242

222

222

1+++

12==12!1

1

+1++2!=0.

z z z e z z z z z

z ζζζ

ζ+++==∞！在上述级数中令，则变为

为其本性奇点，从而为原函数的本性奇点

00.1.z z z ζ⎛<<∞=⎫ ⎪

⎪

= ⎪⎝⎭

注在本题中，由于级数的收敛域是，从而可以直接让函数在点展开但在上一道题中，必须先做变量替换，才可进行展开