优秀教案----任意角的三角函数(1)

第一课时任意角的三角函数的定义

知识与技能：

1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

过程与方法：

1理解并掌握任意角的三角函数的定义；

2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

情感态度与价值观：

1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式

2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一

教学难点：任意角三角函数的定义．

一．复习引入

思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

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结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦，

余弦，正切依次为：,,a b a

sinA cosA tanA c c b ===

锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数

思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合

,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .

则sin MP b

OP r

α=

=; cos OM a

OP r

α=

=; tan MP b

OM a

α==.

思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?

根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 的位置的改变而改变大小.

我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b

OM a

α==.

单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,圆.

上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.

二新课讲授

1.任意角的三角函数的定义

结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.

x 如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(

,)

P x y,那么:

(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,

即sin y

α=；

（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,

即cos x

α=；

（3）

y

x

叫做α的正切(tangent),记做tanα,

即tan(0)

y

x

x

α=≠.

思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?

说明:(1)当()

2

k k Z

π

απ

=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tan

y

x

α=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三各值都是唯一确定的实数.

(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)

P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.

(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，

我们将这种函数统称为三角函数.

2.利用定义求角的三角函数值

例1.求

5

3

π

的正弦,余弦和正切值.

解：在直角坐标系中，作

5

3

AOB

π

∠=,

AOB

∠的终边与单位圆的交点坐标为

1

(,

2

5515

sin,tan

32323

πππ

=-==

思考：如果将

5

3

π

变为

7

6

π

呢？

例2．已知角α的终边过点0(3,4)

P--，求角α的正弦,余弦和正切值.

思考：如何根据例题1解答

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思考：一般的，设角a 终边上任意一点的坐标为（x,y ）,它与原点的距离为r,则

sin ,cos ,tan y x y

a a a r r x

=

==，你能自己给出证明吗？ 思考 如果将题目中的坐标改为（-3a ，-4a ）,题目又应该怎么做？ 3．三角函数的定义域和函数值符号 探究：

请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表

函 数

定 义 域

sin y α= R cos y α=

R

tan y α=

{|,}2

k k Z π

ααπ≠

+∈

例3, 求证：当下列不等式组成立时，角a 为第三象限角，反之也对 sin 0

tan 0

a a <⎧⎨

>⎩

证明：如果sin 0a <成立，那么角a 的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan 0a >，所以角a 的终边可能位于第一或第三象限 所以，角a 的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明