给定线性时不变系统的状态方程和输出方程为
线性二次型最优控制应用举例与仿真
线性二次型最优控制一、最优控制概述最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。
它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。
最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。
一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。
然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。
系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。
因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。
变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。
庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。
尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。
二、线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。
它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。
线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。
它能兼顾系统性能指标的多方面因素。
例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。
2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下：()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ （2.1）)(t X 是n 维状态变量，)(t U 是m 维控制变量，)(t Y 是l 维输出变量，)(t A 是n n ⨯时变矩阵，)(t B 是m n ⨯时变矩阵。
信号与系统题库(完整版)
信号与系统题目部分，(卷面共有200题,0.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(7小题,共0.0分)[1]题图中，若h '（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应()h t 为。
A 、231()(3)()5tt h t e e t ε-=+- B 、32()()()tt h t e e t ε--=+C 、3232()()55tt e t e t εε--+D 、3232()()55tt e t e t εε--+-[2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量[]e x n 是。
[3]波形如图示，通过一截止角频率为50rad sπ，通带内传输值为1，相移为零的理想低通滤波器，则输出的频率分量为（） A 、012cos 20cos 40C C t C t ππ++ B 、012sin 20sin 40C C t C t ππ++ C 、01cos 20C C t π+ D 、01sin 20C C t π+[4]已知周期性冲激序列()()T k t t kT δδ+∞=-∞=-∑的傅里叶变换为()δωΩΩ，其中2TπΩ=；又知111()2(),()()2T T f t t f t f t f t δ⎛⎫==++⎪⎝⎭；则()f t 的傅里叶变换为________。
A 、2()δωΩΩ B 、24()δωΩΩ C 、2()δωΩΩ D 、22()δωΩΩ[5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为()3(1)2()kkh k k k εε-=--+，则该系统是________系统。
A 、因果稳定B 、因果不稳定C 、非因果稳定D 、非因果不稳定 [6]一线性系统的零输入响应为（23kk --+）u(k), 零状态响应为(1)2()k k u k -+,则该系统的阶数A 、肯定是二阶B 、肯定是三阶C 、至少是二阶D 、至少是三阶 [7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。
计算机控制系统作业参考答案
《计算机控制系统》作业参考答案作业一第一章1.1什么是计算机控制系统？画出典型计算机控制系统的方框图。
答：计算机控制系统又称数字控制系统,是指计算机参与控制的自动控制系统,既:用算机代替模拟控制装置,对被控对象进行调节和控制. 控制系统中的计算机是由硬件和软件两部分组成的.硬件部分: 计算机控制系统的硬件主要是由主机、外部设备、过程输入输出设备组成; 软件部分: 软件是各种程序的统称，通常分为系统软件和应用软件。
图1.3-2 典型的数字控制系统1.2.计算机控制系统有哪几种典型的类型？各有什么特点。
答：计算机控制系统系统一般可分为四种类型：（1）数据处理、操作指导控制系统；计算机对被控对象不起直接控制作用,计算机对传感器产生的参数巡回检测、处理、分析、记录和越限报警，由此可以预报控制对象的运行趋势。
（2）直接数字控制系统；一台计算机可以代替多台模拟调节器的功能，除了能实现PID调节规律外, 还能实现多回路串级控制、前馈控制、纯滞后补偿控制、多变量解藕控制，以及自适应、自学习,最优控制等复杂的控制。
（3）监督计算机控制系统；它是由两级计算机控制系统：第一级DDC计算机, 完成直接数字控制功能；第二级SCC计算机根据生产过程提供的数据和数学模型进行必要的运算，给DDC计算机提供最佳给定值和最优控制量等。
（4）分布式计算机控制系统。
以微处理机为核心的基本控制单元，经高速数据通道与上一级监督计算机和CRT操作站相连。
1.3.计算机控制系统与连续控制系统主要区别是什么？计算机控制系统有哪些优点？答：计算机控制系统与连续控制系统主要区别：计算机控制系统又称数字控制系统,是指计算机参与控制的自动控制系统,既:用计算机代替模拟控制装置,对被控对象进行调节和控制。
与采用模拟调节器组成的控制系统相比较，计算机控制系统具有以下的优点：（1）)控制规律灵活，可以在线修改。
（2）可以实现复杂的控制规律，提高系统的性能指标。
现代控制理论试卷答案3套
现代控制理论试卷 1一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打×(1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。
（）(2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。
（）(3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。
（）(4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。
（）(5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。
（）二、（12分）已知系统1001010,(0)00121x x x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()x t.三、(12分) 考虑由下式确定的系统：2s+2(s)=43Ws s++，求其状态空间实现的能控标准型和对角线标准型。
四、（9分）已知系统[]210020,011003x x y⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性.[]xy u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=六、（17分）已知子系统1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求出串联后系统的状态模型和传递函数.七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦为完全能控时，待定参数的取值范围。
八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112211sin 2x a x xx x x试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。
现代控制理论 试卷 1参考答案一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1) 用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。
3.5线性时变系统状态方程的解
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
线性控制系统工程课后习题答案Solution of module 1
线性控制系统工程课后习题答案 - Module 11.1 基本概念1.1.1 控制系统和线性控制系统控制系统是由控制器、被控对象和被测量对象组成的系统，用于完成特定任务并满足特定的性能指标。
线性控制系统则是指控制系统中的被控对象和控制器都是线性的情况。
1.1.2 线性时不变系统和线性时变系统线性时不变系统（LTI）是指系统的输入和输出之间存在线性关系，并且系统的性质不随时间变化。
线性时变系统（LTV）则是指系统的输入和输出之间存在线性关系，但系统的性质可能随时间变化。
1.1.3 闭环系统和开环系统闭环系统是指控制系统中的反馈回路已经闭合，反馈信号用于调整控制器的输出。
开环系统则是指控制系统中没有反馈回路，控制器的输出直接作用于被控对象。
1.2 画出系统的信号流图和布尔方程1.2.1 信号流图信号流图是用图形化的方式表示线性控制系统中信号的流动和处理方式。
根据题目给出的系统描述，我们可以画出系统的信号流图如下：graph LRA[输入信号] --> B[控制器]B[控制器] --> C[被控对象]C[被控对象] --> D[输出端]1.2.2 布尔方程布尔方程是用代数形式描述系统的输入、输出和中间变量之间的关系。
根据题目给出的系统描述，我们可以列出该系统的布尔方程如下：控制器输出 = 输入信号 * 控制增益被控对象输出 = 控制器输出 * 系统增益1.3 对给出系统进行数学建模1.3.1 状态方程状态方程是用微分方程的形式描述系统的状态和输入输出之间的关系。
根据题目给出的系统描述，我们可以列出该系统的状态方程如下：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态变量，u是输入信号，y是输出信号，A、B、C和D是系统的系数矩阵。
1.3.2 传递函数传递函数是用分子多项式和分母多项式的形式描述系统的输入输出之间的关系。
根据题目给出的系统描述，我们可以推导出该系统的传递函数如下：G(s) = (C(sI - A)^(-1)B + D) / s其中，s是复频域变量，I是单位矩阵。
信号与系统试卷及参考答案
试卷及答案信号与系统试卷（1）（满分：100分，所有答案一律写在答题纸上）考试班级学号姓名成绩考试日期：年月日，阅卷教师：考试时间120分钟，试卷题共2页一一线性非时变离散系统，具有一初始状态x(0)，当激励为时f(k)，响应为y(k)=((1/2)k+1)u(k)；若初始状态不变，当激励为-f(k)时，响应y(k)=((-1/2)k-1)u(k)为；试求当初始状态2x(0)为，激励为4f(k)时，系统的响应？（10分）二绘出下列函数的图形（1）.已知一连续时间信号x(t)如图所示，试概略画出信号y(t)=x(2-t/3)的波形图。
（8分）t-1 0 1 2 3(2). 试概略画出信号y(t)=u(t 2-4) 的波形图。
（8分）三 计算下列函数(1). y(t)=⎰-44(t 2+3t+2)(δ(t)+2δ(t-2))dt （4分） (2). f(t)=e -2t u(t), h(t)= e -2t u(t), y(t)=f(t)*h (t) （8分）(3). f(k)=1, k=0,1,2,3, h(k)=1, k=0,1,2,3, y(k)=f(k)*h (k) （8分） （4） 已知f(t)=e -2t u(t), 求y(t)=[t f(2t)] 的富立叶变换 （8分） （5）y’(t)+2y(t)=δ(t)+u(t), y(0)=0, 试求y(t)=? （8分） （6）. y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=u(k)+2u(k-2), y(-1)= 2,y(-2)= -1/2, 试求零输入响应y x (k)=? 零状态响应y f (k)=? （8分）四 一线性非时变因果系统，当激励为u(t)时，响应为)]2()([cos )(cos )(ππ---+=-t u t u t t tu e t g t ，求当激励f(t)=δ(t)时的响应)(t h 。
（10分）五 某一子系统，当输入f(t)=e -t u(t)时，零状态响应y f (t) = (1/2 e -t - e -2t +1/2e -3t )u(t), 试求将两个这样的子系统串联时，总系统的冲激响应。
《现代控制理论》复习题
《现代控制理论》复习题一、填空题1．动态系统的状态是一个可以确定该系统 的信息集合。
这些信息对于确定系统 的行为是充分且必要的。
2．以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 空间，称之为 。
3． 定义: 线性定常系统的状态方程为()()()x t Ax t Bu t =+&,给定系统一个初始状态00()x t x =,如果在10t t >的有限时间区间10[,]t t 内,存在容许控制()u t ,使1()0x t =,则称系统状态在0t时刻是的;如果系统对任意一个初始状态都 , 称系统是状态完全 的。
4．系统的状态方程和输出方程联立，写为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x &，称为系统的 ，或称为系统动态方程，或称系统方程。
5．当系统用状态方程Bu Ax x+=&表示时，系统的特征多项式为 。
6．设有如下两个线性定常系统7002()05000019I x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&则系统（I ），（II ）70001()0504000175II x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&的能控性为，系统（I ） ,系统（II ） 。
7．非线性系统()xf x =&在平衡状态e x 处一次近似的线性化方程为x Ax =&，若A 的所有特征值 ，那么非线性系统()x f x =&在平衡状态e x 处是一致渐近稳定的。
8．状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。
解决这个问题的方法是： 一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。
9．线性定常系统齐次状态方程解)()(0)(0t x e t x t t A -=是在没有输入向量作用下，由系统初始状态0)(x t x =激励下产生的状态响应，因而称为 运动。
10．系统方程()()()()()x t Ax t bu ty t cx t=+⎧⎨=⎩&为传递函数()G s的一个最小实现的充分必要条件是系统。
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下哈尔滨工程大学
现代控制理论智慧树知到课后章节答案2023年下哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
A:对 B:错答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
A:对 B:错答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
A:对 B:错答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
A:对 B:错答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。
A:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法 B:随机系统理论中的Kalman滤波技术 C:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划 D:最优控制理论的产生答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术;最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。
A:对 B:错答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。
A:对 B:错答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
A:对 B:错答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。
A:错 B:对答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。
A:错 B:对答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。
A:错 B:对答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。
A:对 B:错答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。
杭电信号与系统真题2000-2009.
一．简答题
（每小题 5 分，共 10 分）
1. 即时系统可用 ______ 方程描述，动态系统可用 ______ 方程或 ______方程描述， 在分析动态电路时， 变量的选择有两种方案， 一种是选择______，另一种是选择______。
2. 证明：信号的平均功率等于它的偶分量功率与奇分量功率之和
4／26
10 系统函数 H(s)= 是_______
K ,为保证系统稳定，则 K 值的范围 s + 6 s + 8s + K
3 2
二计算画图题（每小题 5 分，共 25 分） 1 已知 f(t)的波形如图 1，画出 f(1-2t)的波形。
2 已知 f 1 (t)和 f 2 (t)的波形如图，计算并画出 f 1 (t)*f 2 (t)的波形。
1 则其频谱 F（jw）=________ a + t2
2
17． 已知 F ( jw) = 18．
(a + jw)2
1
，则 f(t)= ________
f (t ) = e − at cos w0 tu (t ) ,则 F（jw）=________
19． 已知某系统的系统函数为 H(S)=
稳定？
s2 + 2 则该系统是否 3s 3 + s 2 − s + 8
五． （8 分）系统如图所示，试画出其流图表示，并求转移函数 H（s） =
Y (s) 。 X ( s)
六． （10 分）信号的频谱如图所示，若此信号通过下图系统，试绘出 A、B、C、D 各点信号的频谱图形，设理想滤波器截止频率均为 W 0 ，
2／26
第2章__线性时不变系统
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知线性定常系统如下所示，下面说法错误的是（）【图片】参考答案:引入状态反馈后，不改变系统的能观测性。
2.串联组合系统的传递函数矩阵为各串联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:错误3.在最优控制问题中，如果系统的性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，则称为线性二次型最优控制问题，简称LQ（Linear Quadratic）问题。
参考答案:错误4.用不大的控制能量，使系统输出尽可能保持在零值附近，这类问题称为输出调节器问题。
参考答案:正确5.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:正确6.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:正确7.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:正确8.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错误9.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）参考答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法._最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划。
_随机系统理论中的Kalman 滤波技术。
10.内部稳定性表现为系统的零初态响应，即在初始状态恒为零时，系统的状态演变的趋势。
参考答案:错误11.系统矩阵A所有特征值均具有负实部是线性时不变系统渐近稳定的充要条件。
参考答案:正确12.从物理直观性看，能观测性研究系统内部状态“是否可由输入影响的问题”。
参考答案:错误13.由系统结构的规范分解所揭示，传递函数矩阵一般而言只是对系统结构的不完全描述，只能反映系统中的能控能观测部分.参考答案:正确14.下面论述正确的是（）参考答案:李亚普诺夫意义下渐近稳定等同于工程意义下稳定。
信号与系统_北京邮电大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
信号与系统_北京邮电大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.关于信号【图片】描述正确的是（）。
参考答案:该信号的基波角频率是1 rad/s。
2.以频谱分割的方式进行频道划分，多路信号混合在一起传输，但每一信号占据着有限的不同频率区间，此区间不被其他信号占用。
这种复用方式称为频分复用。
参考答案:正确3.【图片】上图所示的周期矩形脉冲信号，其直流分量为【图片】。
参考答案:错误4.【图片】的能量是（）。
参考答案:55.对于具有矩形幅度特性和线性相位特性的理性低通滤波器，【图片】是其截止频率，其阶跃响应【图片】波形如下图所示。
下面说法中不正确的是（）【图片】参考答案:阶跃响应的上升时间为。
6.【图片】的收敛域是全s平面。
参考答案:正确7.因果信号【图片】的拉普拉斯变换为【图片】，则【图片】。
参考答案:正确8.【图片】的z变换为【图片】，收敛域为【图片】。
参考答案:正确9.线性时不变因果系统的单位阶跃响应【图片】与其单位冲激响应【图片】之间关系是【图片】。
参考答案:错误10.周期为T的冲激序列信号【图片】，有关该信号描述不正确的是（）。
参考答案:该信号的频谱满足离散性、谐波性和收敛性。
11.在区间【图片】余弦信号【图片】与正弦信号【图片】相互正交。
参考答案:正确12.已知某离散时间线性时不变系统的单位样值响应为【图片】，则当输入信号为【图片】时，系统的零状态响应为【图片】。
参考答案:正确13.某系统的信号流图如下图所示。
则该系统的系统函数可表示为【图片】。
【图片】参考答案:正确14.某连续系统的系统函数为【图片】，该系统可以既是因果的，又是稳定的。
参考答案:正确15.因果系统的系统函数为【图片】，R>0,C>0,则该系统属于( )网络。
参考答案:高通滤波网络16.下图所示反馈系统，已知子系统的系统函数【图片】，关于系统函数及稳定性说法正确的是（）。
【图片】参考答案:系统函数为，当时，系统稳定。
现代控制理论(22-24讲：第6章知识点)
6-3 系统的镇定问题
在系统综合中,有时仅要求改变不稳 定的闭环极点为稳定极点,这就是系统镇 定(stabilization)。
镇定问题是极点配置问题的一个特殊 情况，其目的是使系统的所有极点位于根 平面的左半平面，而不要求它们的确切位 置； 清楚地：一个完全能控的系统一定是 能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是 能控的。
f ( ) ( 1 )( 2 )......( n )
n a1 n 1 a1 a (2) n 0
欲使闭环极点取期望值，只需比较(1),(2)式 即可得到：
11
k 1 a a0 k 2 a a1k n a
19
1、由要求的超调量和调整时间决定期望 闭环极点: 给定的品质指标为：ζ ；ts 。 故
% e
1 210ຫໍສະໝຸດ %nts (2%)
4
n
从而，期望主导极点即为:
1,2 n jn 1 2 jd
20
而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极 点离虚轴的距离，即
此时，闭环系统的特征多项式为：
10
f ( ) det( I - ( A B K )) n (an1 k n ) n1 (a1 k 2 ) (a0 k 1 )(1)
_ _ _
_
_ _
（3）设闭环系统的期望极点为λ 1,λ 2,… λ n ， 则期望特征多项式
（3）期望特征多项式为：
f ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 4 2 6 4
（4）比较上两式的系数，即得到： K=[4 3 1] （5）画出闭环系统的状态变量图如下所示：
第六章线性系统的状态方程
状态变量分析法的优点：1. 便于观察系统内部某些物理量的变化过程；2. 与系统的复杂程度无关，复杂系统和简单系统的数学模型相似，适于多输入多输出系统;3. 适于研究非线性或时变系统。
因为一阶微分方程或差分方程是研究非线性和时变系统的有效方法。
4. 便于研究系统的稳定性、可控性、可观测性及系统内部参数变化对系统特性的影响；5. 状态方程都是一阶微分方程或差分方程，便于采用数值解法在计算机上实现系统分析。
系数矩阵由系统的参数决定，非时变系统为常数，时变系统为时间的函数。
,A B 四、输出方程(output equation))(,),(),(21t y t y t y r Λ输出方程是由状态变量和激励信号的线性方程，因此对线性系统而言，输出方程是一组线性方程。
例如，假设系统有个输出，r mrm r r n rn r r r mm n n mm n n e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y +++++++=+++++++=+++++++=ΛΛMΛΛΛΛ22112211222212122221212121211112121111)()()(则,A B矩阵形式为：)(10081910120010321'3'2'1t e x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01000112198⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A 依此方法选择的状态变量常称为相变量状态变量，状态方程叫相变量状态方程。
状态方程和输出方程中的系数矩阵与输入输出方程有关。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3210410)(x x x t y 001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B []1040=C 0=D矩阵形式为：1211012110''13'22'1)()(+--+++=+----====m m n n n nn x b x b x b t y t e x a x a x a x x xx x x x ΛΛM )(1000100010211210''2'1t e x x x a a a a x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M M ΛM ΛΛM[]001111n n n n n nb b a b b a b b a b --∴=---=C D L 当时，矩阵不再为0。
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
信号与系统往届考试题
06期末1、积分=--⎰+∞∞-dt t t t t )2()(00εδ2∑-∞==++ki i i )2()3(δ3 ⎪⎩⎪⎨⎧===--+=其余0211,02)(),2()1()(21k k k f k k k f εε==)2(),(*)()(21f k f k f k f 则4⎰∞-=-tdx x x )()1('δ5=⎰+∞∞-dt tt 2)2sin (6、信号2c o s )308cos(214sin2)(0πππk k k k f -++= 是否是周期序列？若是，则最小周期为_____________7、周期性方波信号的周期T=4s ，脉宽τ=2s ，则离散频谱的谱线间隔为___________Hz 8、已知f (t)←→F(j ω)，则 )42(d d-t f t的频谱函数为_____9、频谱密度函数F(j ω)= ε(ω+2)–ε(ω–2)的原函数 f (t) =________ 10、已知f (2-2t)波形如图1所示，试画f (t)及f '(t)波形。
Ⅲ、计算题（共6小题，55分）Ⅲ、计算题（共6小题，55分）11、（10分）试判断如下系统是否是线性系统，是否是时不变系统（写出判断过程）。
∑+∞-∞=-=n n t t f t y )2()()(δ12、（10分）f1(t)、f2(t)如图2所示，求f(t)=f1(t)* f2(t) ，并画出波形。
13、（10分）描述某因果系统输出y(t)与输入f(t)的微分方程为y"(t) + 3 y '(t) + k y(t) = f '(t) + 3 f(t)已知输入信号f(t)= e–tε(t)，t≥0时系统的完全响应为y(t) =[(2t+3)e–t– 2e–2t]ε(t)（1）求微分方程中的常数k；（2）求系统的零输入响应14、（10分）已知某LTI离散系统的差分方程为2y(k) –y(k –1) –y(k –2) = f(k)已知：f(k) =(0.5)k ε(k) ，y(–1)=0 ，y(–2)=3，分别求零输入响应yzi(k) ，零状态响应yzs(k) 。
状态方程的约当规范形
1 2 ,Vn )
2
n
1 2 1 1 1 -1 -1 x P x P Ax P Bu=P APx+P Bu=
x Bu n
（1）特征值相异情形约当规范形的特点 系统矩阵是以特征值为元素的一个对角线矩阵。 （2）对角线规范下状态的解耦性 约当规范形中系统矩阵为对角线矩阵意味着，系统状态在这种表 达下可实现完全的解耦。 例.给定线性时不变系统的状态方程为
= 1 I A x1 0 1I A xi xi1
这样得到的x1 xk为线性无关的，从而可得到Q.
=
1 2 x
x Bu, B P 1B n
AV1 1V1, AV2 2V2 ,
A(V1 ,V2 , ,Vn ) (V1 ,V2 ,
, AVn nVn
n
1 1 P AP
系统矩阵A的n个两两相异的特征值为
1 , 2 ,
, n
x Ax Bu
再任取矩阵A的属于各个特征值的n个nx1的特 征向量为 v1 , v2 , , vn .
我们可以将n个特征向量构造矩阵P v1, v2 , , vn .
1 从而状态方程可以通过线性非奇异变换x P x 而化为约 当规范型：
例：
1 A 4 1 A
1 3 0
0 0 2 0 1 0 0 1 1
3 2 1 1 1 1 1 4 3 2 1 1 1
2 J 0 0
1 A 2 1
例：
Ax2 x1 1 x2 , Ax3 x2 1 x3 1 I A x1 0 1 I A x2 x1 I A x x 3 2 1
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1,1,0 0 s 2
0 0
et
0 1 0
0
1
s 3 1
1 1t
P
1
r t
1 2 t
P
2
1 3 t
P
2
1,1,0
s
1Leabharlann s1 2s
3
s
（1）按系统可控性判据，即M是否满秩。为此求：
M B AB A2B
1 2 12 5
AB
0
3
0
1
3
0 0 21 2
1 2 11 2 12 13
A2
B
N
CA
1
1
1
CA2 1 1 3
且 rank N 2 3 故系统不完全可观。
（2）为求可控和可观状态变量个数可以对状态方程变
换为对角化的规范形式。经求特征矢量得到对角化所
需的变换矩阵为
1 1 1 P 1 0 0 1
0 1 0
函数来描述一系统是不全面的。
1 1 1
P 0 0
1
0 1 0
系统对角化的方程表示为
γt PAP1γ t PBet
1 0 0 0
0
2
0 γ t 1et
0 0 3 1
γ t CP1 t 1,1,0γ t
2s
0 0
3
0
s 1s 3
0
0 0
0
1
s 1s 21
H
s
s
s 1s 3 1s 2s
3
s
1
2
可见系统具有零极相消现象。
输入量只有通过 2 影t 响到输出量 ，rt这 说明用系统转移
0
对角化以后
Bˆ 1
Cˆ 1,1,0
1
因而其中 2t和两 3个t 状态变量可控；
变量可观。
1两t 和个状2 t态
画成结构图如图所示。
（3）求系统的转移函数H s
H (s) CsI A 1 B Cˆ sI A 1 Bˆ
0
3
0
0
3
0
1
9
0 0 2 0 0 21 4
2 5 13
M 1
3
9
1 2 4
而 rank M 2 3 故系统不完全可控。
检查可观性，此时
C 1 1 0
例12-8-6
给定线性时不变系统的状态方程和输出方程为
1 2 1
2
t
0 0
3 0 t 1et
0 2
1
rt 1, 1, 0t
（1） 检查系统的可控性和可观性。 （2） 求可控与可观的状态变量个数。 （3） 求系统的输入—输出转移函数。