数学北师大版八年级下册中心对称
第9讲 图形的旋转与中心对称八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第9讲图形的旋转与中心对称目标导航1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；2、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；3、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形．知识精讲知识点01 生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．【知识拓展1】（2021秋•建华区期末）时钟的时针从上午的8时到上午10时，时针旋转的旋转角为．【即学即练1】（2021秋•太原期中）几何图形由点、线、面组成，点动成线、线动成面、面动成体．下列现象中能反映“线动成面”的是（）A．流星划过夜空B．笔尖在纸上快速滑动C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转【即学即练2】（2021春•凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（）A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪知识点02 旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．【知识拓展2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（）A．15°或45°B．15°或45°或90°C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°【即学即练1】（2021秋•湖北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【即学即练2】（2021秋•莆田期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，OC＝CD＝DE．若∠BDE＝81°，则∠AOB的度数是（）A．24°B．27°C．30°D．33°知识点03 旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．【知识拓展3】（2021秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．B．C．D．【即学即练1】（2021秋•荆门期末）把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36°B．72°C．90°D．108°【即学即练2】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（）A．60°B．72°C．75°D．90°知识点04中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．【知识拓展4】（2021秋•淮南月考）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．∠ABC＝∠A'C'B'C．点B的对称点是B′D．BC∥B'C'【即学即练1】（2021秋•黄陂区期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（）A．点A B．点BC．线段AB的中点D．无法确定【即学即练2】（2021春•清苑区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′知识点05中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．【知识拓展5】（2021秋•交城县期末）下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．向右和向左转弯B．靠左侧道路行驶C．禁止驶入D．环岛行驶【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．知识点06关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．【知识拓展6】（2021秋•沙河口区期末）在平面直角坐标系中，点P、点Q关于原点对称，若点P的坐标是（2，3），则点Q的坐标是．【即学即练1】（2021秋•新吴区期末）若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M （a，b）在第象限．【即学即练2】（2021秋•开州区期末）平面直角坐标系中点P（7，﹣9）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣9，7）B．（﹣7，9）C．（7，9）D．（﹣7，﹣9）知识点07作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．【知识拓展7】（2021秋•南开区期末）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为．【即学即练1】（2021秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D 恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）A．αB．90°+C．90°﹣D．180°﹣2α【即学即练2】（2021秋•铅山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求四边形AOA1B1的面积．例题1．（2020·浙江八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点'',P AP AP =）．当AP 旋转至AP AB'⊥时，点'B P P ,,恰好在同一直线上，此时作'⊥P E AC 于点E ．（1）求证：∠=∠CBP ABP ；（2）若4,8AB BC AC -==，求PBC 的面积；（3）在（2）的条件下，点N 为边BC 上一动点，点M 为边BP 上一个动点，连接MC MN ,，求MC MN +的最小值．能力拓展【变式1】（2021·河南郑州市·八年级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45︒的三角尺ADE 固定不动，将含30的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角60CAE ∠=︒时，//BC DE ．求其它所有可能符合条件的角()0180CAE CAE ∠︒<∠<︒的度数，画出对应的图形并证明．【变式2】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）已知：如图1，AOB 和COD 都是等边三角形．（1）求证：①AC＝BD ；②∠APB＝60°；（2）如图2，在AOB 和COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝α，则AC 与BD 间的等量关系为 ，∠APB的大小为模块三、中心对称例题1．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上．请回答下列问题：（1）作出△ABC 向左平移4个单位长度后得到111A B C △，并写出1A 的坐标；（2）作出△ABC 关于原点O 对称的222A B C △并写出22B C ，点的坐标．【变式1】（2021·山东济南市·八年级期末）如图网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是(3,2)A 、()1,3B ．（1）点A 关于点O 中心对称点的坐标为（_______，_______）；（2）△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后得到11AOB ，在方格纸中画出11AOB ，并写出点1B 的坐标（______，_______）；（3）在y 轴上找一点P ，使得PA PB +最小，请在图中标出点P 的位置，并求出这个最小值．【变式2】（2021·山东烟台市·八年级期末）如图所示，网格中每个小正方冠的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：（1）图①中的三个图案面积都是，且都具有一个共同特征：都是对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2021秋•澄海区期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．85°2．（2021秋•崆峒区期末）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（）A．180°B．120°C．90°D．60°3．（2021秋•雨花区期末）如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO＝EOC．∠ACB＝∠FED D．AB∥DE4．（2021秋•沙河口区期末）下列图案是一些电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021秋•澄海区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣16．（2021秋•铅山县期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠PDE的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2021秋•绥滨县期末）已知，如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm．将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长是（）A．1.5cm B．3cm C．5cm D．2.5cm8．（2021秋•澄海区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′＝CB′，若∠C＝20°，则△ABC旋转的角度为（）A．60°B．80°C．100°D．120°二．填空题（共1小题）9．（2021秋•杜尔伯特县期末）时针从数字“9”到“12”按时针方向旋转了90°．三．解答题（共9小题）10．（2021秋•大洼区期末）如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，在所给的直角坐标系中画出旋转后的Rt△A1B1O．11．（2021秋•昆明期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）．（1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'；（2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C；（3）直接写出A'、A″点的坐标．12．（2021秋•尧都区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1），将△BOC绕点O逆时针旋转90度，得到△B1OC1，画出△B1OC1，并写出B、C两点的对应点B1、C1的坐标，13．（2021秋•富县期中）如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心．14．（2021秋•新丰县期中）如图，在边长为1的小正方形格中，△AOB的顶点均在格点上．（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）以原点O为对称中心，画出△AOB关于原点对称的△A1OB1．15．（2020秋•定南县期末）已知点P（2x+y，1）与点Q（﹣7，x﹣y）关于原点对称，求x，y的值．16．（2021春•绿园区期末）如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？17．（2021春•商河县校级期末）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）哪两个图形成中心对称？（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．18．（2020春•肇源县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C （4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•椒江区期末）如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．（2021秋•铜官区期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转α，得到△DEC，若点A恰好在DE的延长线上，则∠BAD的度数为（）A．α﹣30°B．180°﹣αC．90°D．3．（2021秋•句容市期末）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN 长度的最小值是（）A．B．1C．2D．4．（2021秋•宜州区期末）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，连接BB′，则∠ABB′的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2021秋•绵阳期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转角α，得到△A1BC1，此时点A，点B，点C1在一条直线上，若∠A1BC＝22°，则旋转角α＝（）A．79°B．80°C．78°D．81°二．填空题（共5小题）6．（2021秋•廉江市期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是．7．（2021秋•山亭区期末）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．8．（2021秋•滨城区期末）已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y ＝．9．（2021秋•海门市期末）点M（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是．10．（2015秋•天津期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为．三．解答题（共8小题）11．（2021秋•沙河口区期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A'B'C'，其中A和A'，B和B'，C和C'是对应点．（1）画出△A'B'C'；（2）在该网格中建立平面直角坐标系，点P，A坐标分别为P（0，1），A（1，1），直接写出该坐标系下A'，B'，C'的坐标．12．（2021秋•喀什地区期末）如图，在每个小正方形边长都是1的方格纸中，点O，A，B都在格点上．（1）画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）求线段OB旋转到OB1时所扫过的扇形面积．13．（2021秋•芝罘区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，5），B（2，2），C（5，2）．（1）将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转180°，请画出旋转后的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A对应点A2坐标为（1，﹣2），请画出平移后的△A2B2C2，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P2的坐标是；（3）将△A1B1C1绕某一点M旋转可得到△A2B2C2，请画出点M的位置（保留痕迹），并直接写出点M的坐标．14．（2021秋•晋安区校级月考）如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD．线段AC上的两点E、F关于点O对称．求证：AE＝CF．15．（2021•鄂温克族自治旗二模）如图，△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；（2）已知AB＝5，AD+BF＝14，求四边形ABDF的面积S．16．（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．17．（2021秋•桓台县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．（1）图中点B的坐标是；（2）点B关于原点对称的点D的坐标是；点A关于y轴对称的点C的坐标是；（3）四边形ABCD的面积是；（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为．18．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将MCD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．题组C 培优拔尖练一．填空题（共5小题）1．（2021秋•新抚区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E在AC上且AE＝2，D是直线BC 上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，AF，下列结论：①DF的最小值为；②AF的最小值是1+；③当CD＝1时，DE∥AB；④当DE∥AB时，DE＝1．正确结论的题号是．2．（2021秋•思明区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为．3．（2021•西湖区校级三模）如图，已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝4，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则CB＝．在点D运动过程中，CE的最小值．4．（2021春•龙岗区期末）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为．5．（2019春•市南区期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为cm．二．解答题（共7小题）6．（2021秋•沙坪坝区校级期末）（1）如图1，在6×6正方形网格中，有一格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），其面积为7cm2，则这个方格纸的面积等于cm2；（2）若点M是图1中不同于点C的一个格点，且△ABC的面积与△ABM的面积相等，则满足条件的点M有个；（3）如图2，在12×12正方形网格中，每个小正方形的边长为1，给定了点D，E的位置，请先画一个△DEF，使DF，EF的长分别为，2，再画△DEF关于点O成中心对称的△D'E'F'．7．（2021秋•阳东区期中）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．8．（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．9．（2017•中原区校级三模）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．下面是小强的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围；（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 …y…﹣2 0 …﹣﹣﹣如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点的坐标为；②小文分析函数y＝的表达式发现：当x＜﹣1时，该函数的最大值为﹣2，则该函数图象在直线x＝﹣1左侧的最高点的坐标为；（3）小强补充了该函数图象上两个点（﹣，），（﹣，﹣），①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；②写出该函数的一条性质：．10．（2021秋•渝中区校级期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E为直线AB上方一点，连接ED、BE，ED与AB交于P点．（1）若∠ABE＝110°，∠CDE＝70°，则∠E＝；（2）如图1所示，作∠CDE的平分线交AB于点F，点M为CD上一点，∠BFM的平分线交CD于点H，过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G，GF∥BE，且2∠E＝3∠DFH+20°，求∠EDF+∠G的度数．（3）如图2，在（2）的条件下，∠FDC＝25°，将△FHG绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的△FHG为△FH′G′，同时∠FDE绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的∠FDE为∠F′DE′，当∠FDE旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当△FH′G′其中一条边与∠F′DE′的其中一条边互相垂直时，直接写出t的值．11．（2021秋•南川区期中）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：FA平分∠DFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．12．（2019春•宁波期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．。
最新北师大版八年级下册数学【教案】 中心对称图形
教学时间课题中心对称图形课型新授课教学目标知识和能力理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．过程和方法复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．情感态度价值观让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．教学重点中心对称的两条基本性质及其运用．教学难点让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入（老师口问，学生口答）1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？2．什么叫关于中心的对称点？3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，•画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．（每组推荐一人上台陈述，老师点评）（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．第一步，画出△ABC．第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示．(1) (2)从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′∴△AOB≌△A′OB′∴AB=A′B′同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O•旋转180•°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O 是线段AA′的中点．同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．因此，我们就得到1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．2．关于中心对称的两个图形是全等图形．例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．（3）顺次连结DE、EF、FD．则△DEF即为所求的三角形．例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B•′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．二、巩固练习教材．三、应用拓展例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，•旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B•的位置，则△AOC≌△AO′B．∴AO=AO′，OC=O′B又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形．∴AO=OO′在△BOO′中，OO′+OB>BO′即OA+OB>OC四、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：中心对称的两条基本性质：1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，•而且被对称中心所平分；2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．作业设计必做选做教学反思。
北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》教学设计
北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》是学生在学习了平面几何的基本概念和性质之后的内容。
本节课主要介绍中心对称的概念，性质及其在实际问题中的应用。
通过学习，学生能够理解中心对称的定义，掌握中心对称的性质，并能运用中心对称解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的几何思维和解决问题的能力。
但是，对于中心对称这一概念，学生可能比较陌生，需要通过实例和练习来理解和掌握。
同时，学生可能对于如何运用中心对称解决实际问题存在一定的困难。
三. 教学目标1.知识与技能：理解中心对称的定义，掌握中心对称的性质，能够运用中心对称解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：中心对称的定义和性质。
2.难点：如何运用中心对称解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解中心对称的定义和性质，引导学生理解和掌握。
2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用中心对称解决几何问题。
3.小组讨论法：通过小组讨论，引导学生交流思想，共同解决问题。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、几何图形、黑板。
2.学具：学生手册、练习册。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过多媒体课件，展示一些生活中的中心对称现象，如旋转门、时钟等，引导学生观察和思考，引出中心对称的概念。
2.呈现（10分钟）讲解中心对称的定义和性质，引导学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）通过一些练习题，让学生运用中心对称解决几何问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，分析实际问题，运用中心对称解决。
引导学生交流思想，共同解决问题。
5.拓展（10分钟）通过一些综合性的练习题，提高学生的解题能力，拓展学生的思维。
北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》教案
北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》教案一. 教材分析《中心对称》是北师大版数学八年级下册第3.3节的内容，本节主要让学生了解中心对称的概念，理解中心对称图形的性质，并学会运用中心对称解决一些实际问题。
教材通过实例引入中心对称的概念，然后引导学生探究中心对称图形的性质，最后通过一些练习题巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面几何的基本概念，如点、线、角等，并掌握了一些基本的几何性质。
同时，学生也学习了图形的轴对称，对对称概念有一定的理解。
但是，中心对称与轴对称有所不同，学生可能需要一定的时间来理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解中心对称的概念，理解中心对称图形的性质。
2.培养学生运用中心对称解决实际问题的能力。
3.培养学生合作探究的学习精神，提高学生的几何思维能力。
四. 教学重难点1.中心对称的概念和性质。
2.运用中心对称解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、案例教学法等，引导学生通过实例认识中心对称，探究中心对称图形的性质，并运用中心对称解决实际问题。
六. 教学准备1.准备一些中心对称的实例，如圆、平行四边形等。
2.准备一些中心对称图形的性质的练习题。
3.准备一些实际问题，如在实际图形中寻找中心对称等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实例，如圆、平行四边形等，引导学生观察这些图形的特征，让学生初步认识中心对称。
2.呈现（10分钟）呈现中心对称的定义和性质，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用中心对称的性质解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用中心对称解决实际问题，加深对中心对称的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考中心对称在实际生活中的应用，让学生学会学以致用。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，加深对中心对称的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关中心对称的练习题，让学生课后巩固所学知识。
北师大版八年级下册数学《3.3 中心对称》教案
北师大版八年级下册数学《3.3 中心对称》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《3.3 中心对称》一课，是在学生已经掌握了平面几何的基本知识，图形变换的基础知识上进行的一课。
本节课主要让学生了解中心对称的概念，理解中心对称的性质，能运用中心对称解决一些简单的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何的基本知识，图形变换的基础知识，对图形变换有一定的理解。
但是，对于中心对称的概念和性质，以及如何运用中心对称解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解中心对称的概念，通过实际操作，让学生感受中心对称的性质，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解中心对称的概念，理解中心对称的性质。
2.能运用中心对称解决一些简单的问题。
3.培养学生的观察能力，动手操作能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.中心对称的概念和性质。
2.如何运用中心对称解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察，操作，思考，总结中心对称的概念和性质。
通过实例，让学生了解如何运用中心对称解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.中心对称的图片和实例。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些图片和实例，如蜜蜂的蜂窝，让学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？引导学生发现这些图形都是中心对称的，从而引出中心对称的概念。
2.呈现（10分钟）讲解中心对称的概念，以及中心对称的性质。
通过PPT展示中心的定义，对称点的定义，对称性质的证明等，让学生理解和掌握中心对称的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行动手操作，每组选择一个中心，画出中心对称的图形。
然后，让学生观察和分析中心对称的性质，如对称点的坐标关系，对称图形的形状等。
4.巩固（10分钟）让学生解决一些实际问题，如已知一个图形的一个点，求这个图形的另一个点等。
通过这些问题，让学生运用中心对称的知识，提高解决问题的能力。
北师大版八年级下册3中心对称教学设计
北师大版八年级下册3中心对称教学设计一、教学目标1.掌握3中心对称的概念。
2.了解3中心对称的性质和应用。
3.能够运用3中心对称的方法解决几何问题。
4.培养观察能力和创新思维，提高数学素养和综合素质。
二、教学内容1.3中心对称的定义和性质。
2.3中心对称的判定方法。
3.3中心对称的应用——构造对称图形。
4.3中心对称的延伸——与平移、旋转的关系。
三、教学方法1.探究法：通过引导学生提出问题，自主探究3中心对称的概念和性质。
2.演示法：通过板书、ppt等形式演示3中心对称的判定方法和应用。
3.课堂练习：通过个人和小组练习，巩固3中心对称的概念和判定。
4.开放式探究：通过开放式问题引导学生深入思考3中心对称与其他几何变换的关系。
四、教学过程1. 导入环节1.教师引导学生回顾对称的概念和性质。
2.教师提出问题：“大家有没有想过一个点对称到另一个点的影射是如何实现的？”3.学生讨论后，教师引导学生思考3中心对称的概念和性质，并引入下一环节。
2. 探究环节1.将4个点分别标在坐标系的四个象限上，以原点为第一个中心，以第一象限的点为第二个中心，以第四象限的点为第三个中心。
2.学生分别计算这4个点分别关于三个中心的坐标，并观察关系。
3.教师引导学生思考3中心对称的性质，并总结出3中心对称的定义。
3. 演示环节1.教师演示3中心对称的判定方法，并进行实例解析。
2.教师演示3中心对称的应用——构造对称图形，并进行实例解析。
4. 练习环节1.学生个人和小组练习3中心对称的判定方法和应用。
2.教师纠正练习中学生的错误，并进行讲解和解析。
5. 拓展环节1.教师提出开放性问题，引导学生深入思考3中心对称与其他几何变换的关系。
2.学生小组讨论并汇报成果。
6. 总结环节1.教师对3中心对称的概念、性质、判定方法和应用进行总结。
2.学生总结本节课的学习内容和心得体会。
五、教学评价1.教师通过教学反复强调概念和性质，巩固学生对3中心对称的理解。
数学北师大版八年级下册《中心对称》教学设计
北师大版八年级下册3.3《中心对称》教学设计一、教学目标：☆知识与技能：了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质.☆过程与方法经历有关中心对称的观察、操作、欣赏和设计的过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念.☆情感态度价值观发现生活中的数学美，欣赏自然界的中心对称图形;二、教学重点：了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质教学难点：在参与活动中发展学生观察问题、分析问题、解决问题的科学探究能力；三、教学时间：（ 1学时）四、教学过程一、【复习引入】：[活动过程]：1.通过几何画板的动画演示，带领学生回顾旋转的定义以及性质；2.提出问题：当旋转哪些特殊角度会使旋转前后图形有特殊的位置关系？师生互动引出课题；[活动目的]：利用几何画板的演示，教师的提问、追问让学生体会中心对称与旋转之间的从属关系，为后续学习做铺垫；二、【探究新知】☞知识点1：两成中心对称★两图形成中心对称定义：关于这个点对称或中心对称[活动过程]：教师提问：图中两组图形通过怎样的图形变换能够重合？师生互动后利用几何画板演示总结定义，引导学生找出定义中的关键词；[活动目的]：引入定义以后，通过学生找关键词，体会成中心对称是旋转的一种特殊情况；☞知识点2：探索成中心对称两图形的性质★动手画图，探究中心对称的性质请自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°，连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再选几组对应点试一试，并与同伴交流。
★中心对称的性质：[活动过程]：教师提出问题，引导学生通过小组合作画出旋转以后的图形，通过小组作品的展示，总结两图形成中心对称的性质，教师通过几何画板演示，以及学生说理进一步验证，最后学生动手画图；[活动目的]：通过学生的动手操作，经历探索性质的过程，通过几何画板直观演示，加深对性质的认识，最后通过推理证明，让学生感受数学的严谨性，在学生小组合作过程中，培养学生的团队意识.☞知识点3：中心对称图形先独立观察，再小组交流归纳：中心对称图形：[设计过程]：教师提出问题：通过怎样的变换图形能与原图形重合？师生互动总结定义，通过两组练习题进行训练，加深学生对中心对称图形的认识，并进一步举例我们所学过的平面图形中的中心对称图形.[活动目的]：通过几何画板直观演示认识定义，在总结定义关键词时，教师引导学生对比其与两图形成中心对称的区别与联系，发展学生类比学习的意识，通过练习、举例进一步加深学生对知识的理解.☞知识点4：旋转对称图形观看微视频，学习旋转对称图形定义[设计过程]：1.学生自主学习微课，了解旋转对称图形定义；2.举例说明旋转对称图形与中心对称图形之间的联系；[活动目的]：学习新知识的过程中，对比其与中心对称图形的联系，了解二者之间的从属关系，加深对中心对称图形的认识，发展类比学习的意识；三、【效果检测】1．下列图形中，中心对称图形有个个个个2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )A. B. C. D.3与成中心对称，下列结论中不成立的是4为对称中心，若的长为．第3题第4题5如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为Ⅰ请在图中画出与成中心对称；Ⅱ直接写出（1）中的三个顶点坐标．知者加速；我们把图（1）称作正六边形的基本图，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2），图（3（n）．（1）将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心的坐标为（2）图（n）的对称中心的横坐标为．[活动过程]：学生学习完主要知识后是否达成了本节课的学习目标呢？教师通过效果检测来掌握.同时效果检测完成后教师应及时公布答案，组织学生通过“小组互帮进行对组内学习有困难的同学进行个别帮扶”，及时解决组内个别同学存在的问题.[活动目的]：通过学生自学、小组互帮、教师个别点拨等方式使学生养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯，再此过程中教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.四、【自主建网】★1.通过本节课的学习：你有哪些收获与感悟？2.展示两图形成轴对称实例，体会二者之间联系；[活动过程]：学生回答，教师引导，串联本节课所学知识点；类比轴对称，体会二者之间的联系与区别，发展学生类比学习的意识；【因人作业】必做题：课本84页 ----1，2，3选做题：课本84页-----4[设计说明]：通过因人作业的设置，让不同层次的学生都能学有所获，能享受到成功的喜悦.。
北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》教案
在实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果总体良好。但我也注意到，部分小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象。为了提高讨论效率，我应当在今后的教学中明确讨论要求，引导学生围绕主题展开讨论，并适时给予指导和启发。
3.培养学生的几何直观：使学生能够运用中心对称的知识，对几何图形进行直观想象和判断，培养几何直观能力。
4.培养学生的数学抽象素养：通过中心对称概念的提炼和性质的概括，提高学生从具体实例中抽象出数学规律的能力，增强数学抽象素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）中心对称的概念：理解中心对称的定义，掌握中心对称的基本性质，如对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
举例：以一个正方形为例，说明如何找到一个中心对称点，并展示对称点与对称中心的关系。
（2）中心对称图形的特征：识别中心对称图形，并能画出其对称轴。
举例：分析一个中心对称图形，如一个五角星，找出对称中心，并画出所有对称轴。
（3）中心对称的应用：解决实际问题，如设计图案、确定物体位置等。
举例：利用中心对称的性质设计一幅图案，或在一个给定的图形中确定某一点的对称点。
五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试通过生活实例和互动讨论的方式，帮助学生理解中心对称的概念和性质。我发现，大部分学生在直观感受和实际操作中能够较好地掌握中心对称的基本知识，但在具体应用和解决实际问题时，还存在一定的困难。
首先，我觉得在导入新课环节，通过提问和生活实例的方式能够激发学生的兴趣，使他们更容易接受新知识。然而，在讲授过程中，我意识到需要进一步关注学生的学习反馈，适时调整教学节奏和难度，以确保他们能够跟上课程的进度。
北师大版八年级下册数学《3.3 中心对称》教学设计
北师大版八年级下册数学《3.3 中心对称》教学设计一. 教材分析《3.3 中心对称》是北师大版八年级下册数学的一节重要内容。
本节课主要介绍了中心对称的定义、性质及其在实际问题中的应用。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究中心对称的规律，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的平面几何知识，具备了一定的逻辑思维和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对中心对称的概念和性质理解不够深入，需要教师通过实例和讲解，帮助学生更好地理解和掌握。
三. 教学目标1.理解中心对称的定义和性质；2.能够识别和判断中心对称图形；3.学会运用中心对称解决实际问题；4.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.中心对称的定义和性质；2.中心对称图形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究中心对称的规律；2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和讨论，加深对中心对称的理解；3.合作学习法：学生分组讨论和操作，培养学生的团队协作能力；4.归纳总结法：教师引导学生总结中心对称的性质和应用，提高学生的归纳能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示中心对称的图片和实例；2.教学道具：准备一些中心对称的图形，如圆、六边形等；3.练习题：设计一些有关中心对称的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的中心对称现象，如闹钟、蜜蜂等，引导学生关注中心对称的概念。
2.呈现（10分钟）介绍中心对称的定义和性质，通过实例讲解，让学生初步理解中心对称的概念。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，找出教材中的中心对称图形，并说明其性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些有关中心对称的练习题，让学生独立完成，检查对中心对称知识的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考中心对称在实际问题中的应用，如设计图案、解决几何问题等。
《第三章3中心对称》作业设计方案-初中数学北师大版12八年级下册
《中心对称》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《中心对称》的学习，使学生能够理解并掌握中心对称的概念、性质及运用。
通过实际操作和练习，提高学生的空间想象能力和数学应用能力，为后续学习奠定基础。
二、作业内容1. 理解中心对称的概念：- 明确什么是中心对称图形，掌握其基本特征。
- 结合实际例子，分析图形中的对称中心和对称点的关系。
2. 中心对称的性质探究：- 探究中心对称图形的性质，如对称点的连线经过对称中心等。
- 通过练习题，加深对中心对称性质的理解。
3. 运用中心对称解决实际问题：- 结合生活中的实例，如建筑、图案设计等，分析其中所体现的中心对称原理。
- 设计简单的中心对称图形，并解释其设计思路。
4. 空间想象能力培养：- 通过绘制中心对称图形，培养学生的空间想象能力。
- 运用空间想象，解决与中心对称相关的空间位置问题。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，理解并掌握《中心对称》的相关概念和性质。
2. 完成相关练习题，包括选择题、填空题和解答题等，以检验对知识的掌握程度。
3. 设计并绘制至少两个中心对称图形，并附上简要的说明或设计思路。
4. 在完成作业过程中，遇到问题应及时查阅教材或请教老师、同学，确保作业的准确性和完整性。
5. 作业需按时提交，字迹工整，格式规范。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生对《中心对称》相关概念的理解程度、练习题的完成情况和图形的绘制及设计思路进行评价。
2. 评价方式：采用教师评价、同学互评和自评相结合的方式，综合评价学生的作业情况。
3. 反馈方式：教师针对学生的作业情况给出详细反馈，指出存在的不足和需要改进的地方，鼓励优秀学生分享经验。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，进行针对性的辅导和指导，帮助学生解决学习中的困惑和问题。
2. 同学之间可以互相交流学习心得和经验，互相帮助解决作业中的问题。
3. 学生需根据教师的反馈和同学的建议，及时调整学习方法和策略，提高学习效果。
八年级数学下册 3.3 中心对称 中心对称在生活中的应用素材 (新版)北师大版
中心对称在生活中的应用
数学是自然科学的基础，作为数学图形的一种特殊的位置关系的中心对称，当然不会脱离自然而孤立存在。
您瞧，六角形亮晶晶的雪花，不正是自然对中心对称的美的概括吗？
说到美，中心对称的美是公认的，因而从古到今以中心对称设计的图形多不胜举。
请看这一组：
中国古代太极图凤凰卫视台徽
《仙剑Ⅱ》鱼形
它们是否给你一种异曲同工的感觉，这就是中心对称！
1、广告商标
中心对称应用于广告商标的设计制作，往往能以简单的色彩、线条，勾画出生动、富于创意和内涵的作品。
因而只要你细心观察，就不难发现，原来中心对称就在我们身边！瞧，下边的你认识多少？
2、工农业生产
旋转的物体必须具有稳定性，而中心对称的设计恰恰满足了旋转物体的这一需求。
因而在工农业生产制作转动工具时，都不可避免地考虑应用中心对称的设计，小的如日常生活中单车、闹钟内的齿轮，电风扇的扇叶；大的如推动飞机、轮船的轮桨，风力发电用的风车等等。
另外，在日常使用的一些生活工艺品（如：地毯、挂毯），也不难发现中心对称的影子！。
北师大版数学八年级下册中心对称课件
A. 2
B. 4
A
C. 6
D. 8
D O
B
当堂小结
中 中 概念 旋转角是 180°
心 心 性质 对应点的连线经过对称中心，且
对对
被对称中心平分
称 和
称 作图 作中心对称图形； 找出对称中心
中 心 对
称 图
中 定义 绕着某一点旋转 180° 能与本身重
心
合的一个图形
对 称
性质
经过对称中心的直线把原图形分 成面积相等的两部分
A
O
顺次连接 E，B'，C'，D'，A. D'
图与形五边EB形'CA'DB'CAD就E是成以中点心O对为称对的称图中形心. 、C'
C
D E B'
议一议 视察图，这些图形有什么共同特征?你还能举出一些 类似的图形吗?
把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后 的图形能和本来的图形重合，那么这个图形叫做中心 对称图形，这个定点就是对称中心.
活动探究
C
(1) 对应点到旋转中心 A 的距离是否相等？
B O● B′
A′
OA = OA′、OB = OB′、OC = OC′. 相等. C′
(2) 对应点与旋转中心所连线段的夹角是否等于旋转角？ ∠AOA′ = ∠BOB′ = ∠COC′ = 180°. 相等.
(3) 旋转前、后的图形全等？△ABC≌△A′B′C′. 全等.
想一想 (1) 在你所学过的平面图形中，哪些图形是中心对称图形？ (2) 在上面例题中，图形 ABCDEB'C'D' 是中心对称图形 吗？
边数是偶数的正多边形都是中心对称图形 图形 ABCDEB'C'D' 是中心对称图形
八年级下册数学北师大版第一章
八年级下册数学北师大版第一章1. 中心对称定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，能与另一个图形重合，则这两个图形为中心对称图形。
性质：中心对称图形必定是旋转180度后重合的图形。
2. 中心对称图形定义：一个图形绕某一点旋转180度能够与自身重合，则这个图形叫做中心对称图形。
性质：中心对称图形的所有点都关于某一点对称。
3. 轴对称与轴对称图形定义：如果一个图形沿着某条直线对折，两侧的图形能完全重合，则这个图形称为轴对称图形。
性质：轴对称图形的对称轴两侧的图形是全等的。
4. 轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某直线对称，那么它们的对应线段（或延长）相等。
如果两个图形关于某直线对称，那么它们的对应角相等。
5. 全等三角形定义：两个三角形能够完全重合，则这两个三角形称为全等三角形。
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
6. 三角形全等的判定边边边(SSS)：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
边角边(SAS)：如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
角边角(ASA)：如果两个三角形的两角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。
角角边(AAS)：如果两个三角形的两角及其对边分别相等，那么这两个三角形全等。
7. 直角三角形全等的判定斜边直角边(HL)：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。
8. 角的平分线性质角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
9. 平行四边形定义：两组相对边平行或相等的四边形叫做平行四边形。
性质：对边平行、对角相等、对角线互相平分。
10. 矩形、菱形、正方形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；有一个角是直角的菱形叫做正方形。
性质：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质，此外还有各自特殊的性质。
八年级数学北师大版下册 第3章《中心对称》教学设计 教案
教学设计中心对称一、教学目标1．通过观察、探索等过程，使学生更深刻地理解轴对称、平移、旋转及组合等几何变换的规律和特征，并体会图形之间的变换关系。
2．运用讨论交流等方式，让学生自己探索出图形变化的过程，发展学生的图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力。
二、课时安排一课时三、教学重点识别中心对称图形和成中心对称的两个图形的基本特征。
四、教学难点熟练地画出已知图形关于某一点成中心对称的图形。
五、教学过程（一）导入新课观察图3-18，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？观察图3-19，再试一试，你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流。
活动目的：通过观察发现两幅图形的内在关系，这个活动为课堂提供了极好的素材，也将极大地激发了学生学习的积极性与主动性。
（二）讲授新课内容：通过以上观察，理解中心对称的概念如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它的对称中心，如图三角形ABC与三角形A’B’C’成中心对称，点O是它们的对称中心。
效果：通过学生找到上图的对称关系，运用讨论交流等方式，让学生自己探索出图形变化的过程，为后面寻找组合图形所运用的几何变换的规律和特征奠定了基础。
做一做自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°。
链接旋转前后一组对应点，你发现了什么，再选几组对应点试一试，并与同伴交流。
中心对称与轴对称的联系与区别（三）重难点精讲例1（1）如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；画法：连接AO并延长到A′，使OA′=OA，得到点A的对称点A′.（2）如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.1. 连接AO并延长到A′，使OA ′=OA，得到点A的对称点A′.2. 同样画B、C的对称点B′、C′.3. 顺次连接A′、B′、C′各点.例2如图，点O事线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE 成中心对称的图形解：连接BO并延长至B’，使得OB’=OB；连接CO并延长至B’，使得OC’=OC；连接DO并延长至B’，使得OD’=OD；顺次连接A,D’,C’,B’,E图形AD’C’B’E就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形这些图形有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？中心对称图形的概念:中心对称与中心对称图形的联系与区别?区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.议一议（1）在你所学过的平面图形中，哪些图形是中心对称图形？（2）在上面的例题中，图形ABCDEB‘C’D’是中心对称图形吗？（四）归纳小结1、中心对称图形的定义：把一个图形绕着______旋转____度后能与自身重合的图形称为中心对称图形，这个中心点叫做___________。
2024北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》教案
2024北师大版数学八年级下册3.3《中心对称》教案一. 教材分析《中心对称》是北师大版数学八年级下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍中心对称的概念，性质以及中心对称图形的判定。
通过学习，学生能够理解中心对称的定义，掌握中心对称的性质，并能运用中心对称解决实际问题。
教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。
但中心对称的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要借助实物和图形，引导学生从直观的角度去理解和掌握中心对称的概念和性质。
三. 教学目标1.理解中心对称的概念，掌握中心对称的性质。
2.能够运用中心对称解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和归纳能力。
四. 教学重难点1.中心对称的概念和性质。
2.中心对称图形的判定。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物和图形，引导学生从直观的角度去理解和掌握中心对称的概念和性质。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探讨，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实物的图片和图形，如圆、矩形等。
2.准备中心对称的判定题目。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物和图形，如圆、矩形等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？它们是如何通过某种变换得到的？2.呈现（10分钟）介绍中心对称的定义和性质，引导学生从直观的角度去理解和掌握中心对称的概念和性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成中心对称图形的判定题目。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）教师提出问题，引导学生思考和探讨：中心对称的概念和性质在日常生活中有哪些应用？学生分享自己的观点和实例。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用中心对称解决实际问题，如设计图案、解决几何题目等。
《中心对称》说课稿
《中心对称》说课稿_《中心对称》说课稿各位考官大家好，我是xx号考生。
今天我说课的内容是《中心对称》。
一、说教材《中心对称》是北师大版八年级下册第三章第三节的内容，本节课主要讲中心对称的定义以及中心对称的性质，这不仅是对前面学习四边形的一个必要的补充，更是与图形中的三中变换中的“旋转”有着不可分割的关系，学生已经掌握了轴对称的概念和性质，可以利用类比的方法让学生掌握中心对称的定义和性质。
现实生活中随处可见中心对称的应用，通过对这一课的学习可以完善初中“对称图形”的知识讲授。
二、说学情接下来，我来谈谈我班学生情况。
他们对于知识具有较好的理解能力和应用能力，喜欢合作探讨式学习，对数学学习有较浓厚的兴趣。
在以往的学习中，学生的动手能力已经得到了一定的训练，本节课将进一步培养学生这些方面的能力。
三、教学目标教学目标是教学活动实施的方向、和预期达到的结果、是一切教学活动的出发点和归宿，我精心设计了如下的教学目标：【知识与技能】能够认识中心对称图形并且了解其性质以及判断一个图形是否是中心对称图形。
【过程与方法】通过对“中心对称图形”的探究，提析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过一系列的探究过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
四、教学重难点本着新课程标准，吃透教材，了解学生特点的基础上我确定了以下重难点：【重点】理解中心对称的定义以及性质。
【难点】探究中心对称的性质。
五、教学方法根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，我采用启发式、探索式教学方法，意在帮助学生通过观察，自己动手，从实践中获得知识。
整个探究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学习的主体。
六、教学过程教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，具体教学过程如下：(一)导入新课复习导入:提问：什么是旋转?旋转有哪些性质?确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件?学生回答、反馈。
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知3－练
1 如图，已知点M是△ABC的边BC的中点，点O是 △ABC外一点． (1)画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点M成
中心对称；
(2)画△A″B″C″，使△A″B″C″ 与△ABC关于点O成中心对 称．
中心对称的概念：
把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形 与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,
知1－练
2 下列4组图形中，右边的图形与左边的图形成中 心对称的是( )
知1－练
3 下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称
的是( )
知2－讲
知识点
做一做：
2
中心对称的性质
自己画一个图形，选取一个旋转中心，把所画
的图形绕旋转中心旋转180° . 连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再 选几组对应点试一试，并与 同伴交流.
得到另一个图形．
知1－讲
3 组． 例1 如图，在这4组图形中成中心对称的有______
导引： 利用中心对称的定义解答．
知1－讲
总
结
根据中心对称的定义，看左边的图形能否绕一 点旋转180°后与右边的图形重合，能就成中心对 称，否则就不成，本题中第4组不成．
知1－讲
例2 下列说法正确的是( C ) A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形必须重合
点对称或中心对称(central symmetry), 这个点叫做它
们的对称中心(centre of symmetry).
知1－讲
要点精析：
(1)中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180° ；
(2)中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个 图形，其中一个图形绕对称中心旋转180° 后一定 能与另一个图形重合； (3)成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个
知2－练
2 如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列 说法： ①∠BAC＝∠B1A1C1； ②AC＝A1C1； ③OA＝OA1； ④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有( A．1个 )
B．2个
C．3个 D．4个
知3－讲
知识点
3
中心对称的作图
例4 如图，点O是线段AE的中点， 以点O为对称中
对称中心可能在每个图形的外部，也可能在每个图
形的内部或边上，但对应点一定在对称中心的两侧 或与对称中心重合．
知1－讲
中心对称与轴对称的比较： 相同点：都是两个图形之间的关系，并且变换前、 后的两个图形全等． 不同点：轴对称是一个图形沿着一条直线翻折得到
另一个图形；中心对称是一个图形绕一点旋转180°
可以找到：OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′， 解：
△ABC≌△A′B′C′，AB BC A′B′，AC A′C′， B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，
∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′等．
知2－练
1
如图， 在平面直角坐标系中， 若△ABC与 △A1B1C1关于E点成中心对称， 则对称中心E 点的坐标是________．
知1－讲
总
结
成中心对称的两个图形必定全等，但全等的 两个图形不一定成中心对称；两个全等的图形也 可能由平移、翻折得到．
知1－练
1 下列说法正确的是(
)
A．全等的两个图形成中心对称 B．能够完全重合的两个图形成中心对称 C．绕某点旋转后能重合的两个图形成中心对称 D．绕某点旋转180° 后能够重合的两个图形成中 心对称
知2－讲
总
结
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段 经过对称中心，且被对 称中心平分.
知2－讲
中心对称的性质： (1)具有旋转的一切性质(因为中心对称是一种特殊的
旋转)；
(2)成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过 对称中心，且被对称中心平分； (3)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等， 对应线段平行(或在同一直线上)且相等．
心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形. C D
知3－讲
如图, 连接BO并延长至B′，使 得OB′ =OB ; 解： 连接CO并延长至C'，使得OC′ =OC ;
连接DO并延长至D′，使得OD′ =OD ;
顺次连接E, B′, C′, D′, A. 图形EB′C′D′A就是以点 O为对称中心、与 五边 形ABCDE成中心对称
C
D
的图形.
知3－讲
总
结Байду номын сангаас
根据中心对称的性质作已知图形关于某点中心对称的 图形的关键是作出某些特殊点的对应点．作图步骤：
(1)连接原图形上的特殊点和对称中心；(2)再将以上各
线段延长找对应点，使得特殊点与对称中心的距离和 其对应点与对称中心的距离相等；(3)将对应点按原图 形的形状连接起来，即可得出原图形关于某点中心对 称的图形．
知2－讲
例3 如图，△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称，
你能从图中找出哪些相等的线段、相等的角、
全等的三角形以及有特殊位置关系的线段？
知2－讲
导引： 根据中心对称的性质可知：如果两个图形关于某点 成中心对称，那么对应点所连线段都经过对称中心 而且被对称中心平分，而且这两个图形是全等图形, 对应边平行(或在同一直线上)且相等．
中心对称
1
课堂讲解
中心对称的定义
中心对称的性质
2
课时流程
逐点 导讲练
中心对称的作图
课堂 小结
作业 提升
观察图1, 图(1)经过怎样的运动变化就可以与图(2)
重合？观察图2, 再试一试.你还能举出一些类似的例子 吗？与同伴交流.
图1
图2
知1－导
知识点
1
中心对称的定义
如果把一个图形绕着某一点旋转180° ，它能够 与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个
C．成中心对称的两个图形全等
D．绕某点旋转后能够重合的两个图形成中心对称
知1－讲
导引：全等的两个图形不一定成中心对称，故A错； 成中心对称的两个图形不一定重合，故B错； 成中心对称的两个图形旋转180°后一定能重
合，而能重合的图形必全等，故C正确；旋
转后能够重合的两个图形不一定成中心对称， 关键是要旋转180°后能重合，故D错．
这个点叫做对称中心.
中心对称的性质： ① 关于中心对称的两个图形是全等形. ② 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对 称中心，并且被对称中心平分. ③ 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者 在同一直线上）且相等.