一个分数阶混沌系统的分析及电路设计
一个新分数阶混沌系统的分析与同步
第６ 期
天 津科技大 学学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｂ １ ． ３１ ＮＯ ． ６
Ｄｅｃ ． ２ ０１ ６
ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ｓ ｏ ｆ ｔ ｗａ ｒ ｅ ｎｄ ａ ｂ ａ ｓ ｅБайду номын сангаасｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ｉ ｃ ｔ ｏ ｒ － ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｏ ｒ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｙ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｓ ａ
分数阶混沌 系统的 同步 问题 ， 基 于极 点配置方法 以及扩展 的非线性状 态观 测器理论 ， 设 计 了一种投影 同步方案． 数值 仿 真与理论分析的结果一致 ， 充分验证 了该 同步方案 的可行性和有效性 ． 关键词 ：分数 阶 ；混沌系统 ；状态观测器 ；投影 同步 ；数值仿真 中图分 类号 ：Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ９ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ２ 。 ６ ５ １ ０ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６ — ０ ０ ６ ９ — ０ ５
摘
要 ：提 出一 个新 的 同 量 阶 ２ ． ７ 阶分 数 阶 混 沌 系统 ， 基 于预 估 一 校 正 时域 法 ， 采 用 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ绘 制 了该 分数 阶 混 沌 系统
的相轨迹 图、 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指数 图和分 岔图 ， 并用数值仿真验证 了该 系统在 一定参数 变化范 围内存在混沌吸 引子． 研 究该
分数阶超混沌系统同步控制及电路实现
ïd
w１
ïï
＝－k
y１ ＋u４ ．
î d
tq
(
４)
定义同步误差为e１ ＝x１ －x,
e２ ＝y２ －y１ ,
e３ ＝z２ －z１ ,
e４ ＝z１ －z,则式(
４)减去式(
１),误差系统为
q
ïìde１
ï
tq
ïd
ï q
ïde２
ï
tq
ïd
í
q
ïd
e３
ï
ïd
tq
ï
q
ïd
e４
ïï
îd
tq
e２ －a
e１ ＋y１e３ ＋e２z＋k１e１ ,
２０１９GGX１０４０９２);山 东
省重大科技创新工程项目(
２０１９JZZY０１０１１１)
作者简介:雷腾飞(
１９８８－ ),男,副教授,博士,硕士生导师,主要从事忆阻计算与忆阻映射研究 ．
５３
徐州工程学院学报(自然科学版) ２０２０ 年第 １ 期
９]采用经典的预估矫正法(
ABM)对分数阶混沌系
统进行了数值仿真;文献[
１０]采用 Adomi
an 分解法对简化分数阶 Lo
r
enz混沌系统进行数值仿真;文献[
１１]
采用改进的 Adomi
an 对简化分数 阶 Lo
r
enz 进 行 了 混 沌 特 性 分 析 ．在 同 步 控 制 研 究 方 面,如 自 适 应 同 步 控
[]
统 [５]、分数阶 Lo
r
enz系统 ６ 等 ．
目前,在分数阶混沌系统的分析及控制,特别在同步控制理论方面取得 了 一 定 的 成 果 ．在 分 数 阶 混 沌 系
一个分数阶混沌系统的分析及电路设计
一个分数阶混沌系统的分析及电路设计贾红艳【期刊名称】《天津科技大学学报》【年(卷),期】2013(000)001【摘要】基于一个整数阶的四翼混沌系统，采用频域近似的方法研究它的分数阶方程，发现了该分数阶系统的混沌吸引子。
通过对它的分形分析，观察到较丰富的动力学特性，即不仅可以观察到混沌吸引子，而且也能观察到不同周期的周期轨。
最后，设计一个模拟电路实现了这一分数阶系统，为该分数阶混沌的应用提供技术上的支持。
%The fractional equation of a four-wing chaotic system was studied and a chaotic attractor was found by using approximation of the frequency domain. More dynamic characteristics were observed through studying its bifurcation.Not only chaotic attractors,but also periodic orbits can be found. At last,an analog circuit was designed to provide technologic support for the application of the fractional chaotic system.【总页数】4页(P55-58)【作者】贾红艳【作者单位】天津科技大学电子信息与自动化学院，天津 300222【正文语种】中文【中图分类】TP13【相关文献】1.一个分数阶混沌系统的分析及其同步应用 [J], 钱晔;张璇;周丽华;孙吉红;王旭;刘灵亮2.分数阶混沌系统电路设计及在保密通信中的应用 [J], 贾晨浩;李帅;徐瑜;吴楠燕;孙楠3.一个含有五项的分数阶混沌系统的动力学分析 [J], 杨丽新4.一个含有五项的分数阶混沌系统的动力学分析 [J], 杨丽新;5.新分数阶混沌系统的电路设计和同步控制 [J], 颜闽秀;徐辉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
新型分数阶超混沌系统的构建与电路研究
新型分数阶超混沌系统的构建与电路研究混沌现象的研究是非线性科学中的重要课题之一。
混沌作为一种复杂的非线性运动行为，在生物学、物理学、化学、工程学和信息学等领域都得到了广泛的研究。
混沌运动是一种确定性的非线性运动，它的运动轨迹非常复杂但又不完全随机，在许多情况下都可以观察到混沌运动的存在。
混沌信息具有遍历性、非周期、对初值极端敏感以及似噪声的特性，因此特别适合于保密通信和图像加密与隐藏等应用领域。
混沌学是一门新型的非线性科学，它的研究热潮始于二十世纪七十年代，但是其渊源可以追溯到十九世纪三十年代。
最近几十年来，在国内外众多学者的不懈努力下，混沌学与相对论、量子力学一起成为了20世纪物理学的三次重大革命。
它的创立，在确定论和概率论这两大科学体系之间架起了桥梁。
今天，混沌理论与计算机科学理论相结合，使人们对一些久悬未解的基本难题的研究取得了突破性进展，在研究客观世界的复杂性等方面发挥了巨大作用，从而成为世人瞩目的学术研究热点。
本项目是新型分数阶超混沌系统的构建与电路研究，利用典型的非线性环节，构建新型的分数阶混沌系统，分析混沌运动的动力学行为，实现混沌同步控制及其保密通信研究。
通过搭建相关的硬件电路进行不断地调试，观察示波器中的波形，进而验证设计方案的可行性。
下面主要利用Mulisim软件进行多维混沌电路的仿真分析，Multisim 是一个完整的设计工具系统（前期版本ElectronicsWork Bench 简称EWBMultisim）。
Multisim 用软件的方法虚拟电子与电工元器件以及电子与电工仪器和仪表，通过软件将元器件和仪器集合为一体。
它是电子电路计算机仿真设计与分析的基础，且为用户提供了一个庞大的元器件数据库。
利用其库中元器件对设计的电路进行仿真，手段切合实际，仿真结果与理论计算非常接近。
Multisim 具有较为详细的电路分析功能，可以完成电路的瞬态分析、稳态分析、时域分析、频域分析、噪声分析、失真分析、离散傅立叶分析等各种分析方法。
分数阶Lorenz超混沌系统及其电路仿真
０ 引
言
—ｔ 一 一 ａ ｘ — ）＋ 优 ｄ＂ — （ Ｊ十
一 一 一
分 数 阶 倒 数 与 分 数 阶 积 分 的 最 基 本 特 征 是 记 忆 效 应 ， 得 系统 的 历 史 信 息 对 其 现 在 和 未 来 都 产 生 影 响 ， 使 因 而 可 提 高 控 制 精 度 ， 扩 展 了 整 数 阶 微 分 方 程 的 能 它 力 ， 整 数 阶 微 分 方 程 的 推 广 。 分 数 阶 微 分 方 程 不 仅 为 是
阶 混 沌 系 统 更 具 有 实 际 价 值 。 自 从 ２ 世 纪 ６ 年 代 Ｏ Ｏ Ｌ ｒｎ ｏｅ ｚ发 现 了 第 一 个 混 沌 的物 理 模 型 ， 为 了 后 人 研 究 混 成 沌 的 出 发 点 和 基 石 ］ 本 文 通 过 对 分 数 阶 Ｌ ｒｎ 。 ｏ ｅｚ超 混 沌
（ Ｈｕ ａ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｅ ｃ ｎｄ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｉ ｅ ｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅ ａ ｃ ｎ ｌ ｇｙ。Ｓ ｈｏ ｌ ｆ Ｉ ｆ ｒ ｔｏ ｎ ｅ ｔ ｉ ａ ｇｉ ｅ ｒｎ ｃ ｏ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｎ ａ ｄ Ｅｌ ｃ ｒｃ ｌＥｎ ｎ ｅ ｉ ｇ．Ｘｉｎ ｔ ｎ ４１ ２ １ ｏ ａ ｇａ １ ０ ）
析 了 在 不 同 参 数 条 件 下 的 吸 引 子 相 图 。设 计 了硬 件 电路 并 运 用 Ｅ ＷＢ 软 件 对 该 电路 进 行 仿 真 ， 电路 仿 真 说 明 分 数 阶
电 路 是 可 以实 现 的 。 关 键 词 ：分 数 阶 ； 混 沌 ； ＷＢ 超 Ｅ 中 图 分 类 号 ：Ｔ ２ Ｎ９ 文献 标 识 码 ：Ａ
根 据平衡 点所 对 应 的 稳 定性 分 析 了 系统 （ ） 平 衡 点 ， １的 使 系 统 （） 左边 等于零 ， １的 即
分数阶时滞忆阻混沌电路的动力学分析及电路仿真
2］区间变化，见图 4。从分岔图可以很明显地看出
和 C1 = 1.232μFC 2 = 1.835μFC 3 = 1.10μF 。 运 算
时，出现 Hopf 分叉，最后随着 a 的增加变为混沌状
供 ±15 的 电 压 和 R = 11.24kΩ ，整 体 电 路 图 如 图 6
系统（2）的轨道从周期状态开始，然后当经过阈值
数阶忆阻器 ，将其替换图 1 中的电容得到分数阶磁
控忆阻器，数学表达式为
ì dx q 2
ï
= 1 q x1
dt
R 0C 0
ï
（1）
í
æ1
g1 g 2
2ö
ï
1
ï f ( x1 x 2 ) = ç R - R + R [ x 2] ÷ x1
2
è 1
ø
î
其中 x1、x2 和 （
f x1，x2）分别是忆阻器的输入、内部状
态。各状态的相位图和时域图如图 3 所示。当
（a）a = 1.62
放 大 器 和 乘 法 器 采 用 AD711KN 和 AD633JN ，提
（c）所示。
（b）a = 1.68
（d）a = 1.62
（e）a = 1.73
图5
相位图与时域图
（c） a = 1.73
统进入混沌状态，如图 5（b）和（e）所示。当 a = 1.73
时，系统展现出双涡旋的混沌吸引子，如图 5（c）和
（f）所示。
出一个引理来讨论式（3）的根的分布。
引理 1 对于式（3），以下结果成立：
1）如 果 ψ k > 0(k = 1234) 且 A 3 + A 4 ¹ 0 ，则
方程（3）在时滞 τ ³ 0 时没有实部为零的根。
基于复频法的分数阶Bao混沌系统的分析与电路模拟
２ 分 数阶 Ｂ ａ ｏ混 沌 系 统
包 伯成 等 提 出了一种 新 的混 沌系 统 ， 即符 合 ａ ｎ ＝ ０为一 种 新 的 Ｂ ａ ｏ （ 过渡） 混沌 系 统 ， 本 文在 此 基
础 上提 出了分数 阶 Ｂ ａ ｏ混 沌 系统 的动力 学 方程 为 ：
阶超 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ系统ｌ ＿ ３ 等．
目前 ， 对于 分数 阶混 沌 系统 的研究 大部 分 为分 数 阶系统 的 同步 控制 领域 ＿ ４ ］ ， 而对 于 分数 阶混沌 系统 动 力 学分 析 大多 只通过 吸 引子进 行 的数值 仿 真研 究 ， 而现 有 文献 中利 用分 岔 图 、 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 研 究 三 维 分数 阶混 沌系 统 的报道 却 甚少 ｎ 引， 因分 岔 图 与 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数 是 研 究 参 数 对 混 沌 系 统影 响 最 有 利 的工 具， 故 利用 分岔 图与 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ指 数研 究分 数 阶混 沌系 统具 有非 常 重要 的意 义 ． 基于 Ｂ ａ ｏ混沌 系 统 扰 动后 很 容 易转 换 为复 杂 的不 同类 型 其他 混沌 系 统 ， 所 以研 究其 Ｂ ａ ｏ混沌 系统 必 将 能 更 好 的 应 用 与 实 际 工 程 中． 当
１ 引 言
随着 人们 对 分数 阶微 积分理 论 不断研 究 与探 索 ， 发现 其分 数 阶更 能准 确 的描 述实 际 的物理 特性 ， 而整数 阶系统 只是 对 实际 系统 的理想 化 处理 ． 随着 人们 对 分数 阶混沌 系统 的深 入研 究 与探 索 ， 不 少 学者 提 出了 以整 数 阶混 沌 系统 为基础 的若 干种 分 数混沌 系 统如 分数 阶 Ｌ ｉ ｕ系 统 ， 分数 阶 Ｃ ｈ ｅ ｎ系统 ， 分数 Ｌ ｔ １ 系 统 ， 分 数
分数阶Chen超混沌系统动态分析及其电路实现
分数阶Chen超混沌系统动态分析及其电路实现
蒋逢灵;刘贤群;刘沅明
【期刊名称】《电工技术》
【年(卷),期】2024()8
【摘要】分数阶超混沌系统比低维混沌系统具有更加复杂的动力学特性,在工程中的应用前景更加广阔。
运用非线性系统李雅普诺夫指数计算原理,分析了0.96阶次超混沌系统复杂的动力学特性。
同时,基于分数阶微分时频域转换算法,在Multisim 仿真平台中设计了分数阶Chen超混沌系统的电路模型并通过示波器观看到了超混沌吸引子,电路实验结果与数值仿真结果完全吻合。
【总页数】4页(P18-21)
【作者】蒋逢灵;刘贤群;刘沅明
【作者单位】湖南铁路科技职业技术学院;湖南省高铁运行安全保障工程技术研究中心
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.分数阶Chen混沌系统同步及Multisim电路仿真
2.分数阶时滞Chen混沌系统的动力学分析与电路实现
3.不确定分数阶超混沌Chen系统和分数阶Rössler系统的自适应异结构同步
4.分数阶Chen混沌系统的动力学分析与电路实现
5.分数阶超混沌Chen系统的RBF神经网络自适应滑模同步
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
分数阶Lorenz系统的分析及电路实现_贾红艳
1 9.3633(s + 0.06449)(s + 0.578)(s + 5.179)(s + 46.42)(s + 416) = . s0.7 (s + 0.01389)(s + 0.1245)(s + 1.116)(s + 10)(s + 89.62)(s + 803.1) 同时, 基于连续整数阶混沌系统 Lyapunov 指 数的 Jacobian 计算方法, 本文计算了分数阶 Lorenz 系统的 Lyapunov 指数. 与整数阶系统计算方法不 同的是, 在计算不同分数阶次 Lorenz 系统的 Lyapunov 指数时, 本文将整数阶的积分器 1/s 转换为 分数阶的积分器 1/sα , 就可以得到系统的相应的分 数阶次的 Lyapunov 指数. Lyapunov 指数图和分岔图, 如图 3 和图 4 所示.
这或许是
[3] .
由于存在着许多不一致的微积分定义, 或许是由于 缺乏对分数阶微积分的充分的几何解释 直到近 几十年, 尤其当发现一些实际的物理系统展现出分 数阶动态特性以后, 例如, 管道的边界层效应、 电 解电极、 黏弹性受阻结构等过程中都存在分数阶 动态特性
[4−7] .
关于分数阶系统的研究开始引起了
Duffing 振子
等.
通常认为在维数低于 3 的系统中, 不能发现混
* 国家自然科学基金青年科学基金 (批准号: 11202148)、国家自然科学基金 (批准号: 61174094)、高等学校博士学科点专项科研基金 (批准号: 20090031110029) 和天津科技大学科学研究基金 (批准号: 20110124) 资助的课题. † 通讯作者. E-mail: jiahy@ c 2013 中 国物 理学会 Chinese Physical Society ⃝
新分数阶混沌系统的电路设计和同步控制
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hes
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em
p
y,t
yo
∪[
0.
632,
0.
7]∪ [
0.
85,
0.
88]∪ [
0.
9,
0.
94]时,分
岔图中出现由密集点构成的区域,系统处于混沌状
态.
考虑到分数阶混沌系统(
1)中含有 x2z 这种交
叉高阶项时,系统(
1)可能对 x 变量的初始值非常
敏感.现在改变x 变量的初始值x0 绘制分岔图,来
确认该模型动力学特性是否依赖于 x 变量的初始
Zhou 等 19 提出了具
有复杂共存吸引子的分数阶混沌系统.这些研究成
分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究
第 12 期
近似法
［9 ， 12 ， 13 ］
徐
强， 等： 分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究
α i， j， n +1 = nqi + 1 － （ n － qi ） （ n + 1）
q +1 i q i
· 4613·
， 设计了 分 数 阶 单 元 电 路， 利用一个模拟电路实
现了所提出的分 数 阶 混 沌 系 统， 借 助 PSpice 电 路 仿 真 平 台 给 出了相应的仿真结果 。
［9 ～ 13］
混沌吸引子的拓扑结构较为复杂的三阶连续自治混沌系统， 本 文提出了一个新的三 维 分 数 阶 混 沌 系 统 。 针 对 此 分 数 阶 混 沌 系 统，基 于 改 进 的 Adams-Bashforth-Moulton 算 法 （ ABM 算 法）
［9 ］
。在双涡卷混沌系统
［11］
1 sq
（ 3）
真所得的结果 。 从图 1 中不难观察到， 两种数值解析结果基 本 一致， 由此说明了基于改 进 的 ABM 算 法 求 解 整 数 阶 混 沌 系 统 是可行的 。
目前， 与常微分方程的数值求解不同， 分数阶微分方程的数 值仿真仍成问题 。 在分 数 阶 混 沌 领 域 的 相 关 文 献 中， 提出了两 种解析分数阶微分方程 近 似 方 法： a ） 改 进 的 ABM 算 法 描述分数阶混沌系统的特性 。 4］中提 出 的 三 维 连 续 自 治 混 沌 系 统 所 对 应 的 分 数 文献［ 阶混沌系统可以用下面分数阶微分方程组表示：
作者简介： 徐强（ 1975-） ， 男， 江苏常州人， 讲师， 主要研究方向为混沌与保密通信 、 嵌入式系统设计（ xuqiang@ czu． cn ） ； 包 伯 成 （ 1965-） ， 男， 江 苏常州人， 研究员， 博士， 主要研究方向为非线性电路与系统； 胡文（ 1979 -） ， 男， 江西南昌人， 讲师， 博士， 主要研究方向为混 沌 雷 达 、 信 号 处 理； 杨 晓 云（ 1970-） ， 女， 江苏常州人， 实验师， 主要研究方向为嵌入式系统设计 ．
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２ ０ １ ３年 ２月
一
个分 数 阶混沌 系统 的分析及 电路设计
贾红艳
（ 天津科技大学 电子信息与 自 动化学 院 ，天津 ３ ：基 于一 个整 数 阶 的 四 翼 混 沌 系统 ， 采 用 频 域 近 似 的 方 法研 究 它 的 分数 阶 方程 ， 发 现 了该 分数 阶 系统 的 混 沌 吸
１ 分数 阶三维 四翼混沌 吸引子
１ ． １ 三维 四翼 混沌 吸 引子 最近 ， Ｃ ｈ ｅ ｎ等【 ｌ ］ 提 出 了 一 个 三 维 四翼 混 沌 系
说明混沌吸引子 的存在 ， 而对进一步说明分数阶混沌 系统 的演化 过程 的分形 分析 、 从 物理 意 义上 验证 混沌
ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒｅ ｆ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ． Ｍｏ ｒ ｅ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｉｓ ｒ ｔ ｉ ｃ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｓ ｕｄ ｔ ｙ ｉ ｎ ｇ ｉ ｔ ｓ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｎｏ ｔ
Ｊ Ｉ Ａ Ｈｏ ｎｇ ｙ ａ ｎ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ａ ｕ ｔ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ ２ ２ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
研究 引起 了越来越多 的关注．目前 ， 在 已有的整数阶 混沌系统基础上 ， 通过将整数阶的常微分方程组转换 为分数 阶次 的常微分方程组 ， 研究其混沌动态 ， 已经 成为分数阶混沌的一个研究热点问题Ｉ 引 ． 但 目前对
分 数 阶 混 沌 系统 的分 析 多 数是 从 吸 引子 相 轨 迹 方 面
１ ９ ９ ５年 ， Ｈ ａ ｒ ｔ ｌ ｅ ｙ研究 了分 数 阶 Ｃ ｈ ｕ ａ系统 ， 在 其 中发现 了混 沌 吸 引子 Ｉ １ Ｊ ． 随后 在 分数 阶 的 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系 统 中也 发 现 了混 沌 现 象 【 ２ Ｊ ． 进 而关 于分 数 阶混 沌 的
数 变 化 的分形 分 析 和 电路 设计 ３个方 面说 明 了该 分 数 阶系统 的混 沌特 性 ， 为分 数 阶混沌 系统 的应 用提 供 了技术 支 持 ．
中图分类号 ：Ｔ Ｐ １ ３ 文献标 志码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ２ ． ６ ５ １ ０（ ２ ０ １ ３ ） ０ １ ． ０ ０ ５ ５ ． ０ ４
Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ａ ｎ ｄ Ｃｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ Ｄｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｆ ｏ ｒ ａ Ｆｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ
ｏ ｎ ｌ ｙ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ ｔ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ， ｂ ｕ ｔ ａ ｌ ｓ ｏ ｐ ｅ ｉ ｒ ｏ ｄ ｉ ｃ ｏ ｒ ｂ ｉ ｔ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ． Ａｔ ｌ ａ ｓ ｔ ， ａ ｎ ａ ｎ ａ ｌ ｏ ｇ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｗａ ｓ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｅ ｄ ｔ ｏ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｔ ｒ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ；ｂ ｉ ｉ ｆ ｘ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ；ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ
引子． 通过 对 它的 分形分析 ， 观 察到较丰 富的动力 学特 性 ， 即不仅 可 以观察到 混沌吸 引子 ， 而且也 能观 察到不 同周期
的周期轨 ． 最后 ， 设计一个模拟 电路 实现 了这一分数 阶 系统， 为该分数 阶混沌的应用提供 技术上的支持．
关键词 ：分数 阶混沌 系统 ；分形分析 ；电路设计
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ￣ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｆ ｏ ｕ ｒ — ｗｉ ｎ ｇ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗａ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ａ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ Ｒ ｒ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｗａ ｓ ｆ ｏ ｕ ｎ ｄ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ
特性 的分数 阶混 沌 系统 的 电路实 现却 涉及 很 少 ， 这从
统， 该 系统具有非 常丰富 的动态 特性 ， 通过仿 真分
析， 不 仅 能观 察 到 四翼 混 沌 吸引 子 ， 而 且也 能 观察 到 三翼 混 沌 吸 引 子 以及 不 同周 期 和 吸引 子 形状 的周 期
第２ ８卷
第１ 期
天 津科 技大学学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
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