轴对称问题练习题

一．选择题（共12小题）
1．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．3B．10C．9 D．9
2．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B． C．5 D．
3．如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．
4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）
A．（0，）B．（0，）C．（0，2） D．（0，）
5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．8 B．8 C．2D．10
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P 到E、C两点的距离之和的最小值为（）A． B．C．D．
7．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．D．2 8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE 交AD于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC 于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
11．若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（）
A．1 B．2 C．﹣ D．﹣
12．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）
A．﹣13 B．12 C．14 D．15
13．如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是．
14．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在C'处，BC′交AD于点E．若AB=4cm，AD=8cm，则△BDE的面积等于．
15．若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．16．已知方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，则2m+4n﹣n2的值为．
19．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC
于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=，DB=2，求BE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）
A．3B．10C．9 D．9
【解答】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．
∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，
∴BE==3．
故选A．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）
A． B． C．5 D．
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
=S矩形ABCD，
∵S
△PAB
∴AB•h=AB•AD，
∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE===，
即PA+PB的最小值为．
故选D．
3．如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）
A．2 B．2 C．4 D．
【解答】解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，
则D′E=PE+PD的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵AD=4，∠DAC=30°，
∵DD′⊥AC，
∴∠CDD′=30°，
∴∠ADD′=60°，
∴DD′=4，
∴D′E=2，
故选B．
4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）
A．（0，）B．（0，）C．（0，2） D．（0，）
【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，
则此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐标为（﹣4，5），
∴A′（4，5），B（﹣4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线DA′的解析式为y=x+，
当x=0时，y=，
∴E（0，），
故选B．
5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）
A．8 B．8 C．2D．10
【解答】解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC=8，CM=6
根据勾股定理得：BM==10，
即DN+MN的最小值是10；
故选D．
6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P 到E、C两点的距离之和的最小值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．
∵∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴AE==．
故选C．
7．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）
A．B．2 C．D．2
【解答】解：连接BP．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE．
∴由两点之间线段最短可知当点P为点P′处时，PD+PE有最小值，最小值=BE．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
∴PD+PE的最小值为2．
故选：D．
8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE 交AD于点F，则DF的长等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF=DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，
则FD=6﹣x=．
故选：B．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC 于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴AO=CO=5cm，
在直角三角形ADO中，DO==3cm，
AB=CD=DO+CO=3+5=8cm．
故选：C．
10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴k≥0，且△＞0，即（2）2﹣4×1×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1．
∴k的取值范围是k≥0．
故选A．
11．若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（）
A．1 B．2 C．﹣ D．﹣
【解答】解：依题意得：x1+x2=3，x1•x2=﹣4，
所以+===﹣．
故选：C．
12．若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）
A．﹣13 B．12 C．14 D．15
【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根，
∴2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，
∴α+β=，αβ=﹣，
∴2α2+3αβ+5β=5×+3×（﹣）+1=12．
故选B．
二．填空题（共4小题）
13．如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是10．
【解答】解：如图：
作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，连接AC交BD于O．
则E′F就是HE+HF的最小值，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴E′F AB，
而由已知△AOB中可得AB====10，
故HE+HF的最小值为10．
故答案为：10．
14．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在C'处，BC′交AD于点E．若AB=4cm，AD=8cm，则△BDE的面积等于10cm2．
【解答】解：设AE=x，则BE=DE=8﹣x，
在直角△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即42+x2=（8﹣x）2，
解得：x=3，
则AE=3cm，DE=8﹣3=5cm，
=AB•DE=×4×（8﹣3）=10cm2．
则S
△BDE
故答案为10cm2
15．若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是﹣3．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，
∴x12﹣2x1=5，x1+x2=2，
∴x12﹣3x1﹣x2﹣6=（x12﹣2x1）﹣（x1+x2）﹣6=5﹣2﹣6=﹣3．
故答案为：﹣3．
16．已知方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，则2m+4n﹣n2的值为﹣1．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，
∴m+n=2，n2﹣2n﹣5=0，即n2﹣2n=5，
则2m+4n﹣n2=2m+2n﹣（n2﹣2n）
=2（m+n）﹣（n2﹣2n）
=2×2﹣5
=﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题（共3小题）
17．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠B．求证：△ABC是直角三角形．
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠BAD+∠B=90°
∵∠1=∠B
∴∠1+∠BAD=∠BAC=90°
∴△ABC是直角三角形．
18．如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°．（1）求∠B的度数．
（2）求∠C的度数．
【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又∵∠ADC=80°，∠B=∠BAD，
∴∠B=∠ADC=×80°=40°；
（2）在△ABC 中，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°．
19．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC 于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=，DB=2，求BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°
∵由翻折的性质可知∠F=∠A，BF=AB，
∴BF=DC，∠F=∠C．
在△DCE与△BEF中，
∴△DCE≌△BFE．
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==3．
∵△DCE≌△BFE，
∴BE=DE．
设BE=DE=x，则EC=3﹣x．
在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，即（3﹣x）2+（）2=x2．
解得：x=2．
∴BE=2．。