《平行四边形的判定》典型例题

《平行四边形的判定》典型例题

例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形．

例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由．

例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD.

例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G.

求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案

例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等．

事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到

，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED 是平行四边形．

证明，∴，

且，∴，∴

又，同理．∴AFED是平行四边形．

例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形．

证明是平行四边形，∴

又，∴，且

∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴

又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴

在四边形GEHF中，，

∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分．

说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别．

例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。

而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

因此四边形的面积等于9个小平行四边形的面积，所以平行四边形ABCD的面积为。

说明: 通过本题可知：由分别是5等分点，则可知，四边

形是平行四边形，并且的面积是平行四边形ABCD面积的。

例4证明：∵，

∴四边形AECF是平行四边形.

∴

∵，

∴

∵，

∴四边形BFDE是平行四边形.

∴.

∵，

∴四边形GFHE是平行四边形.

∴.

说明：本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形GFHE 是平行四边形.

例5

证法1 ∵，，

∴

∴

∵，

∴

在和中，

∵，

∴，

∴

∵，

∴

∴四边形ABCD是平行四边形.

证法2设AC与BD交点为O.

∵，

∴

∴

在和中，

，，，∴.

∴.

在和中，

∵，∴

∴，

即

∵，

∴四边形ABCD是平行四边形.

说明由垂直得到平行是关键