直线关于直线对称
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
湖南省 黄爱民
对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法）
在1l 上任取点))(,(2//l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则
?????-+=++-=????
????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以
015
3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法2：（到角公式法）
解方程组???==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，
则
7
131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为),(//y x Q ，则?????==????
????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法4：（两点对称法）
对解法3，在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为Q )57,54(，在1l 上取点M （0，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)5
1,512(
N 而N ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法5：（角平分线法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)，设所求直线l 的方程为：设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ,即0=--k y kx .由题意知，2l 为1,l l 的角平分线，在2l 上取点P （0，-3），则点P 到1,l l 的距离相等，由点到直线距离公式，有：
1711|30|2|130|2
-==?+-+=--或k k k k
1-=k 时为直线1l ，故7
1=k 。所以直线l 的方程是017=--y x 解法6（公式法）
给出一个重要定理：曲线（或直线 ）0),(:=y x F C 关于直线
0),(:=++=C By Ax y x f l 的对称曲线/C （或直线 ）的方程为
)1.........(0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B
A B y y x f B A A x F 。 证：设),(y x M 是曲线/C 上的任意一点),(y x M ，它关于l 的对称点为
),(///y x M ，则C M ∈/于是)2........(0),(//=y x F 。∵M 与M /关于直线l 对称，
∴)3..(..........),(2),(20220)()(22/22/////??
???+-=+-=??????=++?++?=---y x f B A B y y y x f B A A x x C y y B x x A y y A x x B ,（3）代入（2），得0)],(2),,(2[2222=+-+-
y x f B
A B y y x f B A A x F ，此即为曲线/C 的方程。 解析：定理知，直线01),(:1=-+=y x y x F l 关于直线033),(:2=--=y x y x f l 的对称曲线l 的方程为：
017,05
1575101)5
35453(5953540)535453,595354(0)]33(5
1),33(53[0)],(13)1(2),,(1332[2222=--=++-?=--++++-?=-+++-?=--+---?=+-?-+?-y x 即y x y x y x y x y x F y x y y x x F y x f y y x f x F 所以直线l 的方程是017=--y x 。