浅谈伸缩变换在椭圆问题求解中的应用
伸缩变换--兼谈化椭圆为圆问题
伸缩变换--兼谈化椭圆为圆问题
侯宝坤
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2004(000)004
【摘要】我们在研究三角函数图象关系时，用到了伸缩变换．比如由y=sinx得到y=2sinx时，可以将y=sinx上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍；要得到y=sin2x时，则可以将y=sinx图象上所有点纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2．这种变换方法就是伸缩变换．
【总页数】3页(P31-33)
【作者】侯宝坤
【作者单位】江苏省建湖高级中学 224700
【正文语种】中文
【中图分类】O63
【相关文献】
1.巧用伸缩变换妙解椭圆问题 [J], 程涛;刘少平;邹鹏
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.巧用伸缩变换妙解椭圆问题 [J], 程涛;刘少平;邹鹏
4.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
5.例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用” [J], 陈启南
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巧用伸缩变换解决椭圆问题
伸缩变换 椭圆变圆
伸缩变换椭圆变圆
朱东海
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2011(000)011
【摘要】在高中数学选修4-4中,我们学习了直角坐标系下的伸缩变换,在伸缩变换下,椭圆可以变成圆,直线还是变成直线,点还是变成点,特别是线段的中点还是变成线段的中点.所以,有关椭圆与直线的交点问题（交点个数、切线和弦中点）可以通过伸缩变换化为圆的相应问题来处理.由于在伸缩变换下线段的长度,角的大小均会发生改变,所以这两类问题不宜化为圆的相应问题来处理.
【总页数】2页(P18-19)
【作者】朱东海
【作者单位】云南省蒙自市蒙自高级中学,661100
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
2.巧用伸缩变换妙解椭圆试题 [J], 罗文军; 刘娟娟
3.利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题 [J], 李宁;唐盛彪
4.巧用伸缩变换妙解椭圆试题 [J], 罗文军;刘娟娟
5.利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题 [J], 李宁;唐盛彪
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高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
龙源期刊网
利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题
２
４
３
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 ３ 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
１. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ４ ２ ＝ ０ 与椭圆 Ｃ:
在过点 Ｐ(２ꎬ１) 的直线 ｌꎬｌ 与椭圆 Ｃ 交于不同两点 ＡꎬＢꎬ
满足 ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ ２ ? 若存在ꎬ求出直线 ｌ 的方程ꎻ
例 １ 已知椭圆 Ｅ:
２
ｘ
＋ ｙ２ ＝ １ꎬ设不过原点 Ｏ 且斜率
４
１
为 的直线 ｌ 与椭圆 Ｅ 交于不同的两点 ＡꎬＢꎬ线段 ＡＢ 的
２
中 点 为 Ｍꎬ 直 线 ＯＭ 与 椭 圆 Ｅ 交 于 Ｃꎬ Ｄꎬ 证 明:
｜ ＭＡ ｜ ｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ＭＣ ｜ ｜ ＭＤ ｜ .
Ｘ ＝ ｘꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 Ｃ′与 Ｘ 轴 的 另 一 交 点 为 Ｂ′ꎬ 由 于 ∠Ｂ′ Ｏ′ － ４ｋ ｜
４ｋ２ ＋ ３
１
ꎬ方程为
２
∠Ｂ′Ｑ′Ｒ′ ＝ ９０°ꎬ从而 Ｂ′ꎬＯ′ꎬＱ′ꎬＲ′四点共圆. 由圆幂定
ｙ＝
２ ｜ Ｏ′Ｐ′ ｜ ２ ꎬ其中 Ｒ 为圆 Ｃ′半径.
线与椭圆相切时的 ｜ ＰＴ ｜ ２ 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[１] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ Ｊ] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ２０１８(１１) :１２ － １３ꎬ５６.
[ 责任编辑:李 璟]
１
１
１
１
１
ｋ ｋ ＝ － . 又 ｋ ＡＢ ＝ ꎬ则 ｋ ＯＭ ＝ ｋ ＣＤ ＝ － .
伸缩变换在椭圆中的应用
专题：伸缩变换在椭圆中的应用概述：伸缩变换是人教版选修44-中《坐标系和参数方程》中的内容．而在教材选修21/11--《圆锥曲线》 中，我们就知道椭圆在伸缩变换中可以变成圆，反之亦成立．因圆具有椭圆不能与之堪比的完美对称性，从而利用几何思路解答圆类问题相比利用代数解析思路解答椭圆问题，可以达到更为简洁快捷的效果． 定义：设(,)P x y 在平面直角坐标系中的任意点，在伸缩变换ψ：______x y '=⎧⎪⎨⎪'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''，具有如下一些基本性质：（1）点与线、线与线的______关系不变；（2）同一直线上两线段的______之比不变；（3）直线斜率k 为变换后的直线斜率k '的______倍，即_____k =；（4）封闭图形面积S 为变换后图形面积S '的______倍，即______S =．例1 （2016年成都毕业班摸底第20题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>焦距为2，点2Q 在直线:2l x =上，O 为坐标原点．（1）求C 的标准方程；（2）若P 为点直线l 上一动点，过点P 作直线0l 切椭圆C 于点A ，求AOP ∆面积S 的最小值．例2 （2015年全国卷Ⅱ第20题）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>，直线l 不过原点且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率乘积为一定值；（2）若l 过点Q (,)3m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时l 的斜率．1.（2014年全国卷Ⅰ第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.2 .已知圆2F ：22(16x y +=，动圆M 过定点1(F 且和圆2F 相切，（1）求M 的轨迹Γ的方程；（2）过(1,0)E 做Γ的两条相交弦AC 、BD ，若12AC BD k k ⋅=-，求四边形ABCD 面积S 的最大值．。
伸缩变换下的椭圆
A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
椭圆问题使用伸缩变换的条件
关，则可使用伸缩变换解题；否则，就不能使用．
例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学（230601）
三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题， 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件，没有避开命题设计的“陷阱”，加上三角函数 中常用的同角的平方关系，倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题，稍不注意最后就会导致出 现错解或增解，下面例析之．
之比”有关．所以，可以使用伸缩变换解题．
解 假设存在平行四边形 OPRQ（如图 2），椭圆
40
福建中学数学
2014 年第 10 期
C
:
x2 2
+
y2
= 1 经伸缩变换 T
=
⎛1 ⎜⎜⎝ 0
0⎞ 2 ⎟⎟⎠ 的作用后，变为
圆 C′ : x′2 + y′2 = 2 ．
根据伸缩变换性质可知：直线 l : y = kx + m 将变
可以使用伸缩变换．事实上，只有一小部分的题目
适用．那么，我们如何在“审题”之时，就知道伸缩变
换是否适用该题？
为此，我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”：
①什么是伸缩变换；
②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换；
③伸缩变换具有哪些性质；
④伸缩变换的使用条件．
1 什么是伸缩变换
1.1 定义
线性变换 f 将 R2 空间上的向量沿 x 轴拉伸(或
分析 本题的条件“ | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差 数列”，其中线段 AF2 ， AB ， BF2 不共线、不平行， 所以，无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题．
通过上述的例题和伸缩变换的性质可知：若题
目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线（平
巧用伸缩变换解答椭圆问题
=4探索探索与与研研究究所以△O'M'F'∽△O'D'M',∠O'D'M'=∠O'M'F'，同理可得△O'N'F'∽△O'D'N',∠O'D'N'=∠O'N'F',故O'D'可平分∠M ′D ′N ′，即D ′M ′，D ′N 关于x 轴对称.解答本题，需对椭圆作伸缩变换，将问题转化为圆的问题，根据圆的等角定理和全等三角形的性质进行求解，即可快速求得问题的答案.利用我们熟悉的圆的几何性质进行求解，能大大简化计算.例3.已知椭圆E :x 22+y 2=1，O 为坐标原点，直线l 与E 交于A 、C 两点，以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC ，点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.图5解：作伸缩变换：ìíîx ′=x,y ′=2y,椭圆x 22+y 2=1变换为圆：x ′2+y ′2=2，如图5、6.由伸缩变换图形的性质可知，O'A'B'C'仍为平行四边形，但此时OA =OC ，则O'A'B'C'为菱形，所以S △ABC =2S O'A'B'C'，显然△O′A ′B ′是正三角形，则S O'A'B'C'=2S △O ′A ′B ′=2)2=3，故S △ABC =12S O'A'B'C'作伸缩变换，可将椭圆化为圆，但平行四边形仍为平行四边形.而平行四边形O'A'B'C'的邻边为圆的半径，即可判定O'A'B'C'为菱形，进而根据菱形的对称性以及三角形的面积公式，求得平行四边形OABC 的面积.例4.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，P 、Q 是椭圆C 上的两点，且直线OP 与OQ 的斜率之积为-34（O 为坐标原点），点D 为射线OP 上一点，且 OP =PD ，若直线DQ 与椭圆C交于点E ，设 QC =λED (λ>0).求λ的值以及求四边形OPEQ 的面积.图7解：作伸缩变换：ìíîïïx ′=x,y ′=23y,椭圆x 242+y 232=1变换为圆：x ′2+y ′2=4，如图7、8，因为k OP ·k OQ =-34，由伸缩变换图形的性质得k O ′P ′·k O ′Q ′=-1，得O'P'⊥O'Q'，由伸缩变换图形的性质可知，P'仍为O'D'的中点，延长D'O'交圆O'于G'，连接G'O'，P'E'，如图8，D'图8由圆的割线定理可得D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，即D'E'=35D'Q'，而 QE =23 ED ，则λ=23，所以S O'P'E'Q'=S△D'O'Q'-S △D'P'E'=710S △P'O'Q ′=710×12×4×2=145，故S OPEQ O'P'E'Q'=735.作伸缩变换后，由k OP ·k OQ =-b 2a2可得OP ⊥OQ ，即可根据三角形的面积公式求得S △D'O'Q'.由圆的割线定理，可得出D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，从而求得λ的值.通过伸缩变换，将椭圆化为圆，就能将复杂的椭圆问题转化为简单的圆的问题.这也说明了数学知识之间是有联系的，并不是孤立的.在解题时，同学们要善于把握问题的本质，将所学的知识融会贯通起来，进行合理的转化.这样就能有效地避免繁琐的计算，达到事半功倍的效果.（作者单位:江苏省扬中高级中学）探索探索与与研研究究51。
例谈伸缩变换在解高考题中的应用
16中学数学研究2020年第5期(上)例谈伸缩变换在解高考题中的应用广东省佛山市高明区教师发展中心(528500)张文玲一、定义引出在高中数学选修4-4第一讲中,有如下定义:设点P (x,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: x ′=λx (λ>0)y ′=µy (µ>0)的作用下,点P (x,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.在它的作用下,可以实现平面图形的伸缩.对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),在变换φ:x ′=xy ′=my(简言之,横坐标不变,纵坐标拉伸,m 称为伸缩率)的作用下,变为圆x ′2+y ′2=a 2,其中m =ab[1].在此变换下,原来直角坐标系xOy 中的点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)对应变为直角坐标系x ′O ′y ′中的点A ′(x 1′,y 1′),B ′(x 2′,y 2′),C ′(x 3′,y 3′),且有如下结论:1⃝若点A,B,C 三点共线,则点A ′,B ′,C ′三点也共线[1].2⃝若A,B,C 三点共线且|AB |=λ|BC |(λ>0),则变换之后|A ′B ′|=λ|B ′C ′|(λ>0).故若点B 为线段AC 的中点,则点B ′为线段A ′C ′的中点[1].3⃝若直线AB 的斜率为k ,则直线A ′B ′的斜率为mk [1].故两条平行直线经变换后仍然平行.4⃝两封闭图形的面积之比在变换前后不变.在圆中有很多优美的性质,将椭圆伸缩变换为圆之后,就可以利用圆的性质来解决一些问题,简化了计算,使学生不再“望椭圆而生畏”.下面从圆的四个常见性质出发来解决一些涉及到椭圆的高考题目.二、应用举例(一)直径所对的圆周角是直角例1(2019年高考全国Ⅱ卷理科第21题)已知点A (−2,0),B (2,0),动点M (x,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .25.Jason rolls three fair standard six-sided dice.Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly emp-ty,possibly all three dice)to reroll.After rerolling,he wins if and only if the sum of the numbers faces up on the three dice is exactly 7.Jason always plays to optimize his chances of winning.What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?A.736B.524C.29D.1772E.14译文詹森掷3颗标准、均匀的骰子,他看了结果之后会选择若干(可能是0,也可能是3)颗重掷.当3颗骰子正面朝上的数字和为7点的时候,他就赢了.詹森总是按照朝着他赢的最优策略去掷.问他刚好选择2颗骰子重掷的概率是多少?解掷1颗骰子得1,2,3,4,5,6点的概率均为16;掷2颗骰子得3点只有两种情况:12和21,概率为236,···;掷3颗骰子得7点有15种情况:115,151,511,124,142,214,241,412,421,133,313,331,223,232,322,概率为15216,···.经过计算,所有结果如下表所示:分类/概率/结果1234567掷1颗161616161616掷2颗136236336436536掷3颗1216321632161021615216因此,詹森要选择2颗骰子重掷,则上次掷的结果中,任意两颗骰子的数字和不能小于7点,否则他将选择重掷1颗骰子;且不能3颗骰子都是4点或者以上,要不然他将选择重掷3颗骰子.根据以上分析,满足条件的情况有:(1)掷出1点、6点、6点,3种情况;(2)掷出2点、5点、5点,3种情况;(3)掷出2点、5点、6点,6种情况;(4)掷出2点、6点、6点,3种情况;(5)掷出3点、4点、4点,3种情况;(6)掷出3点、4点、5点,6种情况;(7)掷出3点、4点、6点,6种情况;(8)掷出3点、5点、5点,3种情况;(9)掷出3点、5点、6点,6种情况;(10)掷出3点、6点、6点,3种情况.由加法原理,共42种情况,故所求概率为42216=736,(A)正确.2020年第5期(上)中学数学研究17(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P,Q 两点,点P 在第一象限,P E ⊥x 轴,垂足为E ,连结QE 并延长交C 于点G .(ⅰ)证明:∆P QG 是直角三角形;(ⅱ)求∆P QG 面积的最大值.解析第(1)问和第(2)问的第(ⅱ)小题略,下面考虑第(2)问的第(ⅰ)小题.对椭圆x 24+y22=1实施变换φ:x ′=xy ′=√2y 得到圆x ′2+y ′2=4,如图1.设点P (x 0,y 0),G (x G ,y G ),则Q (−x 0,−y 0),E (x 0,0).设直线P Q 的斜率为k (k >0),则直线QE 的斜率为k2.P,G,Q,E 分别对应变为P ′,G ′,Q ′,E ′.所以变换后直线P ′Q ′的斜率为√2k ,直线Q ′E ′的斜率为√22k .因为P ′Q ′为直径,所以P ′G ′⊥Q ′G ′,所以直线P ′G ′的斜率为−1√22k =−√2k ,所以直线P G 的斜率为−1k.因为k ·(−1k )=−1,所以P Q ⊥P G ,∆P QG是直角图1三角形.例2(2019年高考天津卷理科第18题)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为√55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线P B 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若|ON |=|OF |(O 为原点),且OP ⊥MN ,求直线P B 的斜率.解析第(1)问略,下面考虑第(2)问.对椭圆x25+y 24=1实施变换φ: x ′=xy ′=√52y 得到圆x ′2+y ′2=5,如图 2.则B (0,2)实施变换后变为B ′(0,√5).图2同理,N (0,−1)变为N ′(0,−√52),椭圆的下顶点D (0,−2)变为D ′(0,−√5).设直线P B 的方程为y =kx +2(k =0),则可求得M (−2k ,0),实施变换后变为M ′(−2k ,0).所以直线P ′B ′的方程为y ′=√52kx ′+√5.因为P ′B ′⊥P ′D ′,所以k P ′D ′=−2√5k ,直线P ′D ′的方程为y ′=−2√5k x ′−√5.联立y ′=√52kx ′+√5,y ′=−2√5k x ′−√5,可得P ′(−20k4+5k 2,√5(4−5k 2)4+5k 2),所以k O ′P ′=√5(4−5k 2)−20k .因为M (−2k ,0),N (0,−1),所以k MN =1−2k=−k 2.由题意得OP ⊥MN ,所以k OP =2k .所以k O ′P ′=√5k ,所以k O ′P ′=√5(4−5k 2)−20k =√5k ,所以k =±2√305,即直线P B 的斜率为±2√305.(二)的圆周角所对的弦为直径例3(2019年高考北京卷文科第19题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为原点,直线l :y =kx +t (t =±1)与椭圆C 交于两个不同点P,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点.解析第(1)问略,下面考虑第(2)问.对椭圆x 22+y 2=1实施变换φ:x ′=xy ′=√2y 得到圆x ′2+y ′2=2,如图3.则A (0,1)实施变换后变为A ′(0,√2),直线l :y =kx +t (t =±1)实施变换后变为l ′:y ′=√2kx ′+t ′(t ′=±√2).M,N,P,Q 分别对应变为M ′,N ′,P ′,Q ′.因为M,N 两点均在x 轴上,所以实施变换后两点的坐标均保持不变.所以|O ′M ′|·|O ′N ′|=|OM |·|ON |=2=|O ′A ′|2且O ′A ′⊥M ′N ′,所以∠M ′A ′N ′=90◦即∠Q ′A ′P′=90◦,所以P ′Q′图3为圆x ′2+y ′2=2的直径,直线l ′过原点O ′,因此直线l 也过原点O ,即直线l 经过定点(0,0).(三)割线定理例4(2018年高考天津卷文科第19题)设椭圆18中学数学研究2020年第5期(上)C :x 2a 2+y 2b 2=1的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为√53,|AB |=√13.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l :y =kx (k <0)与椭圆交于P,Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P,M 均在第四象限.若∆BP M 的面积是∆BP Q 面积的2倍,求k 的值.解析第(1)问略,下面考虑第(2)问.对椭圆x 29+y 24=1实施变换φ:x ′=xy ′=32y得到圆x ′2+y′2=9,图4如图 4.则直线l :y =kx (k <0)变换为l ′:y ′=32kx ′(k <0),P,Q,A,B,M 分别对应变为P ′,Q ′,A ′,B ′,M ′.因为A (3,0),B (0,2),所以A ′(3,0),B ′(0,3),|A ′B ′|=3√2.因为S ∆BP M=2S ∆BP Q ,所以S ∆B ′P ′M ′=2S ∆B ′P ′Q ′,|P ′M ′|=2|P ′Q ′|=2×2×3=12,|M ′Q ′|=|P ′Q ′|+|P ′M ′|=6+12=18.因为M ′是圆x ′2+y ′2=9外一点,所以|M ′A ′|·|M ′B ′|=|M ′P ′|·|M ′Q ′|=12×18=216,|M ′A ′|·(|M ′A ′|+3√2)=216,|M ′A ′|=9√2.因为直线A ′B ′的方程为y ′=−x ′+3且M ′点在直线A ′B ′上,M ′点在第四象限,所以k O ′M ′=−912=−34=32k ,所以k =−12.(四)相交弦定理例5(2019年高考全国Ⅰ卷理科第10题)已知椭圆C 的焦点为F 1(−1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为().A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1解析设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),如图5.由椭圆定义得:|BF 1|+|BF 2|=2a =|AF 2|+|AF 1|,因为|AF 2|=2|BF 2|,所以|BF 1|+|BF 2|=2|BF 2|+|AF 1|,|BF 1|=|BF 2|+|AF 1|.又因为|AB |=|AF 2|+|BF 2|=|BF 1|,所以|AF 1|=|AF 2|,A 为椭圆的上顶点或下顶点,不妨取上顶点A (0,b ).图5图6对椭圆C 实施变换φ:x ′=xy ′=a by(a >b >0)得到圆x ′2+y ′2=a 2,如图6.A (0,b ),B 分别对应变为A ′(0,a ),B ′.因为F 1,F 2均在x 轴上,所以实施变换后F 1,F 2坐标保持不变,即F 1(−1,0),F 2(1,0),|A ′F 2|2=|A ′O ′|2+|O ′F 2|2=a 2+1.设|B ′F 2|=x ,则|A ′F 2|=2|B ′F 2|=2x ,所以|A ′F 2|2=4x 2=a 2+1.又因为 B ′F 2 · A ′F 2=(a −1)·(a +1)=a 2−1=x ·2x =2x 2,所以4x 2=2(a 2−1),a 2+1=2(a 2−1)=2a 2−2,a 2=3,b 2=a 2−1=3−1=2,故椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.例6(2018年高考浙江卷第17题)已知点P (0,1),椭圆x 24+y 2=m (m >1)上两点A,B 满足−→AP =2−−→P B ,则当m =时,点B 横坐标的绝对值最大.解析对椭圆x 24m +y 2m =1(m >1)实施变换φ:x ′=xy ′=2y得到圆x ′2+y ′2=4m (m >1),如图7.A,B,P (0,1)分别对应变为A ′,B ′,P ′(0,2),所以|B ′P ′|·|A ′P ′|=(2√m −2)·(2√m +2)=4m −4,|B ′P ′|2=2m −2.设B ′(x 0,y 0),则|B ′P ′|2=x 02+(y 0−2)2=2m −2.因图7为B ′点在x ′2+y ′2=4m (m >1)上,所以x 02+y 02=4m .联立 x 20+y 20=4mx 20+(y 0−2)2=2m −2可得y 0=m +32,所以x 02=4m −y 02=−(m −1)(m −9)4,因此当m =5时,x 02取得最大值,即|x 0|取得最大值.参考文献[1]乐京科.让椭圆“圆”形毕露—–一类以椭圆为背景的高考题解法探究[J].数学通报,2011(12):15-18.。
由一道椭圆题谈利用伸缩变换简解解析几何题
由一道椭圆题谈利用伸缩变换简解解析几何题
刘海涛;丁淑英
【期刊名称】《中学数学研究(华南师范大学):上半月》
【年(卷),期】2022()1
【摘要】文章从一道椭圆内伸缩三角形面积问题谈起,结合三角形坐标形式的面积公式,延伸出三角形面积的伸缩关系式,并通过四道例题体现伸缩变换在解析几何中的巧妙应用.
【总页数】4页(P20-23)
【作者】刘海涛;丁淑英
【作者单位】安徽省芜湖市第一中学;安徽省安庆市怀宁县茶岭镇中心学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
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用 了转化 与 化 归 的思 想 ，利 用伸缩 变换 ，将椭 圆问
题 转化 为 圆的相关 问题求 解 ．
Ａ＋ ＋ ｘ Ｃ＝０（ Ａ、Ｂ不全 为 ０ 的公共 点 的个 数 ． ） 课
本 上给 出了两 种解 法 ．解 法一 主 要是 利 用 了方程 的
思 想 ， 直线 与椭 圆方程 联立 消去 Ｘ或 Ｙ转 化为一 元 将
决实 际 问题 的实 践永远 没有 完结 ． 总之 ，在 进 行研 究 性教 学 时 ，一 定要 为这 节课
设抛 物线解析 式为 ＝ａ ３ ｘ ＋ ０，
抛物线过（５０ ，． 一 ， ２， ） ・ ． ＝
‘
・ ・ ・
应 采用 一
＋ ０的抛物线 桥拱 ・ ３
设 计 思路 ：前 面 几位 同学均 采 用 了单拱 拱桥 ，
疗
（ ）两条 平行直 线 仍变 为平 行直 线 ． ３ （ ）两条相 交 （ 切 ，相 离 ） 曲线仍 变 为相 交 ４ 相
（ 切 ，相 离 ） 曲线 ．如 ：直 线 与 曲线 相 切 变换 后 相 仍相 切 ．
．
对 于性 质 １与性 质 ２ ，容易 证 明其成 立 ． ’ ’
浅谈伸缩变换在椭圆 问题 求解 中的应用
林志展 福建省 漳州 第一 中学 （６００ ３３０ ）
二次 方程 ， 用判别 式 △进行 判 断 ． 利 解法二主 要是应
在 数学选 修 ２１（ — 湘教 版 ）课本 的第 ８ ２页 中有 这 么 一 道 例 题 ： 讨 论 椭 圆 ＋ ＝ｌ与 直 线
ｌ
＝ 一
．
．
大、 抛物 线 的解析 式分别 为 ＝ 小 一１ Biblioteka ． ＋ ０， ３
５ ｘ ＋ ０的抛 物线桥 拱 ． ０２ ５
ｖ： 一二 ＋５ ０ ２ ５
学 生 Ｇ：
设计 思路 ：直接 用 抛物 线 拱桥 作 路面 不牢 固 ， 为此 加 设 了一座 小 抛物 线 拱桥 作架 构 ，支 起大 抛物
从 上面 可 以看 出 ，利 用变 换 可 以化 繁 为 筒 ，达 到 事 半 功 倍 的作 用 ．另 一 方 面 ，也 可 以利 用 伸缩 变
换 ，把 圆的某 些性 质推 广至椭 圆 ． 又 如在 圆中有 如下 两个 成立 的性 质 ： 性 质 ３ 圆 ＋ ＝１ Ｙ 的外切 ， 形 面积 最小 值 ｚ 边 是 ， ａ ． ｚｎ ｔ
３ ２
福建中学数学
２ １ 年第 ８ ００ 期
设 小抛物 线解 析式 为 ：ａ ５ ｘ ＋ ０，
矫面
设 大抛物 线解析 式 为 Ｙ＝ａ ０， ＇ ＋３ ｘ
・ ． ・
／ ２ ＼ ５ ｒ ａ＼ ＼
１ ｍ 口 Ｄ
大 、小抛 物线分 别过 （０ ０ ，（５ ０ ， ５ ，） ２ ， ）
２ ｍ ０
线 拱桥 ．
／ ／
Ｉ ． Ｉ ． ． １
・ ． ’
ｒ
在本节课结束前 ，再次布置一道有关本市的拱 桥 设计 问题 ． 现场 堪 测 杨桥 路 的有 关 路段 情 况 ，设计 几座 抛
物线 拱桥 ，以解 决杨 桥路 交通 拥 挤 问题 ． 布置 这道 题 的 目的在于 ，让 学 生体会 课 堂教 学 的延伸 ，４ ５分钟 的课是 上完 了 ，但 应 用数学姗 识解
分调动起来 ，发挥其个性特点 ．即遵循“ 实践－ 认识一 再 实践一 再认识 ” 的辨证 唯物主 义 的认识规 律 ． 忌某 切 固有模 式 ，搞 “ 刀切”满堂 灌” 一 “ ．
一
此外 ，课 后还 可布 置 学 生写 一份 调查 报 告 ，以 及个 人 的评 语 或学 习心得等 ．
有 ０ ｔ ５ ３ ＝ａｘ ０ ＋ ０， ０ × ５ ＋ ０ ＝口 ２ ５ ，
口 一 —
－ ． ．
’
＿
・
２ ２ ’ — ， ５
，
３ 一—５ ’ ２— Ｊ ０
设 计思 路 ：受福 州 解放 大 桥设 计 思路 的启 发 ，
・
采 用 抛 物 线 拱 架 构 来 支 起 桥 面 ， 仍 采 用
（ ）三 角形 变换 后仍 为三 角 形且变 换 前 后的两 ５
１
个 三角 形 的面积 之 比等于
ｍ ／ ７
． 由于任 意 一个 多边 又
形 可 以分 割 成若 干 个 三 角 形 ，所 以任 意 一 个 凸多边
形变 换 后 仍 为 凸 多边 形 ，且 变 换 前 后 的面 积 之 比等
作 精 心 的准 备 ， 同时 ，才教 学 过程 中 ，教 师应 善于
引导 学 生应 用 的数 学知 识 去探 索新 的问题 ，发 现新
因此 本人 标新 立 异采 用双 拱 拱桥 ，这 样 既美 观 ，有
解 决 了泄 洪 问题 ．
学 生 Ｈ：
的规 律 ．并善 于 活 跃课 堂气 氛 ，使 学 生 的思维 被充
其 实 解 法 二 中 式子
给 出 的变换 叫 做 平
面 上 的伸 缩变 换 ，它 是 高等 几何 中仿 射 变换 中 的特
２ １ 第 ８期 ０ ０年
福 建 中学数 学
３ ３
例 ，对 此 我们 必须 先认 清 该变换 的一些 基本 性质 ： （）点分 线段 的比是 不变量 ．如 ：线段 的 中点 １ 变 成对 应线 段 的 中点 ． （ ）若直 线 垂 直于 Ｘ ，则 变 换 后仍 垂 直于 ２ 轴 轴 ，否 则变 换将 直线 的斜 率变 换 为原 来 的 倍 ．
ｎ
性 质 １ ’
已 知 Ａ ～ 内 接 于 圆 Ｏ ＡＢＣ ：
＋ ＝１ 若 其重 心 Ｇ 与 圆心 Ｏ 重合 ， Ｙ ， 则 ～ ＢＣ
一
的面积是定值，此定值是｛ ３ √ ．
４
性质２ 圆ｘ ’ ＋Ｙ １ 内接 ，边 形 面积 最 大 ＝ 的 ？ 值 是 ｎ
于
ｍ ／ ７
．
性 质 ４ 过 圆 ０： Ｙ ：１ 的一点 Ｐ作 圆的切 Ｘ＋ 。 外
线 ，设切 点为 、 ，连接 Ｏ Ｐ交 Ａ Ｂ于 Ｍ ，交 圆 Ｄ
（）伸缩 变换 不 改变 曲线 的封 闭性 ． ６