浅谈伸缩变换在椭圆问题求解中的应用

浅谈伸缩变换在椭圆 问题 求解 中的应用
林志展 福建省 漳州 第一 中学 （６００ ３３０ ）
二次 方程 ， 用判别 式 △进行 判 断 ． 利 解法二主 要是应
在 数学选 修 ２１（ — 湘教 版 ）课本 的第 ８ ２页 中有 这 么 一 道 例 题 ： 讨 论 椭 圆 ＋ ＝ｌ与 直 线
疗
（ ）两条 平行直 线 仍变 为平 行直 线 ． ３ （ ）两条相 交 （ 切 ，相 离 ） 曲线仍 变 为相 交 ４ 相
（ 切 ，相 离 ） 曲线 ．如 ：直 线 与 曲线 相 切 变换 后 相 仍相 切 ．
．
对 于性 质 １与性 质 ２ ，容易 证 明其成 立 ． ’ ’
２ ｍ ０
线 拱桥 ．
／ ／
Ｉ ． Ｉ ． ． １
・ ． ’
ｒ
在本节课结束前 ，再次布置一道有关本市的拱 桥 设计 问题 ． 现场 堪 测 杨桥 路 的有 关 路段 情 况 ，设计 几座 抛
物线 拱桥 ，以解 决杨 桥路 交通 拥 挤 问题 ． 布置 这道 题 的 目的在于 ，让 学 生体会 课 堂教 学 的延伸 ，４ ５分钟 的课是 上完 了 ，但 应 用数学姗 识解
作 精 心 的准 备 ， 同时 ，才教 学 过程 中 ，教 师应 善于
引导 学 生应 用 的数 学知 识 去探 索新 的问题 ，发 现新
因此 本人 标新 立 异采 用双 拱 拱桥 ，这 样 既美 观 ，有
解 决 了泄 洪 问题 ．
学 生 Ｈ：
的规 律 ．并善 于 活 跃课 堂气 氛 ，使 学 生 的思维 被充
有 ０ ｔ ５ ３ ＝ａｘ ０ ＋ ０， ０ × ５ ＋ ０ ＝口 ２ ５ ，
口 一 —
－ ． ．
’
＿
・
２ ２ ’ — ， ５
，
３ 一—５ ’ ２— Ｊ ０
设 计思 路 ：Байду номын сангаас福 州 解放 大 桥设 计 思路 的启 发 ，
・
采 用 抛 物 线 拱 架 构 来 支 起 桥 面 ， 仍 采 用
ｎ
性 质 １ ’
已 知 Ａ ～ 内 接 于 圆 Ｏ ＡＢＣ ：
＋ ＝１ 若 其重 心 Ｇ 与 圆心 Ｏ 重合 ， Ｙ ， 则 ～ ＢＣ
一
的面积是定值，此定值是｛ ３ √ ．
４
性质２ 圆ｘ ’ ＋Ｙ １ 内接 ，边 形 面积 最 大 ＝ 的 ？ 值 是 ｎ
决实 际 问题 的实 践永远 没有 完结 ． 总之 ，在 进 行研 究 性教 学 时 ，一 定要 为这 节课
设抛 物线解析 式为 ＝ａ ３ ｘ ＋ ０，
抛物线过（５０ ，． 一 ， ２， ） ・ ． ＝
‘
・ ・ ・
应 采用 一
＋ ０的抛物线 桥拱 ・ ３
设 计 思路 ：前 面 几位 同学均 采 用 了单拱 拱桥 ，
ｌ
＝ 一
．
．
大、 抛物 线 的解析 式分别 为 ＝ 小 一
１
．
＋ ０， ３
５ ｘ ＋ ０的抛 物线桥 拱 ． ０２ ５
ｖ： 一二 ＋５ ０ ２ ５
学 生 Ｇ：
设计 思路 ：直接 用 抛物 线 拱桥 作 路面 不牢 固 ， 为此 加 设 了一座 小 抛物 线 拱桥 作架 构 ，支 起大 抛物
其 实 解 法 二 中 式子
给 出 的变换 叫 做 平
面 上 的伸 缩变 换 ，它 是 高等 几何 中仿 射 变换 中 的特
２ １ 第 ８期 ０ ０年
福 建 中学数 学
３ ３
例 ，对 此 我们 必须 先认 清 该变换 的一些 基本 性质 ： （）点分 线段 的比是 不变量 ．如 ：线段 的 中点 １ 变 成对 应线 段 的 中点 ． （ ）若直 线 垂 直于 Ｘ ，则 变 换 后仍 垂 直于 ２ 轴 轴 ，否 则变 换将 直线 的斜 率变 换 为原 来 的 倍 ．
从 上面 可 以看 出 ，利 用变 换 可 以化 繁 为 筒 ，达 到 事 半 功 倍 的作 用 ．另 一 方 面 ，也 可 以利 用 伸缩 变
换 ，把 圆的某 些性 质推 广至椭 圆 ． 又 如在 圆中有 如下 两个 成立 的性 质 ： 性 质 ３ 圆 ＋ ＝１ Ｙ 的外切 ， 形 面积 最小 值 ｚ 边 是 ， ａ ． ｚｎ ｔ
３ ２
福建中学数学
２ １ 年第 ８ ００ 期
设 小抛物 线解 析式 为 ：ａ ５ ｘ ＋ ０，
矫面
设 大抛物 线解析 式 为 Ｙ＝ａ ０， ＇ ＋３ ｘ
・ ． ・
／ ２ ＼ ５ ｒ ａ＼ ＼
１ ｍ 口 Ｄ
大 、小抛 物线分 别过 （０ ０ ，（５ ０ ， ５ ，） ２ ， ）
分调动起来 ，发挥其个性特点 ．即遵循“ 实践－ 认识一 再 实践一 再认识 ” 的辨证 唯物主 义 的认识规 律 ． 忌某 切 固有模 式 ，搞 “ 刀切”满堂 灌” 一 “ ．
一
此外 ，课 后还 可布 置 学 生写 一份 调查 报 告 ，以 及个 人 的评 语 或学 习心得等 ．
于
ｍ ／ ７
．
性 质 ４ 过 圆 ０： Ｙ ：１ 的一点 Ｐ作 圆的切 Ｘ＋ 。 外
线 ，设切 点为 、 ，连接 Ｏ Ｐ交 Ａ Ｂ于 Ｍ ，交 圆 Ｄ
（）伸缩 变换 不 改变 曲线 的封 闭性 ． ６
ａ‘ １‘ ９
用 了转化 与 化 归 的思 想 ，利 用伸缩 变换 ，将椭 圆问
题 转化 为 圆的相关 问题求 解 ．
Ａ＋ ＋ ｘ Ｃ＝０（ Ａ、Ｂ不全 为 ０ 的公共 点 的个 数 ． ） 课
本 上给 出了两 种解 法 ．解 法一 主 要是 利 用 了方程 的
思 想 ， 直线 与椭 圆方程 联立 消去 Ｘ或 Ｙ转 化为一 元 将
（ ）三 角形 变换 后仍 为三 角 形且变 换 前 后的两 ５
１
个 三角 形 的面积 之 比等于
ｍ ／ ７
． 由于任 意 一个 多边 又
形 可 以分 割 成若 干 个 三 角 形 ，所 以任 意 一 个 凸多边
形变 换 后 仍 为 凸 多边 形 ，且 变 换 前 后 的面 积 之 比等