浅谈伸缩变换在椭圆问题求解中的应用

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浅谈伸缩变换在椭圆 问题 求解 中的应用
林志展 福建省 漳州 第一 中学 (600 330 )
二次 方程 , 用判别 式 △进行 判 断 . 利 解法二主 要是应
在 数学选 修 21( — 湘教 版 )课本 的第 8 2页 中有 这 么 一 道 例 题 : 讨 论 椭 圆 + =l与 直 线

( )两条 平行直 线 仍变 为平 行直 线 . 3 ( )两条相 交 ( 切 ,相 离 ) 曲线仍 变 为相 交 4 相
( 切 ,相 离 ) 曲线 .如 :直 线 与 曲线 相 切 变换 后 相 仍相 切 .

对 于性 质 1与性 质 2 ,容易 证 明其成 立 . ’ ’
2 m 0
线 拱桥 .
/ /
I . I . . 1
・ . ’

在本节课结束前 ,再次布置一道有关本市的拱 桥 设计 问题 . 现场 堪 测 杨桥 路 的有 关 路段 情 况 ,设计 几座 抛
物线 拱桥 ,以解 决杨 桥路 交通 拥 挤 问题 . 布置 这道 题 的 目的在于 ,让 学 生体会 课 堂教 学 的延伸 ,4 5分钟 的课是 上完 了 ,但 应 用数学姗 识解
作 精 心 的准 备 , 同时 ,才教 学 过程 中 ,教 师应 善于
引导 学 生应 用 的数 学知 识 去探 索新 的问题 ,发 现新
因此 本人 标新 立 异采 用双 拱 拱桥 ,这 样 既美 观 ,有
解 决 了泄 洪 问题 .
学 生 H:
的规 律 .并善 于 活 跃课 堂气 氛 ,使 学 生 的思维 被充
有 0 t 5 3 =ax 0 + 0, 0 × 5 + 0 =口 2 5 ,
口 一 —
- . .

_

2 2 ’ — , 5

3 一—5 ’ 2— J 0
设 计思 路 :Байду номын сангаас福 州 解放 大 桥设 计 思路 的启 发 ,

采 用 抛 物 线 拱 架 构 来 支 起 桥 面 , 仍 采 用

性 质 1 ’
已 知 A ~ 内 接 于 圆 O ABC :
+ =1 若 其重 心 G 与 圆心 O 重合 , Y , 则 ~ BC

的面积是定值,此定值是{ 3 √ .

性质2 圆x ’ +Y 1 内接 ,边 形 面积 最 大 = 的 ? 值 是 n
决实 际 问题 的实 践永远 没有 完结 . 总之 ,在 进 行研 究 性教 学 时 ,一 定要 为这 节课
设抛 物线解析 式为 =a 3 x + 0,
抛物线过(50 ,. 一 , 2, ) ・ . =

・ ・ ・
应 采用 一
+ 0的抛物线 桥拱 ・ 3
设 计 思路 :前 面 几位 同学均 采 用 了单拱 拱桥 ,

= 一


大、 抛物 线 的解析 式分别 为 = 小 一


+ 0, 3
5 x + 0的抛 物线桥 拱 . 02 5
v: 一二 +5 0 2 5
学 生 G:
设计 思路 :直接 用 抛物 线 拱桥 作 路面 不牢 固 , 为此 加 设 了一座 小 抛物 线 拱桥 作架 构 ,支 起大 抛物
其 实 解 法 二 中 式子
给 出 的变换 叫 做 平
面 上 的伸 缩变 换 ,它 是 高等 几何 中仿 射 变换 中 的特
2 1 第 8期 0 0年
福 建 中学数 学
3 3
例 ,对 此 我们 必须 先认 清 该变换 的一些 基本 性质 : ()点分 线段 的比是 不变量 .如 :线段 的 中点 1 变 成对 应线 段 的 中点 . ( )若直 线 垂 直于 X ,则 变 换 后仍 垂 直于 2 轴 轴 ,否 则变 换将 直线 的斜 率变 换 为原 来 的 倍 .
从 上面 可 以看 出 ,利 用变 换 可 以化 繁 为 筒 ,达 到 事 半 功 倍 的作 用 .另 一 方 面 ,也 可 以利 用 伸缩 变
换 ,把 圆的某 些性 质推 广至椭 圆 . 又 如在 圆中有 如下 两个 成立 的性 质 : 性 质 3 圆 + =1 Y 的外切 , 形 面积 最小 值 z 边 是 , a . zn t
3 2
福建中学数学
2 1 年第 8 00 期
设 小抛物 线解 析式 为 :a 5 x + 0,
矫面
设 大抛物 线解析 式 为 Y=a 0, ' +3 x
・ . ・
/ 2 \ 5 r a\ \
1 m 口 D
大 、小抛 物线分 别过 (0 0 ,(5 0 , 5 ,) 2 , )
分调动起来 ,发挥其个性特点 .即遵循“ 实践- 认识一 再 实践一 再认识 ” 的辨证 唯物主 义 的认识规 律 . 忌某 切 固有模 式 ,搞 “ 刀切”满堂 灌” 一 “ .

此外 ,课 后还 可布 置 学 生写 一份 调查 报 告 ,以 及个 人 的评 语 或学 习心得等 .

m / 7

性 质 4 过 圆 0: Y :1 的一点 P作 圆的切 X+ 。 外
线 ,设切 点为 、 ,连接 O P交 A B于 M ,交 圆 D
()伸缩 变换 不 改变 曲线 的封 闭性 . 6
a‘ 1‘ 9
用 了转化 与 化 归 的思 想 ,利 用伸缩 变换 ,将椭 圆问
题 转化 为 圆的相关 问题求 解 .
A+ + x C=0( A、B不全 为 0 的公共 点 的个 数 . ) 课
本 上给 出了两 种解 法 .解 法一 主 要是 利 用 了方程 的
思 想 , 直线 与椭 圆方程 联立 消去 X或 Y转 化为一 元 将
( )三 角形 变换 后仍 为三 角 形且变 换 前 后的两 5

个 三角 形 的面积 之 比等于
m / 7
. 由于任 意 一个 多边 又
形 可 以分 割 成若 干 个 三 角 形 ,所 以任 意 一 个 凸多边
形变 换 后 仍 为 凸 多边 形 ,且 变 换 前 后 的面 积 之 比等
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