流体流动基本原理
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系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分 组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加 上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
8
目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
9
4.2 质量守恒积分方程
一、控制体系统的质量守恒方程
A1——控制面上流体的输入面 A2——控制面上流体的输出面
qm1——流体输入控制体的质量流量 qm1 A1 v n dA qm2——流体输出控制体的质量流量 qm 2 A v n dA 2 mcv——控制体内的瞬时总质量
控制体净输出的质量流量
——控制体内的瞬时总质量对时间的求导
控制体内的质量变化率 ＝ dV t CV
质量守恒方程
控制体净输出的质量流量＋控制体内的质量变化率＝0
即
CS v n dA t CV dV 0
13
4.2 质量守恒积分方程（续）
二、质量守恒方程的特殊形式
2
4.1 概述（续）
2、控制体 ——具有确定位置和体积形状的流场空间，欧拉法研 究流体运动的研究对象。 控制面——控制体的表面 特点 控制面上不仅有力的作用和能量的交换，而且还有 质量的交换。 一旦选定后，其形状和位置就固定不变
3
4.1
一、系统与控制体（续）
z
II
概述（续）
z v n
I II '
控制体内的 质量变化率
输出控制体的 输入控制体的 ＋ － 质量流量 质量流量
6
4.1 概述（续） 输运公式
对控制体所包括的流体系统，其质量变化率可表述为：
dm 量－输入控制体的质量 流量＋控制体内的质量 变化率 ＝输出控制体的质量流 dt 系统
控制体净输出的质量流 量
系统动量mv和能量E的变化率可表述为：
目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
1
4.1 概述
一、系统与控制体 1、系统 ——一团确定不变的物质集合，拉格朗日法研究流体 运动的研究对象。 外界——系统以外的物质 边界——系统与外界的分界面 特点
始终包含确定的流体质点 有确定的质量，质量不变 系统的表面常常是不断变形的
根据质量守恒原理，对于质量为m的系统，其质量守恒方程为
dm ＝0 dt 系统
输出控制体的质量流量 －输入控制体的质量流 量＋控制体内的质量变 化率 0
10
4.2 质量守恒积分方程（续）
质量通量 ——流体流过单位面积的质量 流量，单位kg/（m2s） v cos v n 质量流量 ——单位时间内流体流过微元面 dA的质量，单位kg/s
qm2
Baidu Nhomakorabea A2 v n dA
控制体净输出的质量流 量＝ CS v n dA
积分>0，输出控制体的质量流量大于输入流量
积分<0，输出控制体的质量流量小于输入流量
积分＝0，输出控制体的质量流量等于输入流量
12
4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体内的质量变化率
qm1 qm2 1v1 A1 2v2 A2
即流体输入与输出控制体的质量流量必然相等。 2、不可压缩流体的稳态流动 不可压缩流体ρ＝constant
守恒方程简化为
v1 A1 v2 A2
15
即流体输入与输出控制体的体积流量相等。
4.2 质量守恒积分方程（续）
例4-1 圆管层流的最大速度 不可压缩流体在半径为R的圆管内作层流流动。已知进口截面 1-1上，速度v1均匀分布，在截面2-2上，速度v2的分布为
n v
III
o x
y
x
o
y
t时刻
t+△t时刻
系统 控制体
4
4.1
概述（续）
二、输运公式 ——将拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换 为按欧拉法去计算的公式
系统所占有 的空间体积 t时刻 t+△t时刻
II+I II+III
控制体所占有 的空间体积
II+I
II+I
m t mI t mI I
CS v ndA
A2 v n dA
A1 v n dA qm2 qm1
质量守恒方程
mCV qm 2 qm1 0 t
14
4.2 质量守恒积分方程（续）
1、稳态流动系统的质量守恒方程
——亦称定常流动，流动参量不随时间变化的流动，即 mCV 0 t 守恒方程简化为
dA——控制体任意微元面积 ρ——流体密度 v——流体速度矢量 n——微元面外法线单位矢量 θ——流体速度矢量与微元面 外法线单位矢量的夹角
11
v n dA
4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体净输出的质量流量 ＝输出控制体的质量流量－输入控制体的质量流量
qm1 A1 v n dA,
m t t mII
t
t t
mI II
t t
5
4.1
系统的质量变化率为
概述（续）
mII t t mI II t t mI t mI I t m t t m t dm lim lim t 0 t 0 t t dt 系统 mII t t mI II t t mI t mI I t mI t t mI t t lim t 0 t mI II t t mII mI t t mII mI t mI t t lim lim lim t 0 t t 0 t 0 t t
dm 量－输入控制体的动量 流量＋控制体内的动量 变化率 ＝输出控制体的动量流 dt 系统
控制体净输出的动量流 量
dE 量－输入控制体的能量 流量＋控制体内的能量 变化率 ＝输出控制体的能量流 dt 系统
控制体净输出的能量流 量
7
4.1 概述（续）
输运公式物理意义：
8
目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
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4.2 质量守恒积分方程
一、控制体系统的质量守恒方程
A1——控制面上流体的输入面 A2——控制面上流体的输出面
qm1——流体输入控制体的质量流量 qm1 A1 v n dA qm2——流体输出控制体的质量流量 qm 2 A v n dA 2 mcv——控制体内的瞬时总质量
控制体净输出的质量流量
——控制体内的瞬时总质量对时间的求导
控制体内的质量变化率 ＝ dV t CV
质量守恒方程
控制体净输出的质量流量＋控制体内的质量变化率＝0
即
CS v n dA t CV dV 0
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4.2 质量守恒积分方程（续）
二、质量守恒方程的特殊形式
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4.1 概述（续）
2、控制体 ——具有确定位置和体积形状的流场空间，欧拉法研 究流体运动的研究对象。 控制面——控制体的表面 特点 控制面上不仅有力的作用和能量的交换，而且还有 质量的交换。 一旦选定后，其形状和位置就固定不变
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4.1
一、系统与控制体（续）
z
II
概述（续）
z v n
I II '
控制体内的 质量变化率
输出控制体的 输入控制体的 ＋ － 质量流量 质量流量
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4.1 概述（续） 输运公式
对控制体所包括的流体系统，其质量变化率可表述为：
dm 量－输入控制体的质量 流量＋控制体内的质量 变化率 ＝输出控制体的质量流 dt 系统
控制体净输出的质量流 量
系统动量mv和能量E的变化率可表述为：
目 录 4.1 概述 4.2 质量守恒积分方程 4.3 动量守恒积分方程
4.4 动量矩方程及其应用
4.5 能量守恒积分方程
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4.1 概述
一、系统与控制体 1、系统 ——一团确定不变的物质集合，拉格朗日法研究流体 运动的研究对象。 外界——系统以外的物质 边界——系统与外界的分界面 特点
始终包含确定的流体质点 有确定的质量，质量不变 系统的表面常常是不断变形的
根据质量守恒原理，对于质量为m的系统，其质量守恒方程为
dm ＝0 dt 系统
输出控制体的质量流量 －输入控制体的质量流 量＋控制体内的质量变 化率 0
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4.2 质量守恒积分方程（续）
质量通量 ——流体流过单位面积的质量 流量，单位kg/（m2s） v cos v n 质量流量 ——单位时间内流体流过微元面 dA的质量，单位kg/s
qm2
Baidu Nhomakorabea A2 v n dA
控制体净输出的质量流 量＝ CS v n dA
积分>0，输出控制体的质量流量大于输入流量
积分<0，输出控制体的质量流量小于输入流量
积分＝0，输出控制体的质量流量等于输入流量
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4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体内的质量变化率
qm1 qm2 1v1 A1 2v2 A2
即流体输入与输出控制体的质量流量必然相等。 2、不可压缩流体的稳态流动 不可压缩流体ρ＝constant
守恒方程简化为
v1 A1 v2 A2
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即流体输入与输出控制体的体积流量相等。
4.2 质量守恒积分方程（续）
例4-1 圆管层流的最大速度 不可压缩流体在半径为R的圆管内作层流流动。已知进口截面 1-1上，速度v1均匀分布，在截面2-2上，速度v2的分布为
n v
III
o x
y
x
o
y
t时刻
t+△t时刻
系统 控制体
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4.1
概述（续）
二、输运公式 ——将拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换 为按欧拉法去计算的公式
系统所占有 的空间体积 t时刻 t+△t时刻
II+I II+III
控制体所占有 的空间体积
II+I
II+I
m t mI t mI I
CS v ndA
A2 v n dA
A1 v n dA qm2 qm1
质量守恒方程
mCV qm 2 qm1 0 t
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4.2 质量守恒积分方程（续）
1、稳态流动系统的质量守恒方程
——亦称定常流动，流动参量不随时间变化的流动，即 mCV 0 t 守恒方程简化为
dA——控制体任意微元面积 ρ——流体密度 v——流体速度矢量 n——微元面外法线单位矢量 θ——流体速度矢量与微元面 外法线单位矢量的夹角
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v n dA
4.2 质量守恒积分方程（续）
控制体净输出的质量流量 ＝输出控制体的质量流量－输入控制体的质量流量
qm1 A1 v n dA,
m t t mII
t
t t
mI II
t t
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4.1
系统的质量变化率为
概述（续）
mII t t mI II t t mI t mI I t m t t m t dm lim lim t 0 t 0 t t dt 系统 mII t t mI II t t mI t mI I t mI t t mI t t lim t 0 t mI II t t mII mI t t mII mI t mI t t lim lim lim t 0 t t 0 t 0 t t
dm 量－输入控制体的动量 流量＋控制体内的动量 变化率 ＝输出控制体的动量流 dt 系统
控制体净输出的动量流 量
dE 量－输入控制体的能量 流量＋控制体内的能量 变化率 ＝输出控制体的能量流 dt 系统
控制体净输出的能量流 量
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4.1 概述（续）
输运公式物理意义：