控制系统的根轨迹法设计

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课程设计
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题目控制系统的根轨迹法设计
学生
指导老师
二○一〇年十二月
目录
一、任务书（1）
二、设计思想（2）
三、编制的程序（2）
四、设计结论（6）
五、设计总结（6）
六、参考文献（6）
《自动控制理论》
课程设计任务书
当系统的性能指标给定为时域指标（如超调量、阻尼系数、自然频率等）时，用根轨迹法对系统进行校正比较方便。

这是因为系统的动态性能取决于它的闭环零、极点在S平
面上的分布。

因此，根轨迹法校正的特点就是：如何选择控制器的零、极点，去促使系统的根轨迹朝有利于提高系统性能的方向变化，从而满足设计要求。

二阶系统的性能指标和参数之间具有明确的解析式，而高阶系统没有这一特点，只能通过寻找对系统动态性能起决定作用的主导极点，从而近似成二阶系统，在留有余量的情况下，作为设计依据。

因此，可以把讨论对系统性能指标的要求转化为对系统期望主导极点在S 平面上分布的要求。

所以，根轨迹法校正就是迫使被校正系统的根轨迹通过期望主导极点而达到校正的目的。

根据题目要求，然后根据公式σ%=0.16+0.4（Mr-1）=20% 和公式Ko=2+1.5(1/sin γ-1)+2.5(1/sin γ-1)2
，以及M r =1/sin γ，即可得到Ko.然后利用函数sisotool 即可得到矫正传递函数：。

最后观察单位阶跃响应验证校正后系统是否满足要求。

三、编制的程序
（1）因为σ%=0.16+0.4（Mr-1）=20%,则有
Syms Mr sigma ;
Mr=solve('0.16+0.4*(Mr-1)=0.2'); %利用超调量求Mr Mr=vpa(Mr,3)
语句执行结果：Mr=1.1.
(2)又因Mr=1/sin γ 又Ko=2+1.5(1/sin γ-1)+2.5(1/sin γ-1)2
,故将Mr 代替1/sin γ来求取Ko;
Syms Ko Mr ; Mr=1.1;
Ko=2+1.5*(Mr-1)+2.5*(Mr-1) ^2 %根据Mr=1/sin γ=1.1求取Ko 语句执行结果：
Ko=2.175,可以取整数K 0=2 .
3）那么开环传递函数为 )2(2
)(0+=
s s s G 程序如下
k=2 %原系统的增益；
n1=1; %分子；
d1=conv([1 0],[1 2]); %分母用conv 表示卷积； sys=tf(k*n1,d1) %原系统表达式；
sisotool(sys); %得出原系统的阶跃响应曲线；
语句执行结果可得未校正系统的bode 图和单位阶跃响应如下
幅值稳定裕度： h=∞dB -π穿越频率：ωg =∞rad/s
相角稳定裕度：γ=65.5° 剪切频率：
ωc
=0.91rad/s
由图可得σ%=4.32%， t s =4.22s. 不满足题目要求
然后将参数σ%≤20%和t s ≤1.2s 设置后以后，观察其共同部分，即稳定部分。

分别放入一个极点和一个零点，移动零极点使其余点都移动到稳定区域内，此时由图可得
1
31.001
23.0.723)(++⨯
=s s s G c
（3）校正后系统的bode 图和单位阶跃响应如下：
由上图得到校正后的参数如下：
幅值稳定裕度： h=∞dB -π穿越频率：ωg =∞rad/s
相角稳定裕度：γ=58.8° 剪切频率：
ωc
=10.4rad/s
由上图得到时域性能指标：
超调量σ％=14.9％＜20％，调节时间t s=0.638s＜1.2s均符合题目要求
四、设计结论
由校正后系统的单位阶跃响应图可得超调量σ%=14.9%≤20%，调节时间：t s=0.638s≤1.2s,时域性能品质指标均已基本达到题目要求。

五、设计总结
由于闭环特征根和系统开环传函有相关性，因此改变开环传函的参数可以达到改变系统性能的目的。

1.增加开环零点对根轨迹的影响
第一，增加开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角。

第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。

第三，增加开环零点，越接近坐标原点，微分作用越强，系统的相对稳定性越好。

2.增加开环极点对根轨迹的影响
第一，增加开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角。

第二，增加开环零点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。

五、参考文献
《自动控制原理》胡寿松主编科学出版社
《MATLAB7.0从入门到精通》求是科技编著人民出版社。