1-6电磁场的能量和能流解读

场中任何一点，单位时间流出包围体积 V表面的总能量为零， 即没有电磁能量流动。由此可见，在静电场和静磁场情况下， S=E×H并不代表电磁功率流密度。
在恒定电流的电场和磁场情况下，
，
。因此，在恒
1 1 E D B H 所以由坡印廷定理可知， 0 t 2 2
定电流场中， S=E j Edv × H可以代表通过单位面积的电磁功率流。它 ( E H ) ds
利用矢量恒等式
( E H ) H ( E ) E ( H )
E ( H ) H ( E ) ( E H ) B H (E H ) t
D B H E ( E H ) dV V J EdV V t t
例：同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为绝 缘介质。导线载有电流I ，两线间电压为U。求： （1）忽略导线电阻，计算介质中的能流S和传输功率 （2）考虑内导线的有限电导率，计算通过内导线表面进入内导线 的能流。证明它等于导线内的损耗功率
解:(1)沿电流方向以导线的轴线为z轴取柱坐 标系,由安培环路定律知
b
a
H
I 2 r
e
( a r b)
设载流导线表面电荷线分布为τ ,介质内电场分布为
E er 2 r
两导线间的电压为
U Edr a 2
b

b
a
dr b ln r 2 a
因此
2U ln b a
U E er r ln b a
介质内的能流为
流入体积V的电磁能量。因此，面积分∮S S·dS=∮S(E×H)·dS表
示单位时间内流出包围体积 V的表面S的总电磁能量。由此可见， 坡印廷矢量S=E×H可解释为通过S面上单位面积的电磁功率。
在静电场和静磁场情况下，由于电流为零以 及 项

s
1 1 ，所以坡印廷定理只剩一 ED BH 0 t 2 2 。由坡印廷定理可知，此式表示在 ( E H ) ds 0
为了说明式(5 - 44)的物理意义，我们首先假设储存在时变电
磁场中的电磁能量密度的表示形式和静态场的相同，即w=we+wm。
其中，we=1/2(D·E)为电场能量密度，wm=1/2(B·H)为磁场能量密
度， 它们的单位都是J/m3。另外，引如一个新矢量
S EH
称为坡印廷矢量，单位是W/m2。 据此，坡印廷定理可以写成
J
E
r a
I ez 2 a
I2 I 2 2 ez e 2 3 er 2 a 2 a
沿径向进入导线内的分量
S r Ez H
r a
流进长度为Δ l的导线内的功率为
l 2 P Sr 2 al I I R 2 a
2
这正是这段导线上损耗的功率
UI 1 S EH e 2 z 2 ln b a r
通过两导线间环状截面积的传输功率为
P
b
a
UI b dr S 2 rdr UI ln b a a r
(2)设内导线的电导率为σ,导线内的电场分布为
I E 2 ez a
由边值关系 n ( E2 E1 ) 0 得内导线与介质分界面的介质一侧 内电场的切向分量为
§6
下面我们通过电磁场和带电物体相互作用过程中，电磁场能量
和带电物体运动的机械能相互转化来求出电磁场的能量表达式。 1 场和电荷系统的能量守恒定律的一般表示式 场对电荷系统所作的功率为
P f vdV
V
• V内场的能量增加率为
d wdV dt V
• 通过界面S流入V内的 能量为 • 能量守恒定律的积分 形式为
B H 1 H H (H H ) ( B H ) t t 2 t t 2
同理，
D 1 E ( D E) t t 2
对于各向同性的线性媒质， 定理表示如下：
1 1 ( E H ) dS B H D H J E dV S V t 2 t 2 1 1 B H D E dV J EdV V t V 2 2
利用散度定理上式可改写为
D B H E ( E H ) dV V J EdV V t t B D ( E H ) dS ( H E J E )dV S V t t
• 和（6.1）式比较得到能流密度S和能量密度变 化率的表达式：
S d
d f vdV wdV dt
S d
V
（6.1）
• 相应的微分形式为：
w S f v t
上式又可写成
（6.2）
f v ( E v B) v v E j E
w S j E t
图 5-5 坡印廷定理验证
1 J I J ez 2 , E ez 2 b b 在导线表面， I H e 2b
因此，导线表面的坡印廷矢量
S E H er
I
2
2 2b3
它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分， 有 2
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I l 2 2 S dS S er dS 2 bl I I R 2 3 2 S S b 2 b
S dS ( we wm )dV J EdV S V t V
上式右边第一项表示体积 V 中电磁能量随时间的增加率， 第二项表示体积 V中的热损耗功率 ( 单位时间内以热能形式损耗 在体积V中的能量)。 根据能量守恒定理，上式左边一项-
∮SS·dS=-∮S(E×H)·dS必定代表单位时间内穿过体积V的表面S
• 若V包括整个空间，则通过无限远界面的能量应 为零。这时（6.1）式左边的面积分为零，而有


d f vdV wdV dt
• 场和电荷的总能量守恒
2 电磁场能量密度和能流密度表示式
D 由麦克斯韦方程式 J H t D E ( H ) E dV VJ EdV V t
v s


说明，在无源区域中，通过 S 面流入 V 内的电磁功率等于 V 内的 损耗功率。 在时变电磁场中，S=E×H代表瞬时功率流密度，它通过任
意截面积的面积分 P ( E H ) ds 代表瞬时功率。
s
例 试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流 I的长直 导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。 解：如图 5-5，一段长度为 l 的长直导线，其轴线与圆柱坐 标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是 有
S EH
（6.8）
w B D H E t t t
（6.9）
利用矢量函数求导公式
A B ( A B) B A , t t t A ( A A) 2 A t t
对于各向同性的线性媒质，即D=εE, B=μH, J=σE, 可知，