2020年上海市复旦附中高2022届高2019级高二第一学期10月月考数学试题及答案

上海复旦附属中学2020～2021学年度高二年级第一学期10月份月考

数学试题答案

时间:120分钟;满分:150分

一、 填空题:54分

1.直线2310x y +-=的倾斜角为

【参考答案】2arctan 3

π- 2.方程组3162223x y z x ay z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩

有无穷多解,则a =

【参考答案】2-

3.直线1:320l x y ++=与直线2:230l x y --=的夹角α=

【参考答案】4

π 4.如图,在ΔABC 中,2,CD DA E =是BD 上一点,且1()7AE AB AC R λλ=+

∈, 则λ的值等于

【参考答案】47 5.已知1,2,,a b a b ==的夹角为060,则a b +在a 上的投影是

【参考答案】2

6.已知点P 在直线1:210l x y +-=上,点Q 在直线2:230,l x y PQ ++=的中点

为00(,)M x y ,且0017y x ≤-≤,则00

y x 的取值范围是 【参考答案】2,05

⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

7.直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)(1)0l x a y a +-+-=平行,则a = 【参考答案】1-

8.已知,a b R ∈若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直,则ab 的最大值等于

【参考答案】18

9.点(5,2)到直线(1)(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为

【参考答案】213

10.定义111

011n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

为向量(,)n n n OP x y =到向量111(,)n n n OP x y +++=的一个矩阵变换,其中n N ,O +∈是坐标原点,已知1(2,0)OP =,则2020OP 的坐标为

【参考答案】(2,4038)

11.已知直线2(2)0x y y λ++-=与两坐标轴围成一个三角形,该三角形的面积记为()S λ; 当(1,)λ∈+∞时,()S λ的最小值为

【参考答案】8

12.已知直角ABC ∆中,3,4,5,AB AC BC I ===是ABC ∆的内心(即三个内角平分线所在 直线的交点),P 是C IB ∆内部(不含边界)的动点,若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈,

则λμ+的取值范围是

【参考答案】2(,1)3

二、 选择题:20分

13.设,a b 是非零向量,“a b a b ⋅=”是“//a b ”的( )条件.

A.充分而不必要

B.必要而不充分

C.充分必要

D.既不充分也不必要

【参考答案】A 14.已知数列{}n a 的通项公式2019(1)(12019)1()(2019)2

n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨>⎪⎩,前n 项和为n S , 则关于数列{}n a 的极限,下面判断正确的是( )

A.数列{}n a 的极限不存在,{S }n 的极限存在;

B.数列{}n a 的极限存在,{}n a 的极限不存在;

C.数列{},{S },n n a 的极限均存在,但极限值不相等;

D.数列{},{S },n n a 的极限均存在,且极限值相等;

【参考答案】C

15.过点(1,3)P 作直线,l l 经过点(,0)A a 和(0,)B b ,且,a b N +

∈,则这样的直线l 的条数为( )

A. 1

B. 2

C.3

D.4

【参考答案】B

16.在某型号的图像计算器中,输入曲线方程28(165)0y x x -+-+--=,

计算器显示下图中的线段AB ,则线段CD 的曲线方程为( ) A. 23(242)0x y x x -++-+--=; B. 23(242)0x y x x +++-+--=; C.23(242)0x y x x -++-+-+= ; D. 23(242)0x y x x +++++--=;

【参考答案】A

三、解答题:76分 17.已知函数12

1()0

10()1

32x f x x R x

+=∈ (1)求不等式()0f x ≤的解集;

(2)若不等式()f x a x ≥-在[]2,3x ∈上恒有解,求实数a 的取值范围.

【参考答案】(1)1(,0),2x ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭

;(2)43a ≤ 18.已知向量(3,1),5,(1)a a b c xa x b =-⋅==+-;

(1)若a c ⊥,求实数x 的值; (2)若5b =,求c 的最小值.

【参考答案】(1)13

x =

;(2)1c =

19.在平面直角坐标系XOY 中,已知点(2,0),(10,0),C(11,3),D(10,6)A B

(1)证明:存在点P 使得PA PB PC PD ==+,并求P 的坐标;

(2)过点C 的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分,

求该直线l 的方程.

【参考答案】(1)(6,3);(2)124190x y --=

20.如图,平面直角坐标系内,O 为坐标原点,点A 在x 轴正半轴上,点B 在第一象限

内,060AOB ∠=.

(1)若AB 过点3)M ,当ΔOAB 的面积取最小值时,求直线AB 的斜率;

(2)若4AB =,求ΔOAB 的面积的最大值; (3)设,,OA a OB b ==若114a b

+=,求证:直线AB 过一定点,并求出此定点坐标. 【参考答案】(1)34333(8 21.在平面直角坐标系内,对于任意两点1122(,),(,)A x y B x y , 定义它们之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-.

(1)求线段2(,0)x y x y +=≥上一点(,)M x y 到原点O(0,0)的“曼哈顿距离”;

(2)求所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形的周长;

(3)众所周知,对于“欧几里得距离”22

1212()(y y )AB x x =-+-有如下三个正确的结论: ①对于平面上任意三点,,A B C ,都有AB AC CB ≤+;

②对于平面上不在同一直线上的任意三点,,A B C ,若222AB AC CB =+,则ABC ∆是以C ∠为直角的直角三角形;

③对于平面上两个不同的定点,A B ,若动点P 满足PA PB =,则动点P 的轨迹是线段,A B 的垂直平分线;

上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由。

【参考答案】

(1)2;(2)2①正确,②正确,③错误