新人教A版选修2-1《抛物线》word单元测试
新人教A版(选修2-1)《抛物线的简单几何性质》word教案
抛物线的简单几何性质教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程：一、复习引入： 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质 1．范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y 2±=和y 1＝mx ＋n ． ∴ px n mx y y 21+=-xpx n m x 2 +⋅= 当m ≠0时，若x →＋∞，则+∞→-y y 1 当m ＝0时，px n y y 21=-，当x →＋∞，则+∞→-y y 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．解：由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p 因此，所求的抛物线方程为x y 42=．将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y 22= (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302⨯=p ， 即 445=p 所求的抛物线标准方程为x y 2452=． 例3 过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切． 四、课堂练习：1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ C ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 4．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案：()122-=x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45） 五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？ 习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y （3）x 2＝－8y 2．90°3．x 2＝±16 y 4．5420米5．5七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学人教A版选修2-1抛物线基础训练
抛物线基础训练一、选择题：1．（）抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 A ．25B ．5C ．215D ．10 B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p2．（）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±对C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离，得7,P p x y ==±3．（）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92= D 圆心为(1,3)-，设22112,,63x py p x y ==-=-；设2292,,92y px p y x === 4．（）设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为 A ．2p B ．p C ．p 2D ．无法确定 C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,2p x y p ==±min 2AB p = 5．（）若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）A ．1(,4B ．1(,8C ．1(4D ．1(8 B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =，过点P 所作的高也是中线18x P ∴=，代入到x y =2得y P =1(,8P ∴ 6．（）抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称， 且2121-=⋅x x ，则m 等于A ．23B ．2C ．25D ．3A 22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,) 在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 222212*********()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++== 7．（）若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．()2,1D ．()2,2 D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取得最小值，即2y M =，代入x y 22=得2x M = 二、填空题：8．抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.32x =-326,3,22p p p x ===-=-9．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。
人教版数学选修2-1第2章 抛物线的简单几何性质学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A.2B.1C.4D.8【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )【导学号：37792089】A.2 3B.4C.6D.4 3【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝(1＋1)2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝2D.x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2).又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.－43 B.－1 C.－34D.－12【解析】 由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 【答案】 C5.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A.2B.2 2C.2 3D.4【解析】 如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.故选C.【答案】 C 二、填空题6.抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________. 【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±247.直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18.平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等.若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________.【导学号：37792090】【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程.【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2. ∵|AF |＝3， ∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17， ∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10.已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.【导学号：37792091】【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32.联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ， 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C.【答案】 C2.已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22 C. 2D.2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3.抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨⎧y ＝－p2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 64.已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.【导学号：37792092】【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k (x ＋1)，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0). ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。
人教A数学选修2-1第六单元单元测试卷：抛物线A卷(有答案)
人教A数学选修2-1第六单元单元测试卷：抛物线A卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1. 抛物线y=−18x2的焦点坐标是（）A.(0, −4)B.(0, −2)C.(−12，0) D.(−132，0)2. 抛物线x2=4y的准线方程是（）A.y=1B.y=−1C.x=1D.x=−13. 若抛物线y2=2px上一点P(2, y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x4. 设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为（）A.p4B.p2C.pD.2p5. 过定点P(1,2√2)作直线l,使l与抛物线y2=8x有且仅有一个交点，这样的直线l共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条6. 已知P为抛物线y2=4x上一个动点，直线l1:x=−1，l2:x+y+3=0，则点P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（）A.2√2B.4C.√2D.3√22+17. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2−4x−5=0相切，则p的值为（）A.2B.1C.12D.148. 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作直线交抛物线于P，Q两点，若PF与FQ的长分别是p，q，则1p +1q=（）A.2aB.12a C.4a D.4a9. 已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若FB →=4FA →，则FA →⋅FB →=（ ）A.1B.32C.2D.9410. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A.2√3B.4C.6D.4√311. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为√3，则p =( )A.1B.2C.3D.412. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A.√5B.2√2C.2√3D.3√3 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)若抛物线y 2=2px(p >0)上的动点M 到焦点的距离的最小值为8，则p =________.抛物线y 2=2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________.已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C:x 2+(y +3)2=1外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．过抛物线x 2=2py(p >0)的焦点F 作倾斜角为30∘的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在y 轴左侧），则|AF||FB|=________．三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(1,0).(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l ：y =x −1与抛物线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB|.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|+|BF|=8，线段AB的中垂线恒过点Q(6, 0)，求抛物线C 的方程．已知抛物线C1的焦点与椭圆C2:x26+y25=1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4, 0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点．(1)写出抛物线C1的标准方程；(2)求△ABO面积的最小值.设直线l的方程为x=m(y+2)+5，m为实数，该直线交抛物线C:y2=4x于P，Q两个不同的点．(1)若点A(5, −2)为线段PQ的中点，求直线l的方程；(2)证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1, 2)．四、附加题(本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．(1)求抛物线的方程；(2)设点A(x1, y1)，B(x2, y2)(y i≤0, i=1, 2)是抛物线上的两点，∠APB的平分线与x 轴垂直，求直线AB的斜率．设A(x1, y1)，B(x2, y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．(1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围．参考答案与试题解析人教A数学选修2-1第六单元单元测试卷：抛物线A卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.【答案】B【考点】抛物线的求解【解析】本题考查抛物线的标准方程以及简单性质的应用.【解答】解：由题意，知抛物线的标准方程为x2=−8y，所以其焦点坐标为(0, −2).故选B．2.【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】本题主要考查抛物线的标准方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上，所以2p=4，即p=2，=1，所以p2所以准线方程为：y=−1,故选B．3.【答案】C【考点】抛物线的标准方程【解析】本题考查抛物线的标准方程的求法.【解答】解：由题意可知p>0.因为抛物线y2=2px，，所以其准线方程为x=−p2因为点P(2,y0)到抛物线准线的距离为4，−2|=4，所以p=4，所以|−p2故抛物线的标准方程为y2=8x.故选C.4.【答案】D【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知,当弦AB垂直于x轴时,|AB|最小，此时|AB|min=2p.故选D.5.【答案】B【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的关系．【解答】解：因为P(1,2√2)在抛物线上,所以l为过P(1,2√2)与抛物线相切的直线或过P(1,2√2)与抛物线的对称轴平行的直线. 故选B.6.【答案】A【考点】直线与椭圆结合的最值问题点到直线的距离公式【解析】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系.【解答】解：点P到直线l1:x=−1的距离即点P到焦点F(1, 0)的距离，过点F作直线l2的垂线，垂足为E，则线段EF的长即为所求的最小值，=2√2，故点P到两直线的距离之和的最小值为√12+12故选A．7.【答案】A【考点】抛物线的标准方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：曲线的方程可化为(x −2)2+y 2=9,其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x =−p 2，所以由抛物线的准线与圆相切得2+p 2=3， 解得p =2，故选A ．8.【答案】C【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】本题考查抛物线的性质.【解答】解：设坐标原点为O ，考虑特殊情况，当PQ ⊥OF 时，|PF|=|FQ|=12a ，所以1P +1q =2a +2a =4a ．故选C ．9.【答案】D【考点】抛物线的性质向量的线性运算性质及几何意义抛物线的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：设点A 的横坐标为m ，因为FB →=4FA →，所以|FB →|=4|FA →|，所以|AB||BF|=34，又|AB||BF|=m+121， 所以m =14，所以|FA|→=14+12=34，|FB →|=3， FA →⋅FB →=|FA →|⋅|FB →|=94.故选D .10.【答案】D【考点】抛物线的性质两点间的距离公式【解析】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．【解答】解：据题意知，△FPM 为等边三角形，∴ |PF|=|PM|=|FM|，∴ PM 垂直于抛物线的准线.设P(m 24, m)，则M(−1, m)，∴ △FPM 的边长为1+m 24. 又F(1, 0)，|FM|=1+m 24，∴ √(1+1)2+m 2=1+m 24，得m 2=12，∴ △FPM 的边长为4，其面积为4√3.故选D ．11.【答案】B【考点】双曲线的渐近线抛物线的性质双曲线的离心率抛物线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解:由题意,得双曲线的渐近线方程为y=±ba x,与x=−p2(p>0)联立，可得交点坐标为(−p2,bp2a)，(−p2,−bp2a)，所以S△AOB=12⋅p2⋅2⋅bp2a=bp24a=√3①.又ca=2，所以b=√3a②.由①②得p=2.故选B．12.【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的求解【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用.【解答】解：由题意可知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线为l:x=−1．过焦点的直线方程为x=√33y+1．将其代入抛物线方程y2=4x，得3y2−4√3y−12=0，所以y=2√3或−2√33．又点M在x轴上方，所以y M=2√3，x M=√33y M+1=3，即点M的坐标为(3,2√3)．因此点N的坐标为(−1,2√3)，则直线NF的方程为√3x+y−√3=0，所以点M到直线NF的距离d=|3√3+2√3−√3|2=2√3．故选C．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 【答案】16【考点】抛物线的性质抛物线的定义【解析】本题主要考查抛物线的性质．【解答】解：因为抛物线上动点M到焦点的距离等于动点M到准线的距离, 所以抛物线上动点M到焦点的最短距离为抛物线顶点到准线的距离,即p2=8，得p=16.故答案为：16．【答案】2【考点】抛物线的性质抛物线的定义中点坐标公式【解析】本题考查抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点为F(12,0)，准线方程为x=−12.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AF|+|BF|=x1+12+x2+12=5，解得x1+x2=4，故线段AB的中点的横坐标为2，故线段AB的中点到y轴的距离是2.故答案为：2．【答案】x2=−12y【考点】抛物线的定义圆与圆的位置关系及其判定轨迹方程【解析】本题考查轨迹方程.【解答】解：设动圆圆心M(x,y)，则由题意可得M到C(0,−3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知，动圆圆心M的轨迹是以C(0, −3)为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为：x2=−12y．故答案为：x2=−12y．【答案】13【考点】抛物线的性质【解析】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段.【解答】解：如图，过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，再过点A 作AC 垂直BE 于点C ，设|BC|=a ，由于直线AB 的倾斜角为30∘，因此|AB|=2a .由|AD|=|AF|，|BF|=|BE|，得|AD|=a 2， 则|AF|=a 2，|FB|=3a 2， 于是|AF||FB|=13. 故答案为：13.三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【答案】解：(1)由题意，得p2=1， 所以p =2，所以抛物线C 的标准方程是y 2=4x .(2)易知直线l ：y =x −1过抛物线的焦点.由{y 2=4x,y =x −1,可得x 2−6x +1=0，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，所以|AB|=x 1+x 2+2=8.【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，得p 2=1，所以p =2，所以抛物线C 的标准方程是y 2=4x .(2)易知直线l ：y =x −1过抛物线的焦点.由{y 2=4x,y =x −1,可得x 2−6x +1=0，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，所以|AB|=x 1+x 2+2=8.【答案】解：设抛物线C 的方程为y 2=2px(p >0) ，则其准线方程为x =−p 2. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵ |AF|+|BF|=8，∴ x 1+p 2+x 2+p 2=8， 即x 1+x 2=8−p ．∵ Q(6,0)在线段AB 的垂直平分线上，∴ |QA|=|QB|，即√(6−x 1)2+(−y 1)2=√(6−x 2)2+(−y 2)2．又y 12=2px 1，y 22=2px 2，∴ (x 1−x 2)(x 1+x 2−12+2p)=0.∵ AB 与x 轴不垂直，∴ x 1≠x 2，∴ x 1+x 2−12+2p =8−p −12+2p =0，即p =4.∴ 抛物线C 的方程为y 2=8x .【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的标准方程【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力.【解答】解：设抛物线C 的方程为y 2=2px(p >0) ，则其准线方程为x =−p 2.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵ |AF|+|BF|=8，∴ x 1+p 2+x 2+p 2=8，即x 1+x 2=8−p ．∵ Q(6,0)在线段AB 的垂直平分线上，∴ |QA|=|QB|，即√(6−x 1)2+(−y 1)2=√(6−x 2)2+(−y 2)2．又y 12=2px 1，y 22=2px 2， ∴ (x 1−x 2)(x 1+x 2−12+2p)=0.∵ AB 与x 轴不垂直，∴ x 1≠x 2，∴ x 1+x 2−12+2p =8−p −12+2p =0，即p =4.∴ 抛物线C 的方程为y 2=8x .【答案】解：(1)椭圆C 2:x 26+y 25=1的右焦点（1,0），即抛物线C 1的焦点.又抛物线C 1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y 2=4x ．(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线方程为x =4，此时|AB|=8，△ABO 的面积S =12×8×4=16.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：y =k(x −4)(k ≠0)．由{y =k(x −4),y 2=4x,得 ky 2−4y −16k =0，Δ=16+64k 2>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由根与系数的关系，得y 1+y 2=4k ，y 1⋅y 2=−16， 所以S △ABO=S △AOM +S △BOM=12|OM||y 1−y 2| =12|OM|⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =2√16k 2+64>16.综上所述，△ABO 面积的最小值为16.【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的标准方程椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)椭圆C 2:x 26+y 25=1的右焦点（1,0），即抛物线C 1的焦点.又抛物线C 1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y 2=4x ．(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线方程为x =4，此时|AB|=8，△ABO 的面积S =12×8×4=16.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为：y =k(x −4)(k ≠0)．由{y =k(x −4),y 2=4x,得 ky 2−4y −16k =0，Δ=16+64k 2>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由根与系数的关系，得y 1+y 2=4k ，y 1⋅y 2=−16，所以S △ABO=S △AOM +S △BOM=12|OM||y 1−y 2| =12|OM|⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =2√16k 2+64>16.综上所述，△ABO 面积的最小值为16.【答案】(1)解：联立方程，得{x =my +(2m +5),y 2=4x,消去x ，得y 2−4my −4(2m +5)=0，Δ=16m 2+32m +80>0.设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8m −20.因为A 为线段PQ 的中点，所以y 1+y 22=2m =−2，解得m =−1.所以直线l 的方程为x +y −3=0．(2)证明：连接BP ，BQ ，由(1)得，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m +5)=4m 2+4m +10，x 1x 2=y 124⋅y 224=(y 1y 2)216=(2m +5)2， 所以BP →⋅BQ →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+[y 1y 2−2(y 1+y 2)+4]=[(2m +5)2−(4m 2+4m +10)+1]+(−8m −20−8m +4)=0 ，因此BP ⊥BQ ，即以线段PQ 为直径的圆恒过点B(1,2).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与抛物线有关的中点弦及弦长问题圆与圆锥曲线的综合问题数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用.【解答】(1)解：联立方程，得{x =my +(2m +5),y 2=4x,消去x ，得y 2−4my −4(2m +5)=0，Δ=16m 2+32m +80>0.设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8m −20.因为A 为线段PQ 的中点，所以y 1+y 22=2m =−2，解得m =−1.所以直线l 的方程为x +y −3=0．(2)证明：连接BP ，BQ ，由(1)得，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m +5)=4m 2+4m +10，x 1x 2=y 124⋅y 224=(y 1y 2)216=(2m +5)2，所以BP →⋅BQ →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]+[y 1y 2−2(y 1+y 2)+4]=[(2m +5)2−(4m 2+4m +10)+1]+(−8m −20−8m +4)=0 ，因此BP ⊥BQ ，即以线段PQ 为直径的圆恒过点B(1,2).四、附加题(本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：(1)设P(x 0,4)，因为|PF|=4，由抛物线的定义，得x 0+p 2=4 . 又42=2px 0 ，所以x 0=8p ，因此8p +p 2=4.,解得p =4，所以抛物线的方程为y 2=8x ．(2)由(1)知，点P 的坐标为(2, 4).因为∠APB 的平分线与x 轴垂直，所以PA ，PB 的倾斜角互补，即PA ，PB 的斜率互为相反数.设直线PA 的斜率为k ，则PA:y −4=k(x −2)，由题意知k ≠0.由{y −4=k(x −2)，y 2=8x ，得y 2−8k y −16+32k =0.由根与系数的关系，得y 1+4=8k ，即y 1=8k −4.直线PB 的斜率为−k ，同理可得y 2=8−k −4，所以k AB =y 2−y1x 2−x 1 =y 2−y 1y 228−y 128 =8y 2+y 1=−1.【考点】圆锥曲线的综合问题抛物线的标准方程抛物线的定义斜率的计算公式直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设P(x 0,4)，因为|PF|=4，由抛物线的定义，得x 0+p 2=4 .又42=2px 0 ，所以x 0=8p ，因此8p +p 2=4., 解得p =4，所以抛物线的方程为y 2=8x ．(2)由(1)知，点P 的坐标为(2, 4).因为∠APB 的平分线与x 轴垂直，所以PA ，PB 的倾斜角互补，即PA ，PB 的斜率互为相反数.设直线PA 的斜率为k ，则PA:y −4=k(x −2)，由题意知k ≠0.由{y −4=k(x −2)，y 2=8x ，得y 2−8k y −16+32k =0.由根与系数的关系，得y 1+4=8k ，即y 1=8k −4. 直线PB 的斜率为−k ，同理可得y 2=8−k −4，所以k AB =y 2−y 1x 2−x 1 =y 2−y 1y 228−y 128 =8y 2+y 1=−1.【答案】(1)证明：点F 在直线l 上⇒|FA|=|FB|⇒A,B 两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线与x轴平行，∴上述条件等价于y1=y2⇒x12=x22⇒(x1+x2)(x1−x2)=0，∵x1≠x2，∴当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F．(2)解：设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y=2x+b．设过点A，B的直线方程为y=−12x+m，联立方程，得{y=2x2,y=−12x+m,消去y，得2x2+12x−m=0，∴x1+x2=−14.∵A，B是抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ=14+8m>0，即m>−132.设线段AB的中点N的坐标为(x0,y0)，则x0=−18，y0=−12x0+m=116+m．又点N在直线l上，∴116+m=−14+b，于是b=516+m>516−132=932，∴l在y轴上的截距的取值范围是(932, +∞)．【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的性质直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：点F在直线l上⇒|FA|=|FB|⇒A,B两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线与x轴平行，∴上述条件等价于y1=y2⇒x12=x22⇒(x1+x2)(x1−x2)=0，∵x1≠x2，∴当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F．(2)解：设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y=2x+b．设过点A，B的直线方程为y=−12x+m，联立方程，得{y=2x2,y=−12x+m,消去y，得2x2+12x−m=0，∴x1+x2=−14.∵A，B是抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ=14+8m>0，即m>−132.设线段AB的中点N的坐标为(x0,y0)，则x0=−18，y0=−12x0+m=116+m．又点N在直线l上，∴116+m=−14+b，于是b=516+m>516−132=932，∴l在y轴上的截距的取值范围是(932, +∞)．。
2019-2020年高中数学人教A版选修2-1单元优选卷：(8)抛物线 Word版含答案
单元优选卷（8）抛物线1、设3,4θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,则关于,x y 的方程221sin cos x y θθ+=所表示的曲线是( ) A.焦点在y 轴上的双曲线 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆D.焦点在x 轴上的椭圆2、椭圆22214x y m +=与双曲线22212x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A.1±B.1C.-1D.不存在3、双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( ) A.22或2B.7C.22D.24、一动圆与两圆：221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A.抛物线B.圆C.双曲线的一支D.椭圆5、已知12(8,3),(2,3)F F -为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当3a =和5a =时，点P 的轨迹分别为( )A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，与x 轴的两个交点分别为12,,A A P为双曲线上任意一点，则分别以线段112,PF A A 为直径的两个圆的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.以上情况都有可能7、椭圆22221(0)x y m n m n +=>>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点为12,F F ,若P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值是( )A.m a -B.22m a -C.2m a-8、若双曲线221(1)x y n n-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=则12PF F △的面积为( )A.1B.12C.2D.49、已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(1,3)-B.(-C.(0,3)D.10、如图，已知双曲线的方程为2222(0,0)x y a b a b-=>>，点,A B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点21,,F AB m F =为双曲线的左焦点，则1ABF △的周长为( )A.22a m +B.42a m +C.a m +D.24a m +11、设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ,若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_________.12、已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当14t <<时，曲线C 表示椭圆； ②当4t >或1t <时，曲线C 表示双曲线； ③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. 其中判断正确的是________.(只填判断正确的序号)13、已知圆22490x y x +--=与y 轴的两个交点,A B 都在某双曲线上,且,A B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为________.14、一动圆过定点(4,0)A -，且与定圆22:(4)16B x y -+=相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_________.15、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4),A P 是双曲线右支上的动点,则PF PA +的最小值为__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：由题意知221sin cos x y θθ-=-，因为3,4θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以sin 0,cos 0θθ>->，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线.故选B2答案及解析： 答案：A解析：验证法：当1m =±时，21m =，对椭圆来说，2224,1,3a b c ===.对双曲线来说，2221,2,3a b c ===，故当1m =±时，它们有相同的焦点.直接法：显然双曲线的焦点在x 轴上，故2242m m -=+，则21m =，即1m =±.3答案及解析： 答案：A解析：∵225a =，∴5a =.设点为P ，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可得1210PF PF -=.由题意设112PF =，则1210PF PF -=±,解得222PF =或2.4答案及解析： 答案：C解析：由题意两定圆的圆心坐标为12(0,0),(4,0)O O ，半径分别为1,2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则121,2CD r CO r =+=+，∴211214CO CO OO -=<=,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.5答案及解析： 答案：D解析：1210F F ==,当3a =时，12610PF PF -=<,∴点P 的轨迹为靠近点2F 的双曲线一支；当5a =时，121210PF PF F F -==，∴点P 的轨迹为靠近点2F 的一条射线.6答案及解析： 答案：B解析：设以线段112,PF A A 为直径的两圆的半径分别为12,r r ，双曲线的右焦点为2F .若P 在双曲线左支，如图所示，则1221112111(2)222O O PF PF a PF a r r ==+=+=+，即圆心距为半径之和，两圆外切.若P 在双曲线右支，同理求得1212OO r r =-，故此时，两圆相内切.综上，两圆相切，故选B7答案及解析： 答案：B解析：由题意，不妨设P 在双曲线的右支上，则12122,2PF PF m PF PF a +=-=，∴1PF m a =+,2PF m a =-，∴2212PF PF m a ⋅=-.8答案及解析： 答案：A解析：设点P 在双曲线的右支上，则12PF PF -=.已知12PF PF +=解得1PF =2PF =122PF PF ⋅=.又12F F =，则2221212PF PF F F +=，所以12PF F △为直角三角形，且1290F PF ∠=︒,所以1212112122PF F S PF PF =⋅=⨯=△.故选A9答案及解析： 答案：A解析：由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<.又由该双曲线俩焦点间的距离为4，得2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<.10答案及解析： 答案：B解析：由双曲线的定义，知12122,2AF AF a BF BF a -=-=.又22AF BF AB +=,所以1ABF △的周长为114242AF BF AB a AB a m ++=+=+.11答案及解析：答案： 解析：12答案及解析： 答案：②③④解析：①错误，当52t =时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4)(1)0t t --<，∴1t <或4t >；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，∴512t <<；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩∴4t >.13答案及解析：答案：221972y x -= 解析：易知圆22490x y x +--=与y 轴的交点坐标为(0,3),(0,3)-.因为圆与y 轴的两个交点,A B 都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在y 轴上，且3a =.又因为,A B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以9c =，所以272b =，所以此双曲线的标准方程为221972y x -=.14答案及解析：答案：221(2)412x y x -=≤- 解析：设动圆圆心为点P ,则4PB PA =+，即48PB PA AB -=<=.∴点P 的轨迹是以(4,0),(4,0)A B -为焦点，且24,2a a ==的双曲线的左支.又∵28c =，∴4c =.∴22212b c a =-=.∴动圆圆心的轨迹方程为221(2)412x y x -=≤-.15答案及解析： 答案：9解析：设双曲线221412x y -=的右焦点为H .∵F 是双曲线的左焦点，∴2,4,(4,0)a b c F ===-，右焦点(4,0)H .由双曲线的定义，得2249PF PA a PH PA a AH +=++≥+==.。
2020秋高中数学人教A版选修2-1课时作业：2.4.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析
姓名，年级：时间：第二章2。
4 2。
4.1请同学们认真完成练案[17］A级基础巩固一、选择题1．在平面直角坐标系内,到点（1，1）和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( A )A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[解析］∵点（1,1）在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1，1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是( C )A．4 B．3C．2 D．1[解析］∵抛物线的方程为y2＝4x，∴2p＝4,p＝2.由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝2.故选C．3．抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0的对称曲线的焦点坐标为（ B ）A．（1,0) B．(－1,0)C．错误!D．错误![解析］由题意可得：抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线方程为：（－y)2＝4（－x），即y2＝－4x，其中p＝2，所以抛物线的焦点坐标为（－1，0）．故选B．4．过点A（3,0）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( D )A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线[解析］如图,设点P为满足条件的一点,不难得出结论:点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线,因此选D．5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6,则点P到该抛物线焦点的距离为（ B )A．12 B．8C．6 D．4[解析］∵点P到y轴的距离为6，∴点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8，根据抛物线的定义知点P到抛物线焦点的距离为8。
6．O为坐标原点,F为抛物线C：y2＝4错误!x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4错误!，则△POF的面积为( C )A．2 B．2错误!C．2错误!D．4[解析］抛物线C的准线方程为x＝－错误!,焦点F（错误!，0），由｜PF｜＝4错误!及抛物线的定义知，P点的横坐标x P＝3错误!,从而y P＝±2错误!,∴S△POF＝12｜OF|·|y P｜＝错误!×错误!×2错误!＝2错误!.二、填空题7．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为__－错误!__.[解析] 抛物线方程化为标准形式为x2＝错误!y，由题意得a〈0，∴2p＝－错误!,∴p＝－错误!，∴准线方程为y＝错误!＝－错误!＝2，∴a＝－错误!.8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A （2,0）,则抛物线的准线方程为__x＝－2__（提示：抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行）．[解析] 由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2。
最新整理高二数学人教A版选修2-1测试题(第2.4.1 抛物线及其标准方程) Word版含答案.doc
绝密★启用前2.4.1抛物线及其标准方程一、选择题1．【题文】抛物线()20y ax a =>的焦点坐标为（ ） A ．(),0a B ．1,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,8a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．【题文】抛物线214y x =的准线方程是（） A ．1y = B ．1y =- C ．1x =- D ．1x = 3．【题文】抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()0,1B.()1,0C.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭4．【题文】顶点在原点，经过圆22:2220C x y x y +-+=的圆心，且准线与x 轴垂直的抛物线方程为（）A.22y x =-B.22y x =C.22y x =D.22y x =-5．【题文】已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则PF =（）A ．2B ．3C ．4D ．56．【题文】抛物线()220y px p =>上一点()0,8M x 到焦点的距离是10，则0x =（） A ．2或8 B ．1或9 C ．1或8 D ．2或9 7．【题文】以x 轴为对称轴，以原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=的圆心的抛物线的方程是（）A ．23y x =或23y x =-B ．23y x =C ．29y x =-或23y x =D ．29y x =8．【题文】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A. 直线B.圆C.双曲线D.抛物线 二、填空题9．【题文】抛物线2116y x =的焦点与双曲线2213x y m -=-的上焦点重合，则m =________.10．【题文】抛物线()20y nx n =>的准线方程为________．11．【题文】抛物线2x my =的准线与直线2y =的距离为3，则此抛物线的方程为__________. 三、解答题12．【题文】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线22142x y -=上，求抛物线的方程.13.【题文】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点在直线3150x y ++=上；(2)开口向下的抛物线上一点(),3Q m -到焦点的距离等于5.14．【题文】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由．2.4.1抛物线及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】C【解析】()20y ax a =>变形为2111,2,24p x y p a a a =∴=∴=，焦点为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：由抛物线的方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】一般2. 【答案】B【解析】将抛物线方程214y x =变成标准方程为24x y =，所以其准线方程是1y =-， 故选B.考点：由抛物线方程求准线方程. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C【解析】抛物线方程变形为2111,2,44216p x y p =∴=∴=，焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：根据抛物线方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】B【解析】圆C 的圆心坐标为()1,2-，依题意抛物线方程可设为2y mx =，把坐标()1,2-代入得222m y x =⇒=.考点：求抛物线方程. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】B【解析】由抛物线方程可知()1,0F ，由点P 的横坐标是2得22y =±，即点()2,22P ±，3PF ∴=，故选B.考点：抛物线上的点及抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】抛物线的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22080102p x ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭，又0642px =，所以02x =或8，故选A.考点：已知方程求抛物线上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】D【解析】圆的圆心坐标为()1,3-，则可设抛物线方程为22y px =，将圆心坐标代入抛物线方程解得92p =，所以抛物线的方程为29y x =. 考点：求抛物线的方程. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】D【解析】如图所示，连接1PC ，过P 作PH BC ⊥于H ，∵11C D ⊥平面11BB C C ，1PC ⊂面11BB C C ，∴111PC C D ⊥，∴1PC PH =，故点P 的轨迹是以1C 为焦点，BC所在直线为准线的抛物线，故选D.考点：抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】13 【解析】抛物线2116y x =的焦点为()0,4，所以23413.m m +=⇒= 考点：抛物线的焦点. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】()104y n n=-> 【解析】由()20y nx n =>得21x y n =，所以112,,2p p n n ==124p n=，准线方程为()104y n n =->，所以应填()104y n n=->． 考点：根据抛物线方程求准线方程． 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】220x y =-或24x y = 【解析】准线方程为4m y =-，∴234m--=，∴20m =-或4m =，∴220x y =-或24x y =．考点：抛物线的定义与标准方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】28y x =或28y x =-【解析】由题意知抛物线的焦点为双曲线22142x y -=的顶点，即为()2,0-或()2,0，因为抛物线关于x 轴对称，所以可设抛物线的标准方程为()220y px p =±>，则2,42pp ==，所以抛物线的标准方程为28y x =或28y x =-. 考点：求抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】较易13. 【答案】(1)260y x =-或220x y =-(2)28x y =-【解析】(1)∵直线3150x y ++=与x 轴的交点为()15,0-，与y 轴的交点为()0,5-， ∴抛物线方程为260y x =-或220x y =-.(2)∵(),3Q m -到焦点的距离等于5，∴Q 到准线的距离也等于5. ∴准线方程为2y =，即2p＝2，∴4p =，抛物线标准方程为28x y =-. 考点：根据条件求抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】此车不能通过隧道【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,3B --，()3,3A -．设抛物线方程为()220x py p =->，将B 点的坐标代入得32p =，∴抛物线方程为()2330x y y =--≤≤． ∵车与箱共高4.5 m ，∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m .则可设抛物线上点D 的坐标为()0,0.5x -，则()2030.5x =-⨯-，解得03622x =±=±.∴'0263DD x ==<，故此时车不能通过隧道． 考点：抛物线方程的应用. 【题型】解答题 【难度】一般。
人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ∈，则b B ∈，那么命题p ⌝是（ ） A ．若a A ∈，则b B ∉ B ．若a A ∉，则b B ∉ C ．若b B ∉，则a A ∉D ．若b B ∈，则a A ∈5．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（ ）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②()()22=a b ；③()2⋅=a a b ，其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是（ ） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ⌝”是“B ⌝”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量()(),3x x =∈R a ，则“4x =”是“5=a ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（ ） A ．{},x y ∀∈锐角，sin sin s )n (i x y x y +>+ B ．{},x y ∀∈锐角，sin cos c )s (o x y x y +>+ C ．{},x y ∀∈锐角，cos sin c )s (o x y x y +<+ D ．{},x y ∀∈锐角，cos cos s )n (i x y x y -<+10．以下判断正确的是（ ）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x ∀∈Z ，32x x >”的否定是“x ∃∈Z ，32x x >”C ．“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知命题p ：函数()log 05()3f x x =-．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k <0，则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12．已知向量),(x y =a ，co ()s ,sin αα=b ，其中x y α∈R ，，，若4=a b ， 则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．λ>3或λ<－3 B ．λ>1或λ<－1 C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令()221:0p x ax x ++>，如果对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________． 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，t a n x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，210x x -+>．则命题“p q ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋b y ＋1＝0，则12l l ⊥的充要条件是3ab =-；③若()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则t a nα＝5t a nβ；④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =，所得弦长为2． 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，则=b c ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1．20．(12分)已知p ：2290x x a -+<，q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1，2cos2x ＋2)和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy ≥，则0x ≥，0y ≥”，是假命题，所以否命题也是假命题， 所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ． 2．【答案】B【解析】可设{}1,2A =，{}1,2,3B =，满足A B ⊆，但A B ≠，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真． 3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直，故选C ． 4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ⌝”．故选A ． 5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ． 6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断． 7．【答案】B【解析】由于“A ⇒B ，A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐，A ⌝/⇒B ⌝”，故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件．故选B ． 8．【答案】A【解析】由“4x =”，得)3(4,=a ，故5=a ；反之，由5=a ，得4x =±．所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件．故选A ． 9．【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=，而当{},x y ∈锐角时，0cos 1y <<，0sin 1x <<，所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+，故选项D 正确． 10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为0x ∃∈Z ，3200x x ≤；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确． 11．【答案】D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断． 12．【答案】B【解析】由已知1=b ，∴44==a b，4．又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ，由于2λ⋅<a b 成立，则24λ>，解得λ>2或λ<－2，这是2λ⋅<a b 成立的充要条件，因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 14．【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ，2210ax x ++>恒成立．显然0a =不合题意， 所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >．15．【答案】1a > (不惟一)【解析】2()(0)21a a -->的解集记为B ＝{1|a a >且a ≠2}，所找的记为集合{}1A a a =>，则B ⇒A ，B /⇐A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q ⌝∧假，①正确； 对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0； 对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ⌝：∃非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，使≠b c ．p ⌝为真命题． 否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-≠a b c ，则≠b c ．否命题为真命题． 18．【答案】()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【解析】命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且240a a -<”．解得0≤a <4．命题Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，则140a ∆=-≥，得14a ≤． 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题， 故P Q ⌝∧为真命题，或P Q ⌝∧为真命题，则0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或或0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得a <0或144a <<．所以实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ∆=->⇔<，并且10a<，从而a <0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证． 20．【答案】a ≤9．【解析】由22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324x x <<⎧⎨<<⎩，即2<x <3．∴q ：2<x <3．设{}290|2A x x x a =-+<，B ＝{x |2<x <3}，∵p q ⌝⌝⇒，∴q ⇒p ．∴B ⊆A ．∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2290x x a -+<．∴2<x <3满足不等式292a x x <-．∵当2<x <3时，222981819818192229,21616488x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤-=--+-=--+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，即2819928x x <-≤，∴a ≤9． 21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直， 得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：22cos cos 0x x -≠， 所以cos x ≠0或1cos 2x ≠． 而当[]0,x ∈π时，cos2π=0，1cos 32π=， 故存在2x π=或3x π=，使向量OP OQ ⊥成立，因而p 是假命题． 22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴()()()32332232111a b ab a b a a a a a a ++--=+--+--- 323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：∵33220a b ab a b ++--=，即()()()22220a b a ab b a ab b --+-+=+， ∴()()2210a ab b a b -+-=+，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴2222324b ba ab b a⎛⎫-+=-+≠⎪⎝⎭，只有1a b+=．综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．。
高中数学人教A版选修2-1抛物线训练题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作抛物线训练题（含答案） A 组一填空题：（每题5分，合计40分）1抛物线y=4x 2的焦点坐标是_______(0,116) 2准线方程为x=2的抛物线的标准方程是____y 2=-8x3点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为________x 2=-12y 或y 2=16x4一直线过点(-p 2,0)交抛物线y 2=-2px 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，且|AB|=3p, x 1+ x 2=-2，则抛物线方程为__y 2=-2x5抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则抛物线焦点到弦AB 所在直线的距离是____2 6抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点横坐标是____ 27过抛物线y=4x 2的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则1p +1q=____168以双曲线x 24-y 25=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是____. y 2=12x二选择题（每题5分,合计40分）9抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)( A ) 1716 ( B ) 1516 ( C ) 78( D ) 010已知椭圆的中心在原点，离心率e=12，且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ A ）A ．x 24+y 23=1B ．x 28+y 26=1C ．x 22+y 2=1D ．x 24+y 2=111双曲线x 2m -y 2n =1(mn ≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为（ A ）A ．316 B ．38 C ．163 D ．8312已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|→MN |·|→MP |+→MN ·→NP =0，则动点P（x ，y ）的轨迹方程为（ D ）（A ）y 2=8x （B ）y 2=-8x （C ）y 2=4x （D ）y 2=-4x13已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则p 为( B )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）14抛物线y 2=4x 上与焦点相距最近的点的坐标是（ B ） A 、（0，0） B 、（1，2） C 、（1，-2） D 、以上都不是15动点P 到定点F （0,3）的距离等于到定直线2x+y-3=0的距离则点P 的轨迹是（C ） A .x 2=12y B .2x+y-3=0 C. x-2y+6=0 D.y=12 x 216已知抛物线y 2=a(x-1)的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 (B)A ．1B ．2C ．3D ．4三解答题（17题6分，18题14分）17已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C 的方程。
新人教A版(选修2-1)《抛物线》word训练题
抛物线训练题(含答案)A组一填空题：(每题5分，合计40分)1抛物线y=4x2的焦点坐标是_______ (0,16)2准线方程为x=2的抛物线的标准方程是______ y2=-8x3点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为_________ x2=-12y或y2=16xp 24一直线过点(-2,0)交抛物线 y =-2px于 A(x i,y i),B(X2,y2)两点，且|AB|=3p, x i+ X2=-2, 则抛物线方程为__y2=-2x5抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=4 ;3,则抛物线焦点到弦AB所在直线的距离是_____________ 26抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5,则线段AB中点横坐标是____ 27过抛物线y=4x2的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的1 1长分别为p、q，则-+-= 16p q-----2 28以双曲线-葺=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是.____ y2=12x二选择题(每题 5分，合计40分)9抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(B)17 15(A ) 117 ( B ) 屁 (C )1 210已知椭圆的中心在原点，离心率 e=^，且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x的焦点重合，则此椭圆方程为(A )2 2 2 2 2 2x v x v x 2x 2A . 4+3=1 B. §+ 6=1 c. 2+y =1D - 7+y =12 211双曲线xmyn=1(mn工0)离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn 的值为( A )C.1612已知两点M ( — 2, 0)、N (2, 0),点P为坐标平面内的动点，满足|刑2而P|+M N NP=0,则动点P (x, y)的轨迹方程为(D )(A) y2=8x (B) y2=-8x (C) y2=4x (D) y2=-4x2 2 213已知圆x +y -6x-7=0与抛物线y =2px(p>0)的准线相切，则p为(B )(A) 1 ( B) 2 (C) 3 ( D) 14抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是( B )A 、 （0， 0）15动点P 到定点 A .x 2=12y 16已知抛物线y 2=a （x-1）的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角 形的面积为（B ）A. 1B. 2 三解答题（17题6分，18题14分）17已知动圆过定点F （0,2）,且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C 的方程。
高中数学人教版选修2-1课时达标检测(十二) 抛物线及其标准方程 Word版含解析
课时达标检测（十二）抛物线及其标准方程一、选择题．顶点在原点，且过点(－)的抛物线的标准方程是( )．＝－．＝．＝－或＝．＝或＝－解析：选设抛物线方程为＝－或＝，把(－)代入得＝或＝，即＝或＝.故抛物线的标准方程为＝－或＝.．已知点(，)在抛物线＝上，且点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为( )．．．．解析：选准线方程为＝－，∴＋＝，＝.∴焦点到准线的距离为＝.．已知抛物线＝(＞)的准线与圆(－)＋＝相切，则的值为( )．．．解析：选∵抛物线＝的准线＝－与圆(－)＋＝相切，∴－＝－，即＝.．设圆与圆＋(－)＝外切，与直线＝相切，则的圆心轨迹为( )．抛物线．双曲线．椭圆．圆解析：选由题意知，圆的圆心到点()的距离比到直线＝的距离大，即圆的圆心到点()的距离与到直线＝－的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．．已知点在抛物线＝上，那么点到点(，－)的距离与点到抛物线焦点距离之和取最小值时，点的坐标为( )．() ．(，－)解析：选点到抛物线焦点距离等于点到抛物线准线距离，如图，＋＝＋，故最小值在，，三点共线时取得，此时，的纵坐标都是－，点坐标为.二、填空题．抛物线＝的焦点坐标是．解析：解析：方程改写成＝，得＝，∴＝，即焦点()．答案：()．已知抛物线＝(＞)上一点(，)到其焦点的距离为，双曲线－＝的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数＝.解析：根据抛物线的定义得＋＝，＝.不妨取()，则的斜率为，由已知得－×＝－，故＝.答案：．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为()．其中满足抛物线方程为＝的是．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线＝的焦点在轴上，②满足，①不满足；设(，)是＝上一点，则＝＋＝＋＝≠，所以③不满足；由于抛物线＝的焦点为，过该焦点的直线方程为＝，若由原点向该直线作垂线，垂足为()时，则＝－，此时存在，所以④满足．答案：②④三、解答题．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点(，－)到焦点的距离为，求的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为＝－(＞)，则焦点，准线：＝.作⊥，垂足为，则＝＝，而＝＋，＋＝，。
高中数学 专题2.4.1 抛物线及其标准方程测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)
高中数学专题2.4.1 抛物线及其标准方程测试（含解析）新人教A版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题2.4.1 抛物线及其标准方程测试（含解析）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题2.4.1 抛物线及其标准方程测试（含解析）新人教A版选修2-1的全部内容。
抛物线及其标准方程(时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．在平面直角坐标系内,到点（1,1）和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( ）A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[答案］A［解析］∵点(1,1）在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点（1,1）且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．过点F（0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y［答案］C［解析］由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( )A．2 B．3C．4 D．5[答案] D4．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P（2,2错误!)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为( )A．1 B．错误!C．2 D．错误!［答案] D[解析] ∵点P（2，2错误!）在抛物线上，∴（2错误!）2＝2m，∴m＝4,P到抛物线准线的距离为2－（－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝错误!＝错误!。
高中数学抛物线单元测试题新人教A版选修1
t2
2( ) t 5 4
t 2 2t 10
d
5
25
当t
1 时， d 取得最小值，此时
1 P ( , 1) 为所求的点
4
解法二、显然抛物线 y2 4x 与直线 y 2x 5 无公共点，设与直线
y 2x 5 平行且与
抛物线 y2 4x 相切的直线方程为 y 2 x b ，切点为 P，则点 P 即为所求点。
19．（本小题满分 12 分）如图，已知点 F (1，0) ，直线 l : x 1， P 为平面上的动点，
过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q ，且 QP QF FP FQ ．
ly
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A，B 两点，交直线
F
l 于点 M ，已知 MA 1 AF ， MB 2 BF ，求 1 2 的值 . 1 O 1
1
2
4
AB
1 k 2 x1 x2
5 ( x1 x2 )2 4 x1x2
p 5(
2)2
4
1
2
4
p2
则
p
4
3, p2 4 p 12 0, p 2, 或6
y2 4x，或 y2 12x
15 ，
（ 2 ）解法一、显然抛物线
y2
4x 与直线 y 2x 5 无公共点，设点 P( t 2 ,t ) 为抛物线
4
y2 4x 上的任意一点，点 P 到直线 y 2x 5 的距离为 d ，则
）
A 相交
B 相切
C ．相离
Ｄ．以上三种均有可能
3 设 AB 为过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点的弦，则 AB 的最小值为（
人教A版选修2-1抛物线测试题1
抛物线测试题（1）一．选择题1.抛物线218y x =-的准线方程是( ) A.132x =B.12x = C.y=2 D.y=4解析:对于此类问题,解决过程中尤其要注意所给的方程形式是否是标准方程形式,否则容易出错.由218x -得2x =-8y,故其准线方程是y=2. 答案:C2.若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为( ) A.x 2=-28yB.y 2=28xC.y 2=-28xD.x 2=28y【解析】选B.由准线方程为x=-7,所以可设抛物线方程为y 2=2px(p>0),由=7,所以p=14,故方程为y 2=28x.3．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 解：6．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,2px y p ==±min 2AB p =4.过点M(2,4)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有条( ) A.1 B.2 C.3D.0解析:∵点M 在抛物线上,一条是与x 轴平行的线,另一条为切线. 答案:B5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92= 解：D 圆心为(1,3)-，设22112,,63x py p x y ==-=-； 设2292,,92y px p y x === 6．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,4B ．1(,8C ．1(4D ．1(8解：B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =，过点P 所作的高也是中线18x P ∴=，代入到x y =2得y P =1(,8P ∴ 7．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2解：D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取得最小值，即2y M =，代入x y 22=得2x M =8.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点A 、B ，其中点A 的坐标是)2,1(，设抛物线的焦点为F ，则FB FA +等于（A ）7．(B)53． (C)6． (D)5．9.抛物线2y x =上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是)A.3524(), B.(1,1)C.3924(), D.(2,4)解析:设P(x,y)为抛物线2y x =上任一点, 则P 到直线的距离为22d ===当x=1时,d 此时P 点坐标为(1,1). 答案:B10. 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为A (A) 112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. (B) []10-，. (C) []01，. (D) 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 11.对于抛物线C:24y x =,我们称满足2004y x <的点0(M x 0)y ,在抛物线的内部,若点00()M x y ,在抛物线的内部,则直线l:002()y y x x =+与C 的位置关系是 ( )A.恰有一个公共点B.恰有两个公共点C.可能有一个,也可能有两个公共点D.无公共点解析:由 20042()y x y y x x ⎧=,⎨=+,⎩ 消去x 得200240y y y x -+=,∴2000041616160y x x x ∆=-<-=,∴无公共点. 答案:D12．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3解：A 22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 13.已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,直线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=( ) A.2∶B.1∶2C.1∶D.1∶3【解题指南】由抛物线的定义把|FM|转化为点M 到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA 的倾斜角为θ,因为F(0,1),A(2,0),所以直线FA 的斜率为-,即tan θ=-,过点M 作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线定义得|FM|=|MQ|,在△MQN 中=,可得=,即|FM|∶|MN|=1∶.二．填空题14．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是_____ 解： 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p15.设抛物线28y x =的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点PA l A ,⊥,为垂足,如果直线AF 的斜率为那么|PF|=_____.解析:∵直线AF的斜率为∴60PAF ∠=. 又|PA|=|PF|,∴△PAF 为正三角形. ∴|PF|=|AP|=2p=8. 答案:816．动直线y ＝a 与抛物线y 2＝12x 相交于A 点，动点B 的坐标是(0,3a )，则线段AB 的中点M的轨迹方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a y 2＝12x ，解得A (2a 2，a )，设M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2y ＝2a ，∴x ＝14y 2，∴y 2＝4x .答案：y 2＝4x17．已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线y2=x 上的点到直线AB 的最短距离为__________。
人教版高中数学选修2-1 抛物线及其标准方程练习
解：
(1)如图(1)，易知抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
∵点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F(1,0)的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小．
如图(2)，显然P是A、F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝ .
解析：抛物线方程化为标准形式为x2＝ y，其准线方程为y＝－ ＝2，所以a＝－ .
答案：B
6．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为()
A．y2＝－16x
B．y2＝8x
C．y2＝16x或y2＝－8x
D．y2＝－16x或y2＝8x
解析：抛物线的准线方程为x＝－ ，则 ＝3，m＝8或－16.
答案：y2＝8x
8．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设圆心为C，则|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．
所以所求轨迹方程为x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
9．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
答案：A
12．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________．
解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6.
答案：6
13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A 和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
高中数学选修2-1抛物线测试卷
《抛物线》单元测试题一、选择题（每小题5分，共50分）1． 抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2 B. 3 C.4 D.52. 抛物线y=ax 2 的焦点坐标是( ))a ,.(D ),a .(C )a ,.(B )a ,.(A 40 04 410 410- 3.动圆M 经过点A(3,0)且与直线L:x=-3相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.y 2=12xB. .y 2=36xC. y 2=3xD. y 2=24x4.抛物线.y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是( )A.4B.8C.16D.325.直线与抛物线有且只有一个公共点,是直线和抛物线相切的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.过抛物线.y 2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=6,则线段AB 中点M 到抛物线准线的距离等于( )A.3B.2C.5D.47. 过抛物线.y 2=2px (p>0)的焦点作直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则2121x x y y 为( ) A.4 B.-4 C.p 2 D.- p 28．已知双曲线)a (y ax 0 1222>=-的一条准线与抛物线.y 2=-6x 的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）332 26 23 23.D .C .B .A 9．若点P 在抛物线.y 2=x 上，点Q 在圆(x-3)2+y 2=1上，则|PQ|的最小值为( )1211D. C.2 1210B. 13---.A 10.定长为4的线段AB 的两端点在抛物线x 2=4y 上移动，则AB 中点M 的纵坐标的最小值是（ ）A ．21 B.1 C.2 D.4二.填空题(每小题5分,共20分)11.抛物线x 2=y 的通径长是------------.12.抛物线x=ay 2的准线方程是x=2,则a 的值是---------.13.P 是抛物线.y 2=6x 上的点,若P 到点),(023的距离为15,则 P 点到直线2x+5=0的距离是----------------.14.经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦的中点的轨迹方程是----------.三.解答题(每题15分,共30分)15.过抛物线.y 2=8x 的焦点F 作互相垂直的两弦AB 和CD, 试求|AB|+|CD|的最小值.16.已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) .y 2=2px (p>0)是抛物线.y 2=2px (p>0)上两点,且OA ⊥OB,(O 为原点).(1) 求证:y 1y 2=-4p 2;(2) 求原点O 在直线AB 上的射影H 的轨迹方程.参考答案:一.DAABB DBDDB.二.1，81-，16，y 2=2(x-1). 三.15.设AB:y=k(x-2),并且. A(x 1,y 1),B(x 2,y) ⎩⎨⎧=-=xy )x (k y 822 →k 2(x-2)2=8x, →K 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0∴x 1+x 2=4+28k ∴|AB|=|AF|+|BF|= x 1+x 2+4=8+28k . ∵CD ：)x (ky 21--=∴|CD|=8+8k 2. 故|AB|+|CD|=16+8（k 2+21k.）≥32 当且仅当k=1±时上式取最小值16.(1) .p y y ,y y .y y py y y y x x OB OA 2212121222212121400400-=∴≠=+→=+∴=⋅→⊥(3) 设AB ：x=my+n )x .(p y )p x (H ），（OM ，H ).,p M （p :AB .p n p pn :)(.pn y y pn pmy y pxy n my x 0022my x 24212022222222122≠=+-+=∴=→-=--=∴=--→⎩⎨⎧=+=点的轨迹方程为故除原点为直径的圆点轨迹是以由此知恒过定点由。
人教A版高中数学选修内蒙古自治区单元测试抛物线理新
内蒙古自治区新人教A 版数学高三单元测试22【抛物线】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 已知抛物线22y px =上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-42. 将抛物线x y 42=沿向量a 平移得到抛物线x y y 442=-，则向量a 为A ．(－1,2)B ．(1,－2)C ．(－4,2)D ．(4,－2)3. 抛物线2y ax =的焦点坐标为A ．1(0,)aB ．(0,)4aC ．1(0,)4a D ．1(,0)4a4. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则这个正三角形的边长为（ ）A ．B ．C ．8D ．165. 在22y x = 上有一点P ，它到(1,3)A 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．（－2，1）B ．（1，2）C ．(2，1）D ．（－1，2） 6. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =7. 抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －10＝0的最小距离为（ ）A ．955B ．0C ．95D ．558. 两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(,0)16-B ．2(,0)5-C ．1(,0)5-D ．1(,0)59. 直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ≥，则|FA |的取值范围是（ ）A ．)23,41[B ．13(,442+ C ．]23,41( D ．]221,41(+10. 已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ）（A ）3 （B ）2 （C （D 二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 设点F 为24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则||||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r.12. 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为__ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新人教A 版选修2-1《抛物线》word 单元测试 一、选择题（每题5分共50分）1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ．)41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82=B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A ．yx 292-=或x y 342= B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．x y 292-=5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,,成等差数列，则 （ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA +取得最小值时点P 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式2121x x y y 的值一定等于 （ ）A ．4pB ．－4pC ．p2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp 11+ （ ）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是 （ ）A ．21aB ．21pC ．21a ＋21pD ．21a －21p 二、填空题（每题5分共20分）11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p___________．13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 ．14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件； （1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题（共80分）15．（12分）已知点A （2，8），B （x1，y1），C （x2，y2）在抛物线px y 22=上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程. 16．（11分）已知抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a 的取值范围.17．（12分）抛物线x2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.18．（15分）已知抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．（1）若C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标（x0，y0）；（2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.19．（15分）已知抛物线y2=4ax(0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点． （1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.20．（15分）如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.参考答案一、选择题二、填空题11．)42,81(± 12． 2 13．)413,(--∞ 14． （2），（5）三、解答题15．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）. （2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FM AF，设点M 的坐标为),(00y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+x y x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ， 所以k y y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x16．[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x+y=a(x+y)(x －y),∵P 、Q 为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，∴a 1y ,1-==-x a y x 即，代入②得a2x2－ax －a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得43>a ．17．[解析]：设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=kx －1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴ 1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x⇒3442-==k y kx ，消去k 得x2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x2=4(y+3)( 4>x )．18． [解析]：（1）由题意设过点M 的切线方程为：m x y +=2，代入C 得0)27(22=-++m x x ，则250)27(44=⇒=--=∆m m ，21252,100=+-=-=∴y x ，即M （－1，21）．（2）当a ＞0时，假设在C 上存在点),(11y x Q 满足条件．设过Q 的切线方程为：n kx y +=，代入 2742++=x x y 0)27()4(2=-+-+⇒n x k x ，则414)4(02n k -=-⇒=∆， 且,241-=k x 4221-=k y ．若0≠k 时，由于a k a k k x a y k k PQ 24121211±=⇒=⇒-=+-⇒-=，∴21211-=-=a y a x 或 2121-=--=a y a x ；若k=0时，显然)21,2(--Q 也满足要求． ∴有三个点（－2212a -），（－2212a -）及（－2，－21），且过这三点的法线过点P （－2，a ），其方程分别为：x ＋＋2－0，x －＋2＋0，x ＝－2.当a ≤0时，在C 上有一个点（－2，－21），在这点的法线过点P （－2，a ），其方程为：x＝－2.19．[解析]：（1）F （a,0）,设),(),,(),,(002211y x P y x N y x M ，由16)4(4222=+--=y a x axy 0)8()4(222=++-+⇒a a x a x ，)4(2,021a x x -=+∴>∆ ，8)()(21=+++=+a x a x NF MF （2）假设存在a 值，使的NFPF MF ,,成等差数列，即21022x x x NF MF PF +=⇒+=a x -=⇒40 ①，∵P 是圆A 上两点M 、N 所在弦的中点，∴MNAP ⊥1212004x x y y a x y --=--⇒由①得448)(42222002212121212120<-=⇒-=+-=---=---=a y y a y y a x x y y a a x x y y ay ，这是不可能的．∴假设不成立．即不存在a 值，使的NFPF MF ,,成等差数列．20．[解析]：【解】(1) 解方程组 481212-=x y x y 得 2411-=-=y x 或 4822==y x即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由kAB==21,直线AB 的垂直平分线方程 y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．(2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x, 81x2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴SΔOPQ=21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x<43－4或43－4<x≤8.∵函数y=x2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．。