同态与同构
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(a b) (a) (b)
• 换一种表示，假定在 之下的像，
xx
• 上面的等式即:
a b ab
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a, b A,都有:
(a b) (a) (b)
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 A 和 A . 第一,我们需要一个映射 : A A ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 (a b) 和 A 的两个元,那么 (a) (b) 都有意 b 是 a 和 体的说,假如 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.
• 证明 我们用 f 来表示 A 到 A 的同态满射. （1）假定a, b, c 是 A 的任意三个元. 由于 f 是同态满 射,我们在 A 里至少找得出三个元 a , b , c 来,使得 在 f 之下,
同构的代数系统意味什么
例1
0 1 2
, A {0，1，2}
0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1
． A {3 ，4，5 }
3 3 4 5 3 4 5 4 4 5 3 5 5 3 4
各 A 是 A 与的代数运算 与 的表．
请比较两个运算表,方向异同之处?
来自百度文库
在A的运算表, 进行变换:
f 1 (ab) f 1[ f (a) f (b)] f 1[ f (a b)] a b f (a) f (b)
1 1
5.3 同态的代数系统
• 定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在 一个 A 到 A的同态满射 f ,就称 A 和 A同 态. • 记号: A A • 性质1 （1）反身性: A A （2）传递性: 注: 对称性不成立
,
• 定理2 假定, , 都是集合 A 的代数运算, , 都是 集合 A 的代数运算,并且存在一个 A 到 A 的满射 , 使得 A与 A 对于代数运算 , 来说同态,对于代数 运算 , 来说也同态.那么 (1) 若 , 适合第一分配律, , 也适合第一分配律. (2) 若 , 适合第二分配律, , 也适合第二分配律.
• 例3 2 : a 1 ( a 是 A 的任一元) • 固然是一个 A 到 A的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 A 的 a 和 b 来说,
a 1, b 1
a b 1 (1) (1)
进一步的定义
• 定义2 • (1)单同态:
• (2)满同态:
0 3,1 4, 2 5
变成了什么?． 它们可以用统一成为一个运算表……..
小结
• 现在我们看两个任意的，对于代数运算 和 来说 是同构的集合 A和 A．我们可以假定， A {a , b , c ,...}
A {a , b , c ,...} • 并且在 A 与 A 间的同构映射 之下， a a ，b b ， c c ，… • 由于同构映射的性质，我们知道， x y z x y z
a a, b b, c c
• 于是
( ab)c f ( a b)c f [(a b ) c ] f [ a (b c )] f (a ) f (b c ) a (bc )
注: 这种通过同态映射过渡的方法在证明具有 一般性 • (2)同学们按照上面的方法,给出证明.
• (3)同构映射:
性质 • 性质1 设 A, A, A 是三个代数系统,并且
f : A A, g: A A
是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, gf : A A仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射)
• 性质2 设 f : A A 是一个同构. 那么， f 1 : A A 也是一个同构. • 证明: • (1) f 1是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式
A与 A 这两个代数系统，没有任何区别（只 抽象地来看， 有命名上的不同而已）.
• 作业: • P23: 1 • P26:1,3
注: 同态映射简称为态射. • A ＝{所有整数}, A 的代数运算是普通加法. • A {1, 1} , A 的代数运算是普通乘法.
• 例1 证明 1 : a 1 ( a是 A 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 …… a 1 , • 例2 2 : 若是偶数 若是奇数 a 1 , • 证明: 2是一个 A 到 A 的满射的同态映射. 2 是 A 到 A 的满射.对于 A 的任意两 • 证明 : 显然 , • (2)若 a , b 都是奇数…… 个整数 a 和 b 来说,分三种情况: a b 也是偶数 • (3) (1)若a , b 都是偶数 ,那么 ,………. b 奇偶性相反 a和 2 (a) 1 , 2 (b) 1 , 2 (a b) 1 • • 所以, 2 (a b) 2 (a)2 (b)
• 证明 …… • 注: A A, 由 A的性质可以推出 A 具有同样的 性质; 反过来不成立.
5.5 同构的代数系统及其意义
定义
定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在一个 A到 A 的同构映射 f ,就称 A 和 A 同态. • 记号: A A 自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己 做。
• 换一种表示，假定在 之下的像，
xx
• 上面的等式即:
a b ab
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a, b A,都有:
(a b) (a) (b)
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 A 和 A . 第一,我们需要一个映射 : A A ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 (a b) 和 A 的两个元,那么 (a) (b) 都有意 b 是 a 和 体的说,假如 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.
• 证明 我们用 f 来表示 A 到 A 的同态满射. （1）假定a, b, c 是 A 的任意三个元. 由于 f 是同态满 射,我们在 A 里至少找得出三个元 a , b , c 来,使得 在 f 之下,
同构的代数系统意味什么
例1
0 1 2
, A {0，1，2}
0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1
． A {3 ，4，5 }
3 3 4 5 3 4 5 4 4 5 3 5 5 3 4
各 A 是 A 与的代数运算 与 的表．
请比较两个运算表,方向异同之处?
来自百度文库
在A的运算表, 进行变换:
f 1 (ab) f 1[ f (a) f (b)] f 1[ f (a b)] a b f (a) f (b)
1 1
5.3 同态的代数系统
• 定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在 一个 A 到 A的同态满射 f ,就称 A 和 A同 态. • 记号: A A • 性质1 （1）反身性: A A （2）传递性: 注: 对称性不成立
,
• 定理2 假定, , 都是集合 A 的代数运算, , 都是 集合 A 的代数运算,并且存在一个 A 到 A 的满射 , 使得 A与 A 对于代数运算 , 来说同态,对于代数 运算 , 来说也同态.那么 (1) 若 , 适合第一分配律, , 也适合第一分配律. (2) 若 , 适合第二分配律, , 也适合第二分配律.
• 例3 2 : a 1 ( a 是 A 的任一元) • 固然是一个 A 到 A的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 A 的 a 和 b 来说,
a 1, b 1
a b 1 (1) (1)
进一步的定义
• 定义2 • (1)单同态:
• (2)满同态:
0 3,1 4, 2 5
变成了什么?． 它们可以用统一成为一个运算表……..
小结
• 现在我们看两个任意的，对于代数运算 和 来说 是同构的集合 A和 A．我们可以假定， A {a , b , c ,...}
A {a , b , c ,...} • 并且在 A 与 A 间的同构映射 之下， a a ，b b ， c c ，… • 由于同构映射的性质，我们知道， x y z x y z
a a, b b, c c
• 于是
( ab)c f ( a b)c f [(a b ) c ] f [ a (b c )] f (a ) f (b c ) a (bc )
注: 这种通过同态映射过渡的方法在证明具有 一般性 • (2)同学们按照上面的方法,给出证明.
• (3)同构映射:
性质 • 性质1 设 A, A, A 是三个代数系统,并且
f : A A, g: A A
是两个同态映射(单同态、满同态、 同构映射).那么, gf : A A仍然是 同态映射(单同态、满同态、同构 映射)
• 性质2 设 f : A A 是一个同构. 那么， f 1 : A A 也是一个同构. • 证明: • (1) f 1是双射 • (2) 保持运算. 看一个关键等式
A与 A 这两个代数系统，没有任何区别（只 抽象地来看， 有命名上的不同而已）.
• 作业: • P23: 1 • P26:1,3
注: 同态映射简称为态射. • A ＝{所有整数}, A 的代数运算是普通加法. • A {1, 1} , A 的代数运算是普通乘法.
• 例1 证明 1 : a 1 ( a是 A 的任一元) • 是一个到的同态映射. • 证明 …… a 1 , • 例2 2 : 若是偶数 若是奇数 a 1 , • 证明: 2是一个 A 到 A 的满射的同态映射. 2 是 A 到 A 的满射.对于 A 的任意两 • 证明 : 显然 , • (2)若 a , b 都是奇数…… 个整数 a 和 b 来说,分三种情况: a b 也是偶数 • (3) (1)若a , b 都是偶数 ,那么 ,………. b 奇偶性相反 a和 2 (a) 1 , 2 (b) 1 , 2 (a b) 1 • • 所以, 2 (a b) 2 (a)2 (b)
• 证明 …… • 注: A A, 由 A的性质可以推出 A 具有同样的 性质; 反过来不成立.
5.5 同构的代数系统及其意义
定义
定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在一个 A到 A 的同构映射 f ,就称 A 和 A 同态. • 记号: A A 自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己 做。