勾股定理提高练习一(含答案)

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勾股定理练习题(含答案)

勾股定理练习题一、根底达标 :1.以下说法正确的选项是〔〕A. 假设 a 、b、c 是△ ABC的三边，那么 a2＋b2＝c2；B.假设 a 、b、c 是 Rt△ABC的三边，那么 a2＋b2＝c2；C. 假设 a 、b、c 是 Rt△ABC的三边，A 90 ，那么a2＋b2＝c2；222D. 假设 a 、b、c 是 Rt△ABC的三边，C 90 ，那么a＋b＝c．2.Rt △ABC的三条边长分别是a、b、c，那么以下各式成立的是〔〕A．a b c B. a b c C. a b c D. a2b2 c 2 3．如果 Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k〔k >1 〕，那么它的斜边长是〔〕A、2kB、k+1C、k2－ 1D、k2+14. a，b，c 为△ ABC三边，且满足 (a 2－b2)(a 2+b2－c2 ) ＝0，那么它的形状为〔〕A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为三角形的周长为〔〕A．121B．1206．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高A．42B．32C9，另两边为连续自然数，那么直角C ．90D．不能确定AD＝12，那么△ABC的周长为〔〕．42 或32D．37或337.※直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d ，那么这个三角形周长为〔〕〔A〕d2S 2d〔〕 d 2S d〔C〕2 d2BS 2d〔〕 2 d 2S dD8、在平面直角坐标系中，点 P的坐标是 (3,4)，那么 OP的长为〔〕A：3B：4C：5D： 79．假设△ ABC中，AB=25cm，AC=26cm高 AD=24,那么 BC的长为〔〕A．17 B.3 C.17或 3 D.以上都不对10． a、b、c 是三角形的三边长，如果满足(a 6)2 b 8 c 100那么三角形的形状是〔〕A：底与边不相等的等腰三角形B：等边三角形C：钝角三角形D：直角三角形11．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是．12.等腰三角形的腰长为 13，底边长为 10，那么顶角的平分线为＿＿ .13.一个直角三角形的三边长的平方和为 200，那么斜边长为14．一个三角形三边之比是10 : 8 : 6 ，那么按角分类它是三角形．15.一个三角形的三边之比为 5∶12∶13，它的周长为 60，那么它的面积是＿＿＿ .22216. 在 Rt△ABC中，斜边 AB=4，那么 AB＋BC＋AC=_____．17．假设三角形的三个内角的比是1: 2 : 3 ，最短边长为1cm，最长边长为2cm ，那么这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，ABC中，C90 ，BA 15 ，AC12 ，以直角边 BC 为直径作半圆，那么这个半圆的面积是．19．一长方形的一边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长是．BCA二、综合开展 :1．如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠ CAB的角平分线 AD折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE重合，你能求出 CD的长吗？CDB AE3. 一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m，高 8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民XX国道路交通管理条例〞规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 30m处，过了 2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？小汽车小汽车BCA观测点答案 :一、根底达标1. 解析 : 利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案:D.2. 解析：此题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案： B.3．解析：设另一条直角边为x ，那么斜边为〔 x+1〕利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长 . 答案： C ．4．解析：解决此题关键是要画出图形来，作图时应注意高 AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案： C.5．解析 : 勾股定理得到：17 2 82 152 ，另一条直角边是 15，1 15 860cm 2所求直角三角形面积为 2．答案:60cm 2．6．解析：此题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边, 反过来也是成立．答案 : a 2b 2c 2 ，c ，直角，斜，直角．7．解析 : 此题由边长之比是10 : 8 : 6 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角． 8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数 , 断定是直角三角形．答案：30 、6090，3．9．解析：由勾股定理知道：BC 2 AB 2 AC 2152 122 92，所以以直角边BC为直径的半圆面积为 10.125 π ．答案： 10.125 π ．10．解析 : 长方形面积长×宽，即12 长× 3，长4 ，所以一条对角线长为5．、9答案： 5cm ．二、综合开展11．解析：木条长的平方=门高长的平方 +门宽长的平方．答案： 5m ．12解析：因为 15 2202 252 ，所以这三角形是直角三角形，设最长边〔斜边〕上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得115201 25 x ，∴x12 ．答案：12cm2213．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出 .答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为 5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5× 20=100(m 2)．14．解析：此题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是 13m ，两再利用时间关系式求解 .答案： 6.5s ．15．解析：此题和 14 题相似，可以求出 BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比拟.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h ＞70 km/h．答案：这辆小汽车超速了．。

勾股定理练习题及标准答案(共6套)

勾股定理课时练（1）1.在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2BC 2AC 2的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该零件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） .3.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂之前高多少m ？5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米 .3m“路”4m第5题图第2题图6. 飞机在空中水平飞行, 某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞行多少千米 ?7.如图所示，无盖玻璃容器，高 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 .8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。

求 CD的长 .9.如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 第的西7 8km题图北 7km处，第 8题图. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家11 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m, 长 13m，宽2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼第9题图道至少需要多少元钱 ?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻13m5m 找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米．早晨 8：00甲先出发，他以 6 千米 / 时的第 11题速度向东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得BC2AC21，所以 AB2BC 2AC 2=1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了4 步.3.60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜边为12252169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x60 ； 2 2134. 解：依题意， AB=16 m ， AC=12 m ，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2 AB 2AC 2162 122202,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ), 故旗杆在断裂之前有 32 m 高.5.86. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002 400023000 ( 米 ),3所以飞机飞行的速度为540( 千米 / 小时 )2036007. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CE ⊥ AB 于 E.在Rt CEF , CEF 90 ， EF=18-1-1=16 （ cm ），1CE= 30(cm) ，2. 60CE2EF230 2 16 234( )由勾股定理，得 CF=8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得22222在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 2222CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9. 解：延长 BC 、AD 交于点 E. （如图所示）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8，设 AB=x ，则 AE=2x ，由勾股定理。

勾股定理练习题及答案

勾股定理练习题及答案勾股定理练习题及答案勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

下面小编给大家带来勾股定理练习题及答案，欢迎大家阅读。

勾股定理练习题：1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 __________元．4、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m5、将一根24cm的.筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1。

4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1。

732，结果保留三个有效数字）◆典例分析如图1，一个梯子AB长2。

5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1。

5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0。

5m，求梯子顶端A下落了多少米．解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a2＋b2＝c2的各种变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2．应牢固掌握，灵活应用．分析：先利用勾股定理求出AC与CE的长，则梯子顶端A下落的距离为AE＝AC－CF．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2∴2.52＝AC2＋1。

提高题专题复习勾股定理练习题含答案

提高题专题复习勾股定理练习题含答案一、选择题1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（）A ．4B ．5C ．6D ．72．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（）．A ．86B ．61C ．54D ．483．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（）A ．8B ．10C ．12D ．144．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（）A．47 B．62 C．79 D．985．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20146．如图,A、B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点, 则PA PB的最大值是（）A．62B．22C．210D．67．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.58．如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=13△ABC的面积是（）．A ．36B ．1013C ．60D ．12139．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（）A ．9B ．5C ．53D ．4510．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（）A ．217B ．25C ．42D ．7二、填空题11．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________12．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.13．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.17．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线l AB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________． 18．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.19．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝；（2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．24．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．25．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n6m n﹣12）2＝0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．26．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．27．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．29．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE ≌△CAD ，可得∠FBG ＝30°，BF ＝2FG ＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】∵△ABC 为等边三角形∴∠BAE ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，CD ＝AE∴△ABE ≌△CAD （SAS ）∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD ＝∠ABE+∠BAD ＝∠CAD+∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∵BG ⊥AD ，∴∠BGF ＝90°，∴∠FBG ＝30°，∵FG ＝1，∴BF ＝2FG ＝2，∵∠BEC ＝75°，∠BAE ＝60°，∴∠ABE ＝∠BEC ﹣∠BAE ＝15°，∴∠ABG ＝45°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB ＝90°，∴=AB 2=AG 2+BG 22)2=6．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG 为等腰直角三角形是解题关键．2．C解析：C【分析】设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案．【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L根据题意得：21111116224S L L L =⨯==222454S L == ∴21L =，22L =∵222132L L L += ∴22232129L L L =-=∴233292944S L ===以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S 则4S ，5S ，6S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 2266614228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ ∴25811L π=⨯，26814L π=⨯ ∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=⨯+=⨯ ∴2448S 252588L πππ==⨯⨯= ∴43292554S S +=+=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．3．B解析：B【分析】过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ，此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．由DC ＝2，BD ＝6，得到BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，于是得到∠CBC ′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．∵DC ＝2，BD ＝6，∴BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∠C ′BA ＝∠CBA ＝45°，∴∠CBC ′＝90°，∴BC ′⊥BC ，∠BCC ′＝∠BC ′C ＝45°，∴BC ＝BC ′＝8，根据勾股定理可得DC 10=．故选：B ．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．4．C解析：C【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴==79x y ∴+=故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.5．C解析：C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S 2+S 2=S 1，写出部分S n 的值，根据数的变化找出变化规律“S n =(12)n −3”，依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ，∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=12S 1=2，S 3=12S 2=1，S 4=12S 3=12，…， ∴S n =(12)n−3．当n=2016时，S 2016=(12)2016−3=(12)2013．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“S n =(12)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．6．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.7．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据勾股定理求出BD ，得到CD 的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D 在线段AB 的垂直平分线上，∴DA ＝DB ，在Rt △BCD 中，BC 2+CD 2＝BD 2，即42+（8﹣BD ）2＝BD 2，解得，BD ＝5，∴CD ＝8﹣5＝3，∴△BCD 的面积＝12×CD ×BC ＝12×3×4＝6， ∵P 是BD 的中点，∴S △PBC ＝12S △BCD ＝3，故选：A ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．8．A解析：A【分析】作AD BC ⊥于点D ，设BD x =，得222AB BD AD -=，222AC CD AD -=，结合题意，经解方程计算得BD ，再通过勾股定理计算得AD ，即可完成求解．【详解】如图，作AD BC ⊥于点D设BD x =，则12CD BC x x =-=-∴222AB BD AD -=，222AC CD AD -=∴2222AB BD AC CD -=-∵AB=10，AC=213∴()()22221021312x x -=-- ∴8x =∴22221086AD AB BD =-=-=∴△ABC 的面积111263622BC AD =⨯=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．9．A解析：A【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∵S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=AC 2，∴S 1=S 2+S 3．∵S 2=7，S 3=2，∴S 1=7+2=9．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10．A解析：A【解析】试题解析：作AD ⊥l 3于D ，作CE ⊥l 3于E ，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE ，{BAD CBEAB BC ADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD ≌△BCE∴BE=AD=3在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得BC=25+9=34，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，得AC=342=217⨯.故选A ．考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．二、填空题11．5【分析】由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD 3E ＝∠BDC ＝45°，∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，∴AB 22AD +BD =7+3=10，∵AB=2BC ，∴BC 2AB=5故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 13．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD 2229DE BE +（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ，在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD 2265DE BE + 故答案为：72965【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．14．5或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P+S Q=S K为从而易求S K．【详解】解：如下图所示，若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴C=13．若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴B=9-4=5．∴S K为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB 的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．163【分析】作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．如图，作点B 关于AD 的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，B′N 最短，由轴对称性质，BM=B′M ，∴BM+MN=B′M+MN=B′N ，由轴对称的性质，AD 垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×3=3，即BM+MN 的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．17．31+或31-【解析】如图，l AB ，2AC =，作AD l ⊥于点D ，∴1AD =，∵222AF AB ===，且F 有2个， ∴2212213DF DF ==-=∵1DC AD ==，∴1113CF CD DF =+=+， 2231CF DF CD =-=-．点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力．18．169【解析】解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ；在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169．故答案为：169．点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．19．6【解析】∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，则CQ=BP+PQ 的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.20．22-【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．【详解】解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2，由勾股定理可得2222AB AC BC =+=，∴222=-BM ，∵∠B=45°，∴△BDM 为等腰直角三角形，∴DM=BD ，由勾股定理可得222+BD DM =BM∴DM=BD=22-∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．三、解答题21．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=∴S △ADC =1423432⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =3②当CD =CB =BD =3∴△BDC为等边三角形，过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=160302⨯︒=︒，∴132BE BD==()()22222333DE BD BE=-=-=，∴S△BDC=123333 2⨯=过D作DF⊥AB交AB延长线于F，∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，∴DF=123S△ADB=12332⨯=，∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．∴邻和四边形ABCD的面积是3或3【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．23．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH2EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH2CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH2AF，∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2， ∴（2AF ）2+（2EF ）2＝2AE 2，∴EH 2+CH 2＝2AE 2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.24．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7．【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112，故答案为13，17，10，112．（2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.25．（1）y ＝－2x ＋12，点C 坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D 坐标（－4，0）；（3）点P 的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m 、n 的值，于是可得直线AB 的函数解析式，把点C 的坐标代入可求得a 的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD ⊥AB 知1AB CD k k =-可设出直线CD 的解析式，再把点C 代入可得CD 的解析式，进一步可求D 点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（1）∵6m-＋（n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC 解析式为y ＝32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，∵EC ＝CF ＝∴EC ＝CF ，∴△FCE 是等腰直角三角形，∴∠FEC ＝45°，∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为（1464,33-）. 【点睛】本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.26．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C之间的距离为3．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG = ∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒ ∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中 CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD ==-=∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.27．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 73【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴()()22AB 234813=+++= 故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=故M 、N 两点的距离为5.（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F∴()()22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=-+-=()()22EF 343252=--+-= ∴DE=DF ，222DE DF EF +=∴△DEF 为等腰直角三角形（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短设直线DF'的解析式为y=kx+b将D （1,6），F'（4，-2）代入得：642k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DF'的解析式为：826y 33x =-+ 令y=0，解得13x 4=，即P 的坐标为（1304，） ∵PF=PF'∴PD+PF=PD+ PF'= DF'()()22146273-++=故当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 73 【点睛】本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x 轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.28．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）25CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，∵CD ＝BC ，∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接BD ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．。

勾股定理练习题及答案

勾股定理练习题及答案勾股定理是数学中的经典定理之一，它描述了直角三角形边长之间的关系。

在勾股定理的基础上，可以衍生出许多有趣的练习题，通过解答这些题目，我们不仅可以巩固对勾股定理的理解，还能培养数学思维和解决问题的能力。

接下来，我将给大家分享一些勾股定理的练习题及答案。

练习题一：已知直角三角形的一条直角边长为3cm，斜边长为5cm，求另一条直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设另一条直角边的长度为x，则有x^2 + 3^2 = 5^2。

解方程得到x = 4cm。

练习题二：已知直角三角形的一条直角边长为6cm，另一条直角边长为8cm，求斜边的长度。

解答：同样根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边的长度为y，则有6^2 + 8^2 = y^2。

解方程得到y = 10cm。

练习题三：已知直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边的长度为z，则有5^2 + 12^2 = z^2。

解方程得到z = 13cm。

通过以上练习题，我们可以看到勾股定理的应用范围很广。

不仅可以求解直角三角形的边长，还可以用于解决其他几何问题。

接下来，我将给大家分享一些扩展的练习题。

练习题四：已知一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边的长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

这是勾股定理的一般形式，适用于任意直角三角形。

练习题五：已知一个直角三角形的斜边长为c，一条直角边长为a，求另一条直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设另一条直角边的长度为b，则有a^2 + b^2 = c^2。

这个问题可以看作是已知斜边和一条直角边，求另一条直角边的问题。

通过以上练习题，我们可以发现勾股定理的灵活性和实用性。

不仅可以用于解决直角三角形的问题，还可以应用于其他几何形状的计算。

勾股定理知识点及练习题及答案(1)

勾股定理知识点及练习题及答案(1)一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=，DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点，则下列结论：①90AMD ∠=；②1=2ADM ABCD S S ∆梯形；③AB CD AD +=；④M 到AD 的距离等于BC 的13；⑤M 为BC 的中点；其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm3．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观察图案.下列关系式中不正确的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直5．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（）A ．6B ．36C ．64D ．8 6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A ．9，7，12B ．2，3，4C ．1，2，3D ．5，11，127．下列命题中，是假命题的是( )A ．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形 C ．在△ABC 中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形8．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对9．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（）A ．10B ．5C ．4D ．310．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，25为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（） A ．②B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．12．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．13．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.14．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)15．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.17．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线lAB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________．18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．19．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______三、解答题21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；成为等腰三角形的运动时间．（3）点Q在边CA上运动时，求能使BCQ22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．23．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=23，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．24．如图1，在等腰直角三角形ABC中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长．（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由． 25．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．26．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E . （1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由. ②若线段2AD EC =，求mn的值.27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C．（1）若OA＝52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）28．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．29．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．30．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】过M 作ME AD ⊥于E ，得出12MDE CDA ∠=∠，12MAD BAD ∠=∠，求出1()902MDA MAD CDA BAD ∠+∠=∠+∠=︒，根据三角形内角和定理求出AMD ∠，即可判断①；根据角平分线性质求出MC ME =，ME MB =，即可判断④和⑤；由勾股定理求出DC DE =，AB AE =，即可判断③；根据SSS 证DEM DCM ∆≅∆，推出DEM DCM S S =三角形三角形，同理得出AEM ABM S S =三角形三角形，即可判断②．【详解】解：过M 作ME AD ⊥于E ，DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点，12MDE CDA ∴∠=∠，12MAD BAD ∠=∠，//DC AB ，180CDA BAD ∴∠+∠=︒，11()1809022MDA MAD CDA BAD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，1809090AMD ∴∠=︒-︒=︒，故①正确；DM 平分CDE ∠，90()C MC DC ∠=︒⊥，ME DA ⊥，MC ME ，同理ME MB =，12MC MB ME BC ∴===，故⑤正确； M ∴到AD 的距离等于BC 的一半，故④错误；由勾股定理得：222DC MD MC =-，222DE MD ME =-，又ME MC =，MD MD =， DC DE ∴=，同理AB AE =，AD AE DE AB DC ∴=+=+，故③正确；在DEM ∆和DCM ∆中DE DC DM DM ME MC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()DEM DCM SSS ∴∆≅∆，DEM DCM S S ∴=三角形三角形同理AEM ABM S S =三角形三角形， 12AMD ABCD S S ∴=三角形梯形，故②正确；故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．2．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．3．D解析：D【解析】【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取.【详解】A中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；B中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；D中,根据A可得，C可得，结合完全平方公式可以求得，错误.故选D.【点睛】本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D选项是由A、C选项联立得出的.4．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键. 5．B解析：B【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【详解】解：A的面积等于100-64=36；故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．6．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【详解】解：A、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；C、因为12+32= 22，所以三条线段能组成直角三角形；D、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形．故选C．【点睛】此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．7．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C =∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B. △ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2= a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D. △ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．8．C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断.【详解】解：由已知可得CD=BD=5,22251213+=即222BD AD AB +=,ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=︒，90ADC ∴∠=︒222AD CD AC ∴+=13AC ∴=13AB AC ∴==故ABC 是等腰三角形.故选C【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.9．B解析：B【分析】根据“在Rt △ABC 中”和“沿BD 进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴，根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD ，∴A′C=10-6=4．设CD=x ，则A′D=8-x ，根据勾股定理可得x 2-（8-x ）2=42，解得x=5，故CD=5．故答案为：B ．【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．10．D解析：D【分析】根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．【详解】由题意得：①2222+3=134≠ ；②2223+4=25=5 ；③()2221+2=5=5 ，所以能构成直角三角形的是②③．故选D ．【点睛】考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形．二、填空题11．7【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ，BO ＝OD ，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE ＝EF ＝DF ，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】连接AC ，交BD 于点O ，∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，∴AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝4，BO ＝OD ＝2，∵CE ∥AB ，∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60°，∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°，∴AE ＝CE ＝3，∴DE ＝AD−AE ＝1，∵∠CED ＝∠ADB ＝60°，∴△EDF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝DF ＝1，∴CF ＝CE−EF ＝2，OF ＝OD−DF ＝1，OC ∴=∴【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．12．1或78【分析】分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+，解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78；【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．13．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．14．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺）， 222021+=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．15．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD 2229DE BE +（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ，在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD 2265DE BE + 故答案为：72965【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．16．3．【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×32=3，即BM+MN 的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．17．31+或31-【解析】如图，l AB ，2AC =，作AD l ⊥于点D ，∴1AD =，∵222AF AB ==⋅=，且F 有2个， ∴2212213DF DF ==-=，∵1DC AD ==，∴1113CF CD DF =+=+， 2231CF DF CD =-=-．点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力．18．355【详解】四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12．则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32．在直角△ADC 中根据勾股定理得到：222+1=5设AC 边上的高线长是x ．则125x=32，解得：x=355．故答案为355. 19．49 【解析】连接AC ，在Rt △ABC 中，∵AB =8，BC =6，∠B =90°，∴AC =22AB BC + =10．在△ADC 中，∵AD =CD =52，∴AD 2+CD 2=（52）2+（52）2=100．∵AC 2=102=100，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12×52×52=24+25=49．点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．5【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴22AB ＋BC 222=5＋1故答案为：5. 【点睛】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．三、解答题21．（1）出发2秒后，线段PQ 的长为213；（2）当点Q 在边BC 上运动时，出发83秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度；（2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答；（3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．【详解】(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，∵∠B=90°，由勾股定理得：PQ=22224652213BQ BP +=+==∴出发2秒后，线段PQ 的长为213；(2)BQ=2t ，BP=8−t由题意得：2t=8−t解得：t=83∴当点Q 在边BC 上运动时，出发83秒后，△PQB 是等腰三角形； (3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=2268+=10.①当CQ=BQ 时(图1)，则∠C=∠CBQ ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ ，∴BQ=AQ ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，∴BE=6824105 AB BCAC⋅⨯==，所以CE=22BC BE-=185=3.6，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．22．BF的长为32【分析】先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CE⊥AB，进而可证△AFE≌△BFE，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD为45°，△BFD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF．【详解】解：连接BF．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-= ∴S △ADC =1423432⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =3②当CD =CB =BD =3∴△BDC为等边三角形，过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=160302⨯︒=︒，∴132BE BD==()()22222333DE BD BE=-=-=，∴S△BDC=123333 2⨯=过D作DF⊥AB交AB延长线于F，∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，∴DF=123S△ADB=12332⨯=，∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．∴邻和四边形ABCD的面积是3或3【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．24．（1）AE=BD且AE⊥BD；（2）6；（3）PQ为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE⊥BD；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠EAC=∠DBC，可得AE⊥BD，由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长．【详解】解：（1）AE=BD，AE⊥BD，理由如下：∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．25．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED 2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：22，则AF ＝22x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由（1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF ＝22AF AE +＝22(22)x x +＝3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=+，解得x ＝1，∴AB ＝22+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.26．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()22222m m m n m n =++-22222222m n m m n =+-+-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0）， ∵AB ⊥x 轴，∴AB ＝OB ＝a ，即△ABO 是等腰直角三角形，∴AB 2+OB 2＝OA 2，∴a 2+a 2＝（）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（1）①BC＝DC+EC，理由见解析；②证明见解析；（2）6.【解析】【分析】(1)证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可;(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，。

勾股定理提高题(含答案)

勾股定理提高训练一、简答题1、如图，矩形ABCD的长AB=4cm．宽BC=3cm，P、Q以1cm/s的速度分别从A、B出发，沿AB、BC方向前进，经多少秒后P、Q之间的距离为 2cm？2、如图，直线表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到的距离分别为AC＝30km,BD=40km，A、B两个村庄之间的距离为50km.有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水。

如果他在上午八点出发，以每小时30km的平均速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达B村？3、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)4、如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD 的长为__________．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？5、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm？6、如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC边上的点F处， BC=15cm，AB=9cm 求（1）FC的长，（2）EF的长.9、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，现将直角边AC折叠到AB边上，点C落在AB边上的E点，折痕为AD．若AC=6，BC=8．求△ADB的面积．10、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？11、已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．12、如图7,四边形ABCD中,.试判断的形状,并说明理由.13、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．14、已知a、b、c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状。

完整版)勾股定理培优专项练习

完整版)勾股定理培优专项练习勾股定理练（根据对称求最小值）基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：由于AE=1，所以DE=√3.连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。

由正弦定理得：EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(60°-x)由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在直线AD上找一点N，使得MN+EB最小。

连接AC，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=30°，BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1，所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此，EN+BN的最小值为3+√3，此时x=30°。

2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

解：连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。

由正弦定理得：EN/sinx = BN/sin(45°-x)。

=。

EN/BN = sinx/sin(45°-x)由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。

又由于XXX，所以问题转化为：在对角线AC上找一点N，使得MN+EB最小。

连接BD，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=45°，BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。

八年级初二数学提高题专题复习勾股定理练习题含答案

一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=，DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点，则下列结论：①90AMD ∠=；②1=2ADM ABCD S S ∆梯形；③AB CD AD +=；④M 到AD 的距离等于BC 的13；⑤M 为BC 的中点；其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以ABC 的三条边为边向外作正方形，连结EB ，CM ，DG ，CM 分别与AB ，BE 相交于点P ，Q ．若30ABE ∠=︒，则DG QM的值为（）A ．32B 5C ．45D 313．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（）A．11 B．15 C．10 D．225．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．994D．5326．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD平分∠ABC，E是AB中点，连接DE，则DE的长为（）A．102B．2 C．512D．327．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）A ．8B ．9C ．245D ．108．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A ．3B ．5C ．4.2D ．49．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（）A ．h≤15cmB ．h ≥8cmC ．8cm≤h≤17cmD ．7cm≤h≤16cm10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（）A ．7B ．254C ．6D ．112二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．13．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．15．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．17．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．18．已知x，y为一个直角三角形的两边的长，且（x﹣6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_____．19．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，且AB=3，BC=5．①线段OA的取值范围是______________；②若BD-AC=1，则AC•BD= _________．20．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则22MNBM的值为______________．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．22．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==．（1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．已知a ，b ，c 88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．25．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．26．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．30．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG ≌△BDF ；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；(4)求线段EF 长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】过M 作ME AD ⊥于E ，得出12MDE CDA ∠=∠，12MAD BAD ∠=∠，求出1()902MDA MAD CDA BAD ∠+∠=∠+∠=︒，根据三角形内角和定理求出AMD ∠，即可判断①；根据角平分线性质求出MC ME =，ME MB =，即可判断④和⑤；由勾股定理求出DC DE =，AB AE =，即可判断③；根据SSS 证DEM DCM ∆≅∆，推出DEM DCM S S =三角形三角形，同理得出AEM ABM S S =三角形三角形，即可判断②．【详解】解：过M 作ME AD ⊥于E ，DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点，12MDE CDA ∴∠=∠，12MAD BAD ∠=∠， //DC AB ，180CDA BAD ∴∠+∠=︒，11()1809022MDA MAD CDA BAD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 1809090AMD ∴∠=︒-︒=︒，故①正确； DM 平分CDE ∠，90()C MC DC ∠=︒⊥，ME DA ⊥，MC ME ，同理ME MB =，12MC MB ME BC ∴===，故⑤正确；M ∴到AD 的距离等于BC 的一半，故④错误；由勾股定理得：222DC MD MC =-，222DE MD ME =-，又ME MC =，MD MD =，DC DE ∴=，同理AB AE =， AD AE DE AB DC ∴=+=+，故③正确；在DEM ∆和DCM ∆中DE DC DM DM ME MC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()DEM DCM SSS ∴∆≅∆，DEM DCM S S ∴=三角形三角形同理AEM ABM S S =三角形三角形，12AMD ABCD S S ∴=三角形梯形，故②正确；故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．2．D解析：D【分析】先用已知条件利用SAS 的三角形全等的判定定理证出△EAB ≌△CAM ，之后利用全等三角形的性质定理分别可得30EBA CMA ==︒∠∠，60BPQ APM ==︒∠∠，12PQ PB =，然后设1AP =，继而可分别求出2PM =，312PQ =，所以33QM QP PM +=+=；易证Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL ），从而得3DG AB ==然后代入所求数据即可得DG QM 的值．【详解】解：∵在△EAB 和△CAM 中，AE AC EAB CAM AB AM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△EAB ≌△CAM （SAS ），∴30EBA CMA ==︒∠∠，∴60BPQ APM ==︒∠∠,∴90BQP ∠=︒, 12PQ PB =, 设1AP =，则3AM =，2PM=，31PB =-，312PQ -=， ∴3133222QM QP PM -+=+=+=； ∵ 在Rt △ACB 和Rt △DCG 中，CG BC AC CD =⎧⎨=⎩， Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL ），∴3DG AB ==;∴33133DG GM==-+．故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．3．D解析：D【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．【详解】解：如图，由题意可得：AD 2=0.72+2.42=6.25，在Rt △ABC 中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC 2+AB 2=AC 2，AD=AC ，∴AB 2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB ＞0，∴AB=2米，∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4．B解析：B【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a 的面积等于1号的面积加上2号的面积，b 的面积等于2号的面积加上3号的面积，c 的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.【详解】利用勾股定理可得：12a S S S =+ ，23b S S S =+，34c S S S =+∴122334a b c S S S S S S S S S ++=+++++74415=++=故选B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.5．B解析：B【分析】设小正方形的边长为x ，则矩形的一边长为（a+x ）,另一边为（b+x ）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b 的值，得出x 2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x ，则矩形的一边长为（a+x ）,另一边为（b+x ）,根据题意得：2（ax+x 2+bx ）=（a+x ）（b+x ）,化简得：ax+x 2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x 2＋7x=12;∴该矩形的面积为=（a+x ）（b+x ）=（3+x ）（4+x ）=x 2＋7x+12=24.【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.6．A解析：A【解析】试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD ⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x ，AD=4-x ，∴AD 2=AK 2+DK 2即（4-x ）2=22+x 2解得：x=32∴在Rt △DEK 中，2222310=+0.5=22DK KE +（）（）. 故选A ．7．C解析：C【分析】本题根据所给的条件得知，△ABC 是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC 边上的高.∵AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，∴62＋82＝102，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，则由面积公式可知，S △ABC ＝12AB ⋅AC ＝12BC ⋅AD ， ∴AD ＝245.故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD 的值.8．C解析：C【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．【详解】设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，由勾股定理可得：222=OA OB AB +即：()2224=10x x +-，解得：x ＝4.2故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故答案选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．9．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD 是筷子，AB 长是杯子直径，BC 是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm ，BC=8cm ，△ABC 是直角三角形∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.10．B解析：B【分析】由折叠的性质得出AD=BD ，设BD=x ，则CD=8-x ，在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程即可得出答案．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，∴AD=BD ，设BD=x ，则CD=8-x ，在Rt △ACD 中，∵AC 2+CD 2=AD 2，∴62+（8-x ）2=x 2，解得x=254 ∴BD=254．故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．5【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22()4AD AD +='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．13．5【分析】由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD 3E ＝∠BDC ＝45°， ∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°， ∴AB 22AD +BD =7+3=10，∵AB=2BC ，∴BC ＝2AB=525【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．75或6或94【分析】当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC ＝6（cm ）；①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ，在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，解得：t ＝94，综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15．103. 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()23S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形∴CG=NG ，CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =故2103S =故答案为103. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 16．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ，即可求出FG ，再求出BF=FG 即可【详解】∵AC 的垂直平分线FG ，∴AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC ）=30°， ∴∠B=∠G ，∴BF=FG ，∵在Rt △AEG 中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE ，即（2AE ）2=AE 2+32，∴即同理在Rt △CEF 中，∠C=30°，CF=2EF ，（2EF ）2=EF 2+2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17．【分析】由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．【详解】解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，AE AD ⊥，DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，又BAC DAC 190∠∠∠=+=， 12∠∠∴=，在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴≌()ACE SAS ． BD CE ∴=，4B ∠∠=BAC 90∠=，AB AC =， ∴B 345∠∠==4B 45∠∠∴==，ECF 3490∠∠∠∴=+=， 222CE CF EF ∴+=，222BD FC EF ∴+=， AF 平分DAE ∠，DAF EAF ∠∠∴=，在DAF 和EAF 中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAF ∴≌()EAF SAS ． DF EF ∴=．222BD FC DF ∴+=．22222DF BD FC 68100∴=+=+=， ∴DF 10=BC BD DF FC 610824∴=++=++=， AB AC =，AG BC ⊥，1BG AG BC 122∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=，∴AD =故答案为【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y =；当x=9时，x 、y =；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．19．①1＜OA ＜4． ②672．【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.20．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=，所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.三、解答题21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得．【详解】解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN为等边三角形；(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝12BM，即2x＝12(30－x)，解得x＝6；②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝12BN，即30－x＝12×2x，解得x＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22．（1）见解析；（2）CD AD+BD，理由见解析；（3）CD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，∴DE ＝2AD ，∵CD ＝DE +CE ，∴CD ＝2AD +BD ；（3）作AH ⊥CD 于H ．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，∴2881||7(15)a a c b -+-+-＝﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40；三角形的面积＝12×8×15＝60．【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状. 25．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以22228373AC OA +=+所以73在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键. 26．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.27．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，∴t=4.5s；当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E 作EF 垂直AB 于F ，∵ED=EA ，∴DF=AF=12AD=3，在Rt △AEF 中，EF=4；∵BM=2t ，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt △EFM 中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=4912．综上所述，符合要求的t 值为4.5或5或4912．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．28．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中 CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD ==-=∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.29．（1）46（2）（123+24+510）m 2【分析】（1）由已知△ABC 的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+- ＝46 故答案是：46；（2）解：如图：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD （如图所示）在Rt △ADE 中，∵∠A ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ＝6 ∴BE ＝AB ﹣AE ＝62﹣6＝2DE ＝2222(46)(26)62AD AE -=-= ∴BD ＝2222BE DE (42)(62)226+=+= ∴S △BCD ＝1(57226)(57226)(22675)(22657)5104+++-+-+-= ∵S △ABD ＝11(2642)621232422AB DE ⋅=⨯+⨯=+ ∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABD ＝ 12324510++答：该块草地的面积为（12324510++）m 2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.30．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5【解析】【分析】（1）由D 是AB 中点知AD =BD ，结合DG =DF ，∠ADG =∠BDF 即可得证；（2）连接EG ．根据垂直平分线的判定定理即可证明．（3）由△ADG ≌△BDF ，推出∠GAB =∠B ，推出∠EAG =90°，可得EF 2=（8-x ）2+y 2，EG 2=x 2+（6-y ）2，根据EF =EG ，可得（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，由此即可解决问题．（4）由EF =22EC CF +=2247(8)()33x x -+-=225(4)259x -+知x =4时，取得最小值．【详解】解：（1）∵D 是边AB 的中点，∴AD =BD ，在△ADG 和△BDF 中， ∵AD BD ADG BDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BDF （SAS ）；（2）如图，连接EG ．。

勾股定理练习题及答案(共6套)

勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（） A.2 B.4 C.6 D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？勾股定理的逆定理（2）一、选择题1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（） A.9，12，15 B.43,1,45C.0.2，0.3，0.4D.40，41，92.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）724252071520242572520247202415(A)(B)(C)(D)A B C D二、填空题5. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c，则此三角形为三角形.8.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 三、解答题9. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.10. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .12.如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？勾股定理的逆定理（3）一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边长，△A 1B 1C 1的三边长分别是2a 、2b 、2c ，那么△A 1B 1C 1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.求证：△ABC 是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－910.已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD 的面积.CAD图18－2－10勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为S 1=4.5π，S 2=8π，S 3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。

第一章勾股定理分类提升训练(含答案) 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理分类提升训练 2024--2025学年北师大版八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（）A．B ．C ．D ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知米，米，只为少走米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是．14．如图，矩形ABCD 中，，，CB 在数轴上，点C 表示的数是，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。

勾股定理练习题及答案

勾股定理练习题及答案一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

所以斜边的平方＝ 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，斜边长为 13 厘米。

2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：对于选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，因为25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；对于选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝169，13²＝ 169，因为 169 ＝ 169，所以能组成直角三角形；对于选项C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，因为146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；对于选项 D，2²＋ 3²＝ 4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，因为13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。

3、一个直角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x 的值为（）A √13B √5C √13 或√5D 无法确定答案：C解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 3²) ＝√13；当 3 为斜边时，x ＝√（3² 2²) ＝√5。

所以 x 的值为√13 或√5 。

4、已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边的长为（）A 13B √119C 13 或√119D 不能确定答案：C解析：当 12 为斜边时，第三边的长为√（12² 5²) ＝√119；当 5 和12 为直角边时，第三边的长为√（5²＋ 12²) ＝ 13。

勾股定理知识点+专项练习50题(有答案)

勾股定理知识点+专项练习50题（有答案）基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边cb aHG F EDCB Abacbac cabca b a bcc baE D CBA①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

勾股定理练习题及答案(共6套)

求CD 的长.9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.4km 的A 处牧马，而他正位于北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮 5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB222AC BC ++=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ；4. 解：依题意，AB=16m，AC=12m ，,由勾股定理,2222201216=+=,m ), 32m 高. 6. ,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时)7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作在R 90=，EF=18-1-1=16（cm ）， CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+ABC 中，根据勾股定理，得在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13. 9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示） ∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。

第1章勾股定理北师大版八年级数学上册能力提升(含答案)

第一章勾股定理单元测试（能力提升）一、单选题1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（）A．3、4、5B．5、12 、13C．7、24、25D．7、9、13【答案】D【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：选项A：∵3²+4²=5²，∴能构成直角三角形三边，故选项A不符合题意；选项B：∵5²+12²=13²，∴能构成直角三角形三边，故选项B不符合题意；选项C：∵7²+24²=25²，∴能构成直角三角形三边，故选项C不符合题意；选项D：∵7²+9²=49+81=130≠13²，∴不能构成直角三角形三边，故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB 的长为（）．A．B．C．10D．【答案】A设，，在和中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解．设，，在中，，①在中，，②①＋②，，∴，在Rt△ABC中，，故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键．3．如图正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为( )A．B．5C．D．【答案】D把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．解：如图示，将正方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，．答：蚂蚁从点爬行到点的最短距离为．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．4．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c 三个正方形的面积之和为（）A．11B．15C．10D．22【答案】B【解析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.利用勾股定理可得：，，∴故选B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.5．如图1是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲、乙都不可以【答案】A【解析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．解：如图所示：可得甲、乙都可以拼一个面积是5的大正方形．故选：．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．6．下列命题①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【答案】C【解析】分别利用勾股数的定义、勾股定理以及等腰直角三角形的边的关系分别判断得出即可．解：①如果a，b，c 为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，是真命题；②如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，则这三角形的三个内角度数为：45°，60°,75°，因此这个三角形不是直角三角形，原命题是假命题；③如果一个三角形的三边是12、25、21，因为，故此三角形不是直角三角形，故原命题是假命题；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命题；故选：C．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题关键．7．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连接DE，证明DE=DC=5，推出AB=10，AD=6，进而求出的面积即可得出结果．如图，连接，作于F点，是边上的高线，在中，根据“斜中半”定理可知，，，，为等腰三角形，且由勾股定理知：，，，是边上的中线，，，得，，，在中，由“三线合一”性质，知G为CE的中点，，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识点，解决问题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【答案】B【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC 中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD 即可．解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，∴△BAF≌△EAF(SAS)∴BF=EF∴AF⊥BE又∵AF＝4，AB＝5，∴在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴即∵，∴∴∴∴在Rt△BDF中，，，∴故选：A【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．连接BE，延长CD 交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=BE∵D点是AB的中点∴BD=AD，∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA∵BD=ED∴∠DEB=∠DBE∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90°在Rt△AEB中，由勾股定理得：∴∵∴∴故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．二、填空题11．如图,已知OA=AB,数轴上点C表示的实数是_____________，点E表示的实数是____________.【答案】【解析】利用勾股定理求出OB，即可得到点C表示的实数；利用勾股定理求出OD可得到点E表示的实数.解：由题意得：，∴，即点C表示的实数是，∴，∴，即点E表示的实数是，故答案为：，.【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，熟练应用勾股定理是解题关键.12．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC=6, 一个边长为2的正方形DEFH沿边CA方向向下平移，平移开始时点F与点C重合，当正方形DEFH的平移距离为__________时，有DC2=AE2+BC2成立，【答案】【解析】连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,由∠A=30°，∠B=90°，BC=6,得到AC=12，AE=12-2-x=10-x,再根据DC2=AE2+BC2列出方程即可求解.连接CD，设平移的距离为x,则CF=x,根据勾股定理得到CD2=22+(x+2)2,∵∠A=30°，∠B=90°，BC=6,∴AC=12，AE=12-2-x=10-x,∴AE2+BC2=（10-x）2+62，∵DC2=AE2+BC2∴22+(x+2)2=（10-x）2+62，解得x=【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理进行求解.13．若直角三角形的三边分别为a、a＋b、a＋2b，则的值为___【答案】3或－5【解析】若b是正数，则a、a＋b、a＋2b中a+2b最大，即a+2b是斜边，由勾股定理可得(a+2b) 2＝a2＋(a+b) 2，化简得a2－2ab－3b2＝0 ，所以(a+b)(a-3b)＝0 ，又a+b是一条直角边，因此a+b>0，所以a＝3b>0，即=3 ；若b是负数，则a、a＋b、a＋2b中a最大，即a是斜边，由勾股定理可得a2＝(a+b) 2＋(a+2b) 2，化简得a2＋6ab＋5b2＝0 ，即(a+b)(a＋5b)＝0 ，同上a+b>0，所以a＝-5b，即=-5.所以的值为3或－5.点睛：本题考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决本题的关键.14．如图，在中于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作于点E，连接PB，则的最小值为________.【解析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案∵∴点B与点C关于AD对称过点C作CE⊥AB于一点即为点P，此时最小∵∴BD=2在Rt△ABC中，∵S△ABC=∴得故此题填【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题15．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．【答案】0.5【解析】结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC===2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE===1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.【答案】21【解析】在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．如图所示，在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠EAC．在△AEC和△ADC中，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF⊥AB，∴EF=BF，设EF=BF=x．∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2-BF2=102-x2，∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．17．定义：如图，点、点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点、点是线段的勾股分割点．已知点点是线段的勾股分割点，，则_____．【答案】或【解析】①当MN为最长线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最长线段时，由勾股定理求出BN即可．解：当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，；当为最长线段时，点是线段的勾股分割点，．综上所述：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，注意分类思想的应用．18．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为__________海里．【答案】【解析】根据题目中的已知角度，求出，再利用勾股定理列方程计算．由题意知，，在中，，，则，解得：故答案为：15【点睛】本题考查了勾股定理的应用，突破口在于找到直接三角形．19．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和4cm，高为6cm．如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要_______________cm．（结果用含n 的代数式表示）【答案】2【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．解：将长方体展开，连接A、B．从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，则AB＝=2cm．故填：2.【点睛】本题主要考查平面展开−最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是10n和6，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答．20．如图，已知，过作，且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么______．【答案】．【解析】利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面积公式计算三角形面积，从而发现规律．解：由题意可得在中，∴同理可得：…∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形及数字的规律探索，准确利用勾股定理及三角形面积公式进行计算是解题关键．21．如图，四边形ABCD中，点E在CD上，交AC于点F，，若，，则__________．【答案】7【解析】证明△ABF≌△DCA可得AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，可得DG=GC=3，GF=GC-FC=1，在△ADG中利用勾股定理即可求得AD，从而求得AC．解：∵BE∥AD，∴∠AFB=∠CAD，∵，∴△ABF≌△DCA（AAS），∴AD=AF，AC=BF，过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD=45°，，∴DG=GC=3，∴GF=GC-FC=3-2=1，设AD=AF=x，则AG=x-1，由勾股定理得32+（x-1）2=x2，解得x=5，∴AD=5，BF=AC=AF+CF=5+2=7，故答案为：7．【点睛】此题考查勾股定理以及全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．22．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是___________．（填正确结论的序号）【答案】①②③【解析】由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明△ABP≌△FBP（ASA）与△APH≌△FPD（ASA），结合可判断②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再证明HD∥EP，可判断③，若DH平分∠CDE，推导DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可判断④；解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE= ，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，，故②正确，∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△APH=S△AED，故③正确，若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题23．如图，已知与有一个公共点C，其中，若，，，，.求证：．【答案】见详解.【解析】先利用勾股定理求出AC2和CE2的值，再根据勾股定理的逆定理证明△ACE为直角三角形.证明：∵，∴在中，根据勾股定理同理可求.在中∵..∴.∴为直角三角形.【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形，本题依次可证.24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB = 90°，求证：a2+b2=c2．【答案】证明见解析．【解析】根据即可得证．如图，过点D作，交BC延长线于点F，连接BD，则，由全等三角形的性质得：，，，，即，整理得：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握“面积法”是解题关键．25．如图，某小区对位于小路AC同侧的两个喷泉A，B的管道进行铺设．供水点M在小路AC上，喷泉A，B的距离是400米，供水点M到AB的距离MN是150m，BM=250m．（1）供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？（2）改变供水M的在AC上的位置，若使管道BM最短，求出此时供水点M到A，B两个喷泉铺设的管道总长是多少米？．【答案】（1）500m；（2）560m【解析】（1）根据勾股定理依次求出BN和AM，供水管道总长即为AM+BM；（2）根据垂线段的性质可画出对应图，再根据勾股定理分别在Rt△BM M '和Rt△BAM '中表示，列出方程求解即可求得MM '，由此可求得和AM '即可求解．解：（1）由题意可得：MN⊥AB，∴∠MNA=∠MNB=90°，在Rt△MNB中，∠MNB=90°，BN＝，∵AB＝400，∴AN＝AB﹣BN＝200，在Rt△AMN中，∠MNA=90°，AM＝，∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝250+250＝500m；（2）由题意可得：BM '⊥AC，AM=BM=250，AB=400，∴∠BM 'M=90°，设MM '=x，则AM '=x+250，在Rt△BM M ' 中，∠BM 'M=90°，，在Rt△BAM ' 中，∠BM 'M=90°，，∴，∴，∴，∴，∴供水点M ' 到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝320+240＝560m.【点睛】本题考查勾股定理的应用，线段垂线段的性质．（2）中能正确作出图形，并熟练掌握方程思想是解题关键．26．如图1，在中，，，是的高，且．（1）求的长；（2）是边上的一点，作射线，分别过点，作于点，于点，如图2，若，求与的和．【答案】（1）3；（2）．【解析】（1）根据勾股定理可求AD，再根据勾股定理可求CD，根据BC=BD+CD即可求解；（2）根据三角形面积公式可求AF与CG的和．（1）在Rt△ABD中，ADB=90，由勾股定理得：AD=，在Rt△ACD中，ADC=90，由勾股定理得：CD=，∴BC=BD+CD=1+2=3，∴BC的长为3；（2）∵AF⊥BE，CG⊥BE，BE=，∴，=，=，而=，∴=，即AF与CG的和为．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．27．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离．（1）台风中心经过多长时间从移动到点？（2）已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？【答案】（1）台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）他们要在20时到24时时间段内做预防工作【解析】（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算；（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算，然后求出时间段即可．解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD==240km，所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18，∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时，∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．28．如图，在中，过点A作，BE平分交AC于点E．（1）如图1，已知，，，求BD的长；（2）如图2，点F在线段BC上，连接EF、ED，若，，，求证：．【答案】（1）BD=5；（2）证明见解析【解析】（1）利用勾股定理运算即可；（2）利用角平分线的性质可得到，证出得到，，再通过角的等量代换证出，取的中点，连接，即可证出，从而得到结论．解：（1）∵∴∴∴（2）∵平分∴又∵，∴∴，∴∴∵∴取的中点，连接，如图2所示：则∴∵∴∴∴∴∴【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质及判定等，合理做出辅助线灵活证明全等是解题的关键．29．（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）．（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．【答案】（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处．【解析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可．（1）由面积相等可得，∴，∴，∴．（2），，∴．故答案为：（3）设千米，则千米．∵到A，B两个城市的距离相等，∴，即，由勾股定理，得，解得．即O应建在离C点52.5千米处．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．30．阅读下面的材料，并解决问题：数学家与勾股数组定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边的长都是正整数，且满足，那么数组称为一组勾股数．每一组勾股数都能确定一个边长都为正整数的直角三角形，研究勾股数对研究直角三角形具有重要意义，历史上很多数学家都对勾股数进行了研究：1．我国西周数学家商高在公元前年发现了“勾三，股四，弦五”，数组是世界上发现最早的一组勾股数．2．毕达哥拉斯学派提出勾股数公式为，其中为正整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)3．柏拉图提出的勾股数公式为，其中为大于的整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数)4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为，其中是互质的奇数．(注：的相同倍数组成的一组数也是勾股数) 5．国外最先给出勾股数通解公式的是希腊的丢番图，其公式为，其中是互质且为一奇一偶的任意正整数．问题解答：通过观察柏拉图提出的勾股数公式特点，可知_；直接写出一组勾股数，且这组数不能由柏拉图提出的勾股数公式得出；通过阅读可知，一组勾股数中至少有一个数是偶数，请写出一组勾股数，使其中含有数字．【答案】（1）-2；（2）答案不唯一，例如；（3）答案不唯一，例如【解析】（1）直接令b-c即可求解；（2）根据题意即可写出勾股数；（3）根据题意即可写出勾股数．解：（1）∵∴b-c=故答案为：-2．答案不唯一，例如答案不唯一，例如．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式、满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．31．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为___；位置关系为．拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD 之间的关系是否仍然成立请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AB、AE、AD，把线段AB 绕点A旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）．【解析】（1）问题发现，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，可证AE⊥BD；（2）拓展探究，由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，可证AE⊥BD；（3）解决问题，由由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD，由三角形的三边关系可求解．解：（1）问题发现如图①，延长BD交AE于H，∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCD＝90°，CA＝CD，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，∵∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠EAC＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；拓展探究：（2）成立．理由：如图2，设与BD相交于点G．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∵，，∴，∴，∴．拓展延伸：（3）AE的最大值为．如图3，连接BD．∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，当点在线段DA的延长线时等号成立，故AE的最大值为．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，证明△ACE≌△DCB是本题的关键．。

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勾股定理提高练习一
1（石景山）等腰直角△ABC 中，BC =AC =1，以斜边
和长度为1的边BB 1为直角边构造直角△ABB 1，如图，这样构造下去……，则AB 3= ；AB n = ．
2（石景山）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，若把
△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与
△BDE 重合．
（1）当∠A ＝35°时，求∠CBD 的度数．（2）若AC ＝4，BC ＝3，求AD 的长．
（3）当AB ＝ m （m > 0），△ABC 的面积为m +1时，求△BCD 的周长．
（用含m 的代数式表示）
3（朝阳）如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点
F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE
4（朝阳）如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（DE >CE ），连接AE ，并过点E
作AE 的垂线交BC 于点F ,若AB =9,BF =7,求DE 长.
3
A
B
C
D
E
C
A
B
D
E
F
勾股定理提高练习一参考答案
1（石景山）
2（石景山）（1）20°． …………………1分
（2）设AD ＝x ，由已知BD ＝x ；CD ＝4-x .
在△BCD 中，∠C =90°，根据勾股定理,得x 2=(4-x )2+32 ……………2分解得x ＝
258. ∴AD ＝258
………………………3分
（3）设AC ＝b ，BC ＝a ，
由已知m 2=a 2+b 2，且112ab m =+……………4分
可求出a +b =m +2. ……………5分由已知a +b 即为△BCD 的周长，所以△BCD 的周长为m +2. ……………6分
3（朝阳）解：由题意，得4==BC FC ，3==AB AF ，1∠=∠∵AD ∥BC ， ∴31∠=∠. ∴32∠=∠.
∴CE AE =. …………………………1分 ∴CE CF AE AD -=-，即FE DE =. 设x DE =，则x FE =，x CE -=4，在Rt △CDE 中，2
22CE CD DE =+.
即2
2
2
)4(3x x -=+， ………………………………………2分
解得87=
x . 即8
7
=DE . …………………………………3分 ∴8
25
=-=DE AD AE . …………………………4分
∴16
75
21=⋅=∆CD AE S ACE . ………………………………5分
A
B
C D
E
解得x 1=3，x 2=6
∵DE>CE ∴DE=6 ……………….5分
本题也可以利用勾股定理解答：连接AF ，设DE=x ，则EC=9-x 在Rt ⊿ADE 中，AE x 2229=+; 在Rt ⊿ECF 中，
()EF x 2
2
2
92=+-;
在Rt ⊿AEF 中，AF EF AE 222=+; ∴EF AE AF +=222=x 229++()x -+
92
2
2
又∵在Rt ⊿ABF 中，79222+=AF ；∴x 229++()x -+
92
2
2
792
2
+=
解得x 1=3，x 2=6 ∵DE>CE ∴DE=6。

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