03Westergaard复变函数方法

1 1 θ θ = (cos isin ) 2 2 z r
σx +σ y
4
1 1 = Re (K I iK II ) i 2 2π + O( z ) 2 = Re ′( z )
1 [ KI iKII ] + O( z) 故 ′( z ) = 2 2πz 2πz
K = K I iK II = lim 2 2πz i ′( z)
σ x + σ y = σ x′ + σ y ′ σ y σ x + 2iτ xy = e2iα σ y′ σ x′ + 2iτ x′y′
( z ) = eiα1 ( z1 ) ψ ( z ) = eiαψ 1 ( z1 ) χ ( z) = χ1 ( z1 )
K 由应力函数 ( z ) 计算应力强度因子K I , II
ZI = Pa
π z z2 a2
K I = P / πa
本例相当于裂纹面任一点作用单位载荷的基本解
表面上有任意的分布载荷 P (x ) 作用
Z I ( z) = ∫
(点A处)
a
P(ζ ) a 2 ζ 2
a
π (z ζ ) z a
2
2
dζ
KI,A = ∫
P (ζ ) a + ζ dζ a πa a ζ
典型的张开型问题
(一) (1) )
Z→∞
σ x = σ y=τ xy = 0
(2) )
| x |< a
σy =0
(3) )
τ xy = 0
x 轴上
∫
∞
a
σ y dx = P
选取应力函数
Z I ( z) = 2 Pz a 2 b 2
π (z 2 b2 ) z 2 a2
坐标原点移到裂纹右尖端处, 坐标原点移到裂纹右尖端处,取 ζ = z a
z →0
求得 ′( z ) ,可以求得应力强度因子 K I , II K
由复应力函数求K的例子
∞ ∞ σ x + σ y = N1 + N2
y
N1
y′
o
σ σ + 2iτ = e
∞ y ∞ x ∞ xy
2iα
( N2 N1 )
α
x ( x′)
2a
N2
情况I 情况I
σ = σ σ
0 x ∞ x
1
2 Pdb
a
a
a1 = a
K I = P πa
(三)
Z I ( z) = P a2 b2
π ( z b) z 2 a 2
它满足问题的全部边界条件
(i) 当 a < x < a
x≠b
,
σx
(ii)
y =0
=Re Z I ( z ) y=0 = 0
y =0
在裂纹面上 σ y 全x轴上 τ xy
a
(点B处)
K I ,B = ∫ P (ζ ) a ζ dζ a πa a + ζ
a
Westergaard方法 方法
利用了在实轴 x1上的 z
= z 关系式
考虑如图所示的Ⅰ型对 称平面问题.沿轴 x1上 有若干个直裂纹,且外 载关于 x1 轴对称.再对 称轴 x1 上的对称条件表 示为:
σ
x2
σ 12 ( x1 , 0 ) = 0
1 φ (z) = Z(z) 2
/
/ (z) = zZ / (z)
1 2
反对称(剪切) 反对称(剪切)载荷
U(x, y) = y Re ∫ Zdz
σ xx = 2ImZ + y Re Z / σ yy = y Re Z / σ xy = Re Z y ImZ /
1+ν [2(1ν ) Im∫ Zdz + y Re Z] E 1+ν uy = [(1 2 ) Re ∫ Zdz y ImZ] ν E ux =
Westergaard方法 方法
对于一般的二维平面问题,需要求解两个 Kolosov-Muakhelishvili解析函数 Φ和 Ψ . 而对于纯Ⅰ型和纯Ⅱ型问题,Westergaard发现 只 需 要 求 解 一 个 解 析 函 数 Z ( z) , 称 为 Westergaard函数.
Westergaard方法的裂纹解 方法的裂纹解
1 1 ∞ ∞ Γ = ( N1 + N2 ) = (σ x + σ y ) 记 4 4 1 1 ∞ 2iα ∞ ∞ Γ′ = ( N2 N1 )e = (σ y σ x + 2iτ xy ) 2 2
( z ) = (2Γ + Γ′) z 2 a 2 Γ′z
1 a2 1 1 2 2 ψ ( z ) = (2Γ + Γ′) + (Γ′ Γ′) z a + (Γ′ + Γ′) z 2 2 2 2 2 z a 1 2 1 2
K I = lim σ y0 2πS1
S1 →0
K II = lim τ xy0 2πS1
S1 →0
( S1 > 0)
K III = lim τ zy0 2πS1
S1 →0
不必先求得应力场,而只要复应力函数微商 ′( z ) 而只要复应力函数微商
σ x + σ y = 4 Re ′( z)
KI θ K II θ σ x +σ y = 2cos 2sin + O(r ) 2 2 2πr 2πr
Z I = ( z + a )
K I = Lim 2π ( z + a )Z I ( z )
z → a
P K I = Lim i 2π ( z + a ) = 2 2 z → a πa π ( z b) z a
P a2 b2
ab a+b
集中力
P 作用在裂纹中点,取 b = 0 作用在裂纹中点,
τz
Z(t) =
τt
t 2 a2
这些 Z(z)是怎样确定的,Westergaard方法中并没有给出一定的步骤,不如 Muskhelishvili方法系统和直接
Westergaard应力函数 应力函数
I型
K I = Lim 2πζ Z I (ζ )
ζ →0
寻求满足所有边界条件的应力函数 Z I (ζ )
展开 得
1 ( z1 ) = ∑ A z
n =1
∞
n/2 n 1
a ∞ ∞ ∞ + {σ x σ y + 2iτ xy } 4
1 ∞ ∞ A1 = 2a (σ y iτ xy ) 2 1 ∞ ∞ ∞ A2 = (σ x σ y ) + 2iτ xy 4 1 1 ∞ ∞ A3 = (σ y iτ xy ) 4 2a A4 = 0,
I型裂纹 型裂纹
σ xx = Re Z y ImZ / σ yy = Re Z + y ImZ / σ xy = y Re Z /
ux = 1+ν [(1 2 ) Re ∫ Zdz y ImZ] ν E 1+ν uy = [2(1ν ) Im∫ Zdz y Re Z] E
――平面应变
不难发现
y =0
= Re Z I ( z ) y =0 = 0
=0
(iii)
(vi) z = b 附近,Z = σ y=τ xy = 0
右端A 右端A
P K I = Lim 2π ( z a ) Z I ( z ) = z →a πa a+b a b
左端B 左端B
容易证明,双调和函数 U可以用三个调和函数 U1, 2与 U3表示 双 U
U = U1 + xU2 + yU3
对称的裂纹,westergaard假设,对于对称或反对称受载情况,可取
U(x, y) = Re ∫ dz∫ Z(z)dz + y Im∫ Z(z)dz
Z(z)为一解析函数 Z(z)称为westergaard复应力函数, 复应力函数
注意到 ′( z ) = 1 A 1 + A + 3 A z1/ 2 + 1 1 2 3 1 2 2 z1
应力强度因子(SIF)的求解方法概述 的求解方法概述 应力强度因子
人们已经发展了多种方法求解应力强度因子 SIF(Stress Intensity Factor), 解析方法,数值方法 实验方法. 数值方法和实验方法 解析方法 数值方法 实验方法 在解析方法中,Westergaard方法 权函数 方法,权函数 方法 积分变换法,这些方法一般只能求解某 法,积分变换法 积分变换法 些简单构形的问题. 数值方法有有限元法 边界元法 边界配位 有限元法,边界元法 有限元法 边界元法,边界配位 法等. 实验方法有光弹性法 能量释放率法 光弹性法,能量释放率法 光弹性法 能量释放率法等.本 节只简单介绍几种解析方法.
xoy 平移到 x′o′y′
移轴公式
( z ) = 1 ( z1 ) ψ ( z ) = ψ 1 ( z1 ) z 01′( z1 )
z1 1 a
z1 按 作展开之后 a
1 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ 1/ 1 ( z1 ) = {σ x σ y + 2iτ xy } a + (σ y iτ xy ) 2az1 2 4 2 1 ∞ 1 ∞ 2 3/ 2 ∞ ∞ ∞ + {σ x σ y + 2iτ xy } z1 + (σ y iτ xy ) z1 + O( z12 ) 4 8 a
σ 12 ( x1 , 0 )
= Im { z Φ′′ ( z ) + Ψ ′′ ( z )} = Im { zΦ′′ ( z ) + Ψ ′′ ( z )}
x2 = 0 x2 = 0