二倍角教案

二倍角的三角函数（第1课时）

一、学习目标

1．掌握从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式的过程，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用．

2．掌握二倍角公式（正用、逆用及变形）在求值、化简、证明过程中的应用，提高学生的运算和逻辑推理能力．

3．强化学生的参与意识，领会从一般到特殊的数学思想，体会公式中所蕴含的简洁美、和谐美，激发学生学习数学的兴趣．

二、教学重难点

重点：二倍角公式及变形公式的推导

难点：二倍角公式及变形公式的灵活运用

三、学法指导

让学生通过图形和公式推导，从数和形两个方面自主的探究二倍角公式，激发学生的学习欲望和学习兴趣；通过练习反馈，找出学生对知识点的掌握情况及学生间的问题、差距．

四、学习过程

（一）、情景设计

前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，这些公式中的角α、β都带有一般的性质，我们说一般性中总蕴含着特殊性，比如角βα=时，公式中就只有α和α2的三角函数了，那么此时α的三角函数和α2的三角函数有什么样的关系呢，公式会显示出哪些简洁之美呢？

这就是我们今天研究的课题。

关于这个课题我们可以从“数”和“形”两个方面去研究。现在大家就把教学案上的问题1到问题3讨论组织一下，过会我们请小组成员解决一下这几个问题。

（二）、学生活动

小组讨论3分钟，请两个小组代表回答

教师完善过程与结论

（三）、构建数学

1、观察函数x y sin =与函数x y 2sin =在图像上有什么样的关系？

x y sin = 纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2 x y 2sin =

用解析式怎样表达出来呢？

显然通过“形”---图像是无法给出函数x y sin =与函数x y 2sin =的解析式关系的。 那么从“数”的角度出发，即在两角和的正弦、余弦、正切公式中取一种特殊情况， 使得αβ=，你能得到你想要的关系式吗？哪个小组帮我们解决一下这个问题。

2、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααα22sin cos 2cos -=

α

αα2tan 1tan 22tan -= 由于α2是α的二倍角，我们就把这一组公式称为二倍角公式。这就是我们今天探讨的结论“二倍角三角函数”。

从两角和的正弦、余弦、正切公式得到二倍角的公式，这体现了有一般到特殊的化归思想。那么这些表达式是恒成立的吗？

二倍角的正弦、余弦公式中R ∈α 二倍角的正切公式中Z k k ∈+≠

,2ππα,Z k k ∈+≠,22ππα 学生板演并讲解。

例1、 已知),,2

(,1312sin ππββ∈=求βββ2tan ,2cos ,2sin 的值； 本例是“给值求值”问题，直接利用倍角公式进行计算，但要注意角的范围的判断，以决定三角函数值的正负。

练习1：若5

12cos 2sin =-α

α

，则αsin =？ 本练习是为了引入公式逆用的知识点，并且在讲解中可以分析“倍角”的含义，即倍角的概念是相对的。

α2是α的二倍角：αααcos sin 22sin =

α3是α2

3的二倍角：αααα23cos 23sin 2232sin 3sin =⋅=

我们学习的公式有正用、逆用、妙用、巧用，各位同学仿照前面的学习过程，看一看，今天的你学习的二倍角公式有哪些比较直接的变式呢？

小组讨论3分钟

3、直接变形

ααα2sin cos sin 2= 与 ααα2sin 2

1cos sin = ααα2tan tan 1tan 22=- 与 ααα2tan 21tan 1tan 2=- ααα2cos sin cos 22=- 与 ααα2cos cos sin 22-=-

1cos 22cos sin 212cos 22-=-=ααα

α 与 αααα2cos 1cos 22cos 1sin 222+=-=

（四）、数学应用

例2、化简求值：（口答）

（1）'3022cos '3022sin

⋅ =

（2）8cos 8sin 2

2ππ

-= （3）12cos 24cos 48cos

48sin 2ππππ= （4）0

215sin 21-=

（5）020215cos 15sin 2= （6）12

tan 112

tan

2ππ-=

本例是“给角求值”问题，其方法是直接利用公式及它的变式将非特殊角转化为特殊角或产生抵消或约分等。通过本例让学生加深对公式的记忆，进一步巩固公式。

教师板演第（3）题和第（5）题

小组探讨例3的解决方案，小组成员板演分析。教师重点分析例3。

例3求证=++-+θ

θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1θtan 重点分析左式的三种化简方法，让学生进一步加深对二倍角余弦公式的应用

本例是利用倍角公式证明三角恒等式的问题，在证明过程中要分析三角函数名和角的关系。本例等式的左边是正弦、余弦、角θ2，右边是正切、角θ，显然利用倍角公式可以把θ2转化为θ，利用同角三角函数关系θ

θθcos sin tan =

可以弦化切，所以本例采用了左边化简的思路。

（五）、练习反馈

课堂练习

练习2: 求4cos 2sin 22+-的值？ 4cos 2sin 22+-=2cos 3-

练习3：化简：

ααααcos 1cos 2cos 12sin +•+=2tan α

练习4：已知2tan =x ，求⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x 24tan π． ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x 24tan π=71- 巩固练习