信息光学中的傅里叶变换优秀课件
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设 F f(x,y)F(fx, fy) F g(x,y)G(fx, fy)
a,b为常数，则
F a(x f ,y ) b (x g ,y ) aF(fx, fy)bG(fx, fy)
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、二重傅里叶变换性质
F F f(x,y) f(x,y)
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( fx)
(fx)ej2fxxdfx
(fx)e0dfx
(
fx)dfx
物理图像
1
(fx,fy)
e j2 (fxx fyy )d x d y
2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1、线性性质
但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
信息光学中的傅里 叶变换
表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux 1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代 光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用 线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成 像等问题。
它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
上式称为F（fx，fy）的二维傅里叶逆变换。
正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数 因子的符号和积分变量不同而已。
我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。
F ()
f (x, y)
F -1（）
F( fx, fy )
二、傅里叶变换的存在条件
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即
F( fx, fy )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) ej x ( f x , f p y )
F( fx, fy )
( fx, fy)
2
F( fx, fy )
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f(x ,y ) F (fx,fy)ex j2p (fxxfyy )d fxd fy= F -1{F( fx, fy )}
f(x, y) dxdy
（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。
（3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。 这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存 在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。
1. 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义
含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F (fx ,fy ) f(x ,y )ex j2 p(fx x fyy )d x d y
F(fx, fy) F { f (x, y)}
在此定义中， 变换 F( fx, fy )本身也是两个自变量 f x和 f y 的函数。 F(x,ffy)称为yf)(的 x, 傅里叶频 谱谱 或 fx,fy ,分 空别 间称 为X和Y方向率 的. 空间频
解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们 把它定义为矩形函数序列的极限。
f (x, y) la i m rec(a x t)rec(a yt)
Байду номын сангаас
rect ( x )
1
a
a 2
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换 请同学业们动手推导
F {rect(x)} rec(xt)ej2fxxdx
a
对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折
3、缩放性质
F f(x,y)F(fx, fy) F f(a,xb)y 1 F( fx , fy )
ab a b
函数空域的位移，带 来频域中的线性相移， 另一方面函数在空域 中的相移，会导致频 域位移。
4、平移特性
F f(x x 0 ,y y 0 ) e x j 2 ( f x x p 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
f
f
F( fx, fy )
F(fxfx0,fyfy0)
f
5、对称性质
F f*(x,y) F*(-fx,fy) F f*(x,y) F*(fx, fy)
若f(x,y)为实函数，显然有
F( fx, fy )F*(-fx,fy) 称 F( fx, fy )具有厄米对称性
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。
例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换
F ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f ( x ) ,y ) F(fxfx0,fyfy0)
f (x, y)
f
f(xx0,yy0)
F( fx, fy )
f
e x j 2 ( f x p x 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
f
ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f( x ) ,y )
e dx a
2
j2fxx
a
1 (ej2fxa2ej2fxa2) j2fx
2
sin f xa f x
a sin fxa af x
asin c(fxa)
F {rect(y)} asinc(fya)
f (x,y)=1
F lim {f (x, y)} a2sicn (ax)fsicn (ay)f(fx, fy) a
a,b为常数，则
F a(x f ,y ) b (x g ,y ) aF(fx, fy)bG(fx, fy)
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、二重傅里叶变换性质
F F f(x,y) f(x,y)
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( fx)
(fx)ej2fxxdfx
(fx)e0dfx
(
fx)dfx
物理图像
1
(fx,fy)
e j2 (fxx fyy )d x d y
2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1、线性性质
但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
信息光学中的傅里 叶变换
表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux 1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代 光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用 线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成 像等问题。
它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
上式称为F（fx，fy）的二维傅里叶逆变换。
正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数 因子的符号和积分变量不同而已。
我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。
F ()
f (x, y)
F -1（）
F( fx, fy )
二、傅里叶变换的存在条件
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即
F( fx, fy )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) ej x ( f x , f p y )
F( fx, fy )
( fx, fy)
2
F( fx, fy )
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f(x ,y ) F (fx,fy)ex j2p (fxxfyy )d fxd fy= F -1{F( fx, fy )}
f(x, y) dxdy
（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。
（3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。 这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存 在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。
1. 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义
含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F (fx ,fy ) f(x ,y )ex j2 p(fx x fyy )d x d y
F(fx, fy) F { f (x, y)}
在此定义中， 变换 F( fx, fy )本身也是两个自变量 f x和 f y 的函数。 F(x,ffy)称为yf)(的 x, 傅里叶频 谱谱 或 fx,fy ,分 空别 间称 为X和Y方向率 的. 空间频
解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们 把它定义为矩形函数序列的极限。
f (x, y) la i m rec(a x t)rec(a yt)
Байду номын сангаас
rect ( x )
1
a
a 2
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换 请同学业们动手推导
F {rect(x)} rec(xt)ej2fxxdx
a
对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折
3、缩放性质
F f(x,y)F(fx, fy) F f(a,xb)y 1 F( fx , fy )
ab a b
函数空域的位移，带 来频域中的线性相移， 另一方面函数在空域 中的相移，会导致频 域位移。
4、平移特性
F f(x x 0 ,y y 0 ) e x j 2 ( f x x p 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
f
f
F( fx, fy )
F(fxfx0,fyfy0)
f
5、对称性质
F f*(x,y) F*(-fx,fy) F f*(x,y) F*(fx, fy)
若f(x,y)为实函数，显然有
F( fx, fy )F*(-fx,fy) 称 F( fx, fy )具有厄米对称性
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。
例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换
F ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f ( x ) ,y ) F(fxfx0,fyfy0)
f (x, y)
f
f(xx0,yy0)
F( fx, fy )
f
e x j 2 ( f x p x 0 f y y 0 ) F ( f x ,f y )
f
ej 2 x ( f x 0 p x f y 0 y f( x ) ,y )
e dx a
2
j2fxx
a
1 (ej2fxa2ej2fxa2) j2fx
2
sin f xa f x
a sin fxa af x
asin c(fxa)
F {rect(y)} asinc(fya)
f (x,y)=1
F lim {f (x, y)} a2sicn (ax)fsicn (ay)f(fx, fy) a