利息理论第四章 债务偿还

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债务偿还的等价原理
过去法
Bt L 1 i X k (1 i )t k
t k 1 t

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例4.1.1

设i=0.1,时刻0时的贷款额为L,在三年内每 年末偿还。偿还额分别为 x1=500,x2=750,x3=1100。试求每次还款 的本金、利息及各时刻的贷款余额。
k 1 n
例4-10 某借款人年初贷款，利率5%，贷款 期限10年，首年末还款额为2000元，第二 年末1900元，依次类推，第10年末为1100 元。计算（1）贷款本金；（2）第5次还 款中的本金和利息部分。
4-5 连续偿还的分期偿还表
Btp = ant Btr = an (1 i)t st
2/m ┋ t/m ┋ n-1/m
1/m ┋ 1/m ┋ 1/m
1 n m v m
┋
1 1 n tm v m
1
( m) an 2/ m
┋
t 1 n 1 (1 v m ) m
┋
( m) an t / m
┋
2 1 m (1 v ) m 1 1 m (1 v ) m
┋
┋
2
1 m v m
an
sk
表(4-3) 偿还频率低于计息频率的分期偿还表
时刻 s 0 k 2k ┋ tk ┋ n-k n 总计 1 1 ┋ 1 ┋ 1 1 n/k [(1+i)k-1] an / sk =1- vn 1- vn-k ┋ 1-vn-(t-1)k ┋ 1- v2k 1- v k n/k- an / sk Rk-Ik=vn vn-k ┋ vn-(t-1)k ┋ v2 k vk 还款 额 Rs 还款额中的利息部分 Is 还款额中的本 金部分 Ps 贷款余额 Bs
an / sk
B0-Pk= ank / sk
an2 k / sk
┋
antk / sk
┋
ak / sk
0
an / sk
例4-7 若某人贷款1000元，每年计息4次得 年名义利率为12%，贷款偿还时间及数额 为第1年末400元，第5年末800元，第10年 末偿还剩余部分，计算第10年末的偿还额 及其共包含的本金和利息。
t t t n 1 i X k v k X k v k k 1 k 1
X t 1v t 1 X t v t
1 i
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k t 1
t
X
t 1 v t 1
X nvn

n
X k v k t
合众国规则

还款的支付首先应该用于偿还贷款自增的 利息，如果还款量超过还款时贷款所自增 的利息，剩余部分用于偿还本金，否则， 剩余的（即当次还款还未能还掉的）利息 部分不能混入到未偿还本金中，即它们不 能产生利息。
4.1.3 偿还频率与计息频率不同的分期 偿还表

1、如果每偿还期计息k次，即偿还频率小于计 息频率，计息期为n，则共有n/k次偿还款， n/k为整数，若利率为i,每次偿还额为1，则贷 款额为：
第四章
债务偿还
债务偿还的几种方式


满期偿还 分期偿还 偿债基金
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债务偿还的等价原理


贷款L=偿还款在0时的现值 贷款L的终值=偿还款的终值2014-6-21深圳大学经济学院 吴洪
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债务偿还的等价原理



假设时刻0的贷款额为L,约定分期偿还， 时刻1,2,3.。。的偿还额为X1,X2,X3. 如果偿还额分解成两部分：利息It和本金 Pt 那么
0 n
(4-13) (4-14) (4-15)
Bt = v s t Rs ds
p
t
n
B =B0(1+i) - Rs (1 i)t s ds
r t
t
t
0
L=B0= exp( r dr )Rs ds
0 0
n
s
(4-16) (4-17)
t
Bt = exp( r dr ) Rs ds
分期偿还表例题
例4-4 某借款人每季度末偿还贷款一次，每 次1000元，共5年，每年计息4次的年名义 利率为12%。计算第6次还款中的本金部分 和利息部分。
例4-5甲从乙处借款10000元，每季度末还款 一次，共6年，每年计息4次的年名义利率 为8%。第2年末，乙将这一收回债务的权 利转卖给丙，丙的收益率为每年计息4次 的年名义利率10%，计算丙、乙所得的利 息收入。
例4-3 某年轻借款人预计其10年后工资会 有大幅上升，决定在前10年每年末还款 8000元，而后5年末还款20000元，年利率 为8%，计算B5.5。
4-2 分期偿还表


分期偿还贷款的每期还款中，既有本金， 也有利息。有必要将其区分开来。 分期偿还表就是按照各期偿还款中利息和 本金的额度以及每期还款后贷款余额的列 表。
( m) 表（4-4） an 的分期偿还表
时刻 s 0 1/m
还款额 Rs
还款额中的利息部 分 Is
还款额中的本金 部分 Ps
贷款余额 Bs
( m) an
1/m
i ( m) 1 B0 (1 v n ) m m
1 n 1 m (1 v ) m
R1/m–I1/m =
1 n v m
( m) B0 P 1/ m an1/ m
例4-1 已知某贷款10万元，分10年还清，每 月末还款一次，每年计息12次的年名义利 率为6%。分别利用过去法和未来法计算在 还款50次后的贷款余额。
例4-2 若借款人每年末还款1000元，共20 次。在第5次还款时，他决定将手头多余 的2000元也作为偿还款，然后将剩余贷款 调整为12年，若利率为9%，计算调整后每 年的还款额。
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贷款还款现金流
还款： 时间： 贷款： 0 L
R 1
R 2 …
R t
R t+1
R n
图(4-1) 分期偿还计划的现金流图
4.2.1 贷款余额
L=R an i Bt=R ant i Bt=L(1+i)t-R st i (4-1) (4-2) (4-3)
Btp =未来仍需要发生的（借方净流出）支付在 t 时的现值。 Btr =过去所有（借方的净流入）支付的积累值。
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例4.1.1

设i=0.1,时刻0时的贷款额为L,在三年内每 年末偿还。偿还额分别为 x1=500,x2=750,x3=1100。试求每次还款 的本金、利息及各时刻的贷款余额。
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第二节 分期偿还计划：贷款余额

所有的未来还款支付在贷款利率下的现值 正好为未偿还贷款余额
( m) a1/ m
n 总计
1/m n
1 m v m
( m) an
1
0
( m) n- an
付款频率大于计息频率
例4-8 一种贷款要在每半年末偿还1元，共5 年，年利率为i，计算第8次还款中的贷款 本金部分。
4.1.4 变动偿还系列
假设贷款L, 期限为n, 贷款利率为i, Rk为第k期末的分期付款 额，k=1,2,3,...,则有： L= v k Rk
表4-1 贷款额为an的分期偿还表
时刻 t 每次还款额 Rt 每次还款中所包 含的自增利息 It 每次还款中所 包含的本金 Pt 未偿还贷款余额 Bt
0 1 2 ┋ t ┋ n-1 n 总计 1 1 ┋ 1 ┋ 1 1 n i an =1-vn 1-vn-1 ┋ 1-vn-t+1 ┋ 1-v2 1-v 1- i an =vn vn-1 ┋ vn-t+1 ┋ v2 v
X t It P t
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债务偿还的等价原理

记 Bt 为时刻t刚刚偿还Xt后的贷款余额， 规定
B0 L
n

那么有如下关系：
L X t vt
t 1
I t iBt 1 Bt Bt 1 Pt
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an an -vn = an1
an2
┋
ant
┋
a1
0
n an
an
本金、利息的分配计算


利息部分：It=i×Bt-1 本金部分：Pt=Rt-It 贷款余额：Bt=Bt-1-Pt
(4-4) (4-5) (4-6)

表4-1中，贷款额为an,每次偿还额为1，相应的，如果 贷款额为L,每期偿还款为L/an
p
t t
n
s
B = B0 exp( r dr ) - exp( r dr )Rs ds 0 s
r t
t 0
t
(4-18)
例4-15 某贷款年利率为10%，期限为10年， 采取连续支付的分期偿还方式偿还。前5 年的常数还款率为1000元/年，后5年的常 数还款率2000元/年。计算第5年偿还的贷 款的本金部分和利息部分。
dBt = Pt dt
dBt d d 1- v n- t ) =-vn-t=δ ant -1=δBt-1 = an t = ( dt dt dt d
(4-8) (4-9) (4-10)
P t =1-δBt
(4-11) (4-12)
I t =1- P t =δBt
支付率不为常数