中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习附答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若tan A=1

2

，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．

【解析】

试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3

2

x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理

即可得出结论．

试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，

∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，

∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BD

AE DE AD

==．∵Rt△ABD

中，tan A=BD

AD

=

1

2

，∴

DE BE

AE DE

==

1

2

，

∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3

2

x．∵OF=1，∴OE=1+2x．

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（3

2

x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣

2

9

（舍）或x=2，

∴圆O的半径为3．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD ∽△EDA 是解答本题的关键．

2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E 在⊙O 外，做直线AE ，且∠EAC=∠D ．

（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线．

（2）求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析;(2)

25-504

π. 【解析】 分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE 是⊙O 的切线； （2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.

详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB=90°，

即∠BAC+∠ABC=90°，

∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，

∴∠EAC=∠ABC

∴∠BAC+∠EAC =90°，

即∠BAE= 90°

∴直线AE 是⊙O 的切线；

（2）连接OD

∵ BC=6 AC=8

∴ 226810AB =+=

∴ OA = 5

又∵ OD = OA

∴∠ADO =∠BAD = 45°

∴∠AOD = 90°

∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝

=90155553602

π⨯⨯-⨯⨯ 25504

π-= （2cm ）

点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.

3．如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC,垂足为H ，连接OB ．

(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;

(2)如图2,在弧AC 上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB 取点G ，使AG ∥OB ，若∠BAC=600， 求证:GF=GD;

(3)如图3,在(2)的条件下,AF 、BC 的延长线相交于点E,若AF ：FE=1:9，求sin ∠ADG 的值。

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

1114

. 【解析】 试题分析：（1）延长BO 交⊙O 于点Q ，连接AQ ．由圆周角定理可得：∠AQB =∠ACB ，再由等角的余角相等即可得出结论；

（2）证明△DFG 是等边三角形即可；

（3）延长GA ，作FQ ⊥AG ，垂足为Q ，作ON ⊥AD ，垂足为N ，作OM ⊥BC ，垂足为M ，延长AO 交⊙O 于点R ，连接GR ．作DP ⊥AG ，DK ⊥AE ，垂足为P 、K ．设AF =k ，则FE =9k ，AE =10k ．在△AHE 中， AH =5k ．设NH =x ，则AN =5k -x ， AD =10k -2x ．在△AQF 中， AF =k ，AQ =2k ，FQ 3．由(2)知：△GDF 是等边三角形，得到GD =GF =DF ，进而得到AG =9k -2x ．

OM =NH =x ，BC =23x ， GF =BC =23x ．在△GQF 中，GQ =AG +AQ =

192k -2x ，QF =32k ，GF =23x ，由勾股定理解出74x k ，得到AG =9k -2x =112

k ，AR =2OB =4OM =4x =7k ．在△GAR 中，由sin ∠ADG =sin ∠R 即可得出结论．

试题解析：解：（1）证明：如图1，延长BO 交⊙O 于点Q ，连接AQ ．

∵BQ 是⊙O 直径，∴∠QAB =900．∵AD ⊥BC ，∴∠AHC =900．

∵弧AB =弧AB ，∴∠AQB =∠ACB ．

∵∠AQB +∠ABO =900，∠ACB +∠CAD =900

∴∠ABO =∠CAD

（2）证明：如图2，连接DF ．

∵AG ∥OB ，∴∠ABO =∠BAG ．∵∠ABO =∠CAD ，∴∠CAD =∠BAG ．

∵∠BAC =600，∴∠BAD +∠CAD =∠BAD +∠BAG =600，即

∠GAD =∠BAC =60°．∵∠BAD =∠CAF ．∴∠CAF +∠CAD =600，∴∠GAD =∠DAF =600，∴∠DGF =∠DAF =60°．

∵弧GD =弧GD ，∴∠GAD =∠GFD =600，∴∠GFD =∠DGF =600，∴△DFG 是等边三角形，∴GD =GF ．

（3）如图3，

延长GA ，作FQ ⊥AG ，垂足为Q ，作ON ⊥AD ，垂足为N ，作OM ⊥BC ，垂足为M ，延长AO 交⊙O 于点R ，连接GR ．作DP ⊥AG ，DK ⊥AE ，垂足为P 、K ．

∵AF ：FE =1：9，∴设AF =k ，则FE =9k ，AE =10k ．在△AHE 中，∠E =300，∴AH =5k ． 设NH =x ，则AN =5k -x ．∵ON ⊥AD ，∴AD =2AN =10k -2x

又在△AQF 中，∵∠GAF =1200，∴∠QAF =600，AF =k ，∴AQ =

2k ，FQ 3． 由(2)知：△GDF 是等边三角形，∴GD =GF =DF ，

∵∠GAD =∠DAF =600，∴DP =DK ，∴△GPD ≌△FKD ，△APD ≌△AKD

∴FK =GP ，AP =AK ，∠ADK =300，∴AD =2AK =AP +AK =AF +AG

∴AG =10k -2x -k =9k -2x ．