牛顿法求根的近似值

以牛頓法求整數開平方根的近似值

張海潮教授／臺灣大學數學系

朱啟台助理／數學學科中心

面對95學年度正式實施的數學新課程，撇開刪去的和教學次序調整的不談，老師們最關心的還是新增了哪些題材。除了統計單元之外，或許有些老師覺得微積分的內容也作了不少改變，但基本上95年版的微積分課程只是將73年版的內容作了一定程度的回復，應該不致於增加老師的負擔。 關於微積分課程的設計理念，翁秉仁教授在《談「數學（II ）」課程綱要》已有完整說明，本文焦點將放在微積分課程的一個小角落，也就是「選修數學(II)」的附錄二「以牛頓法求整數開平方根的近似值」。

學完多項式之後，高中生解得出的多項方程式仍然很有限，除了一次與二次可以運用公式解以外，三次以上的方程式只能用勘根定理碰碰運氣。如果我們願意面對真相，其實高中生對二次方程式的

掌握也是有限的，一元二次方程式20ax bx c ++=的兩根為2b a

-±，通常要在係數經過特別設計的情況下，方程式的根才會是有理數，才能真的用我們熟悉的分數表達。就實用的觀點來看，無理數其實並不常見。

舉個例子來說，工廠無法保證生產一批半徑全部都是根號2公分的螺絲，事實上也不需要，客戶可能只要求整批螺絲的半徑介於1.4±0.1公分之間，換句話說，在日常生活中，近似比完美更實用。因此，我們希望高中生學會欣賞近似的概念，並學會一些有效率的近似方法，牛頓求根法剛好是達成這種學習目標的好途徑。

的近似值，我們可以考慮2()0f x x n =-=這個方程式，如圖，方程式的兩根為

。一開始先估計整數位，因為2

22122<=<，的整數部分是1。接下來，因為()()2221.42 1.5<=<， 1.4。 換句話說，求近似值是一個動態的過程，每走一步，就離精確值更近一點，事實上，不論我們希望多麼靠近都辦得到，只要多走幾步就行了。當我們比較不同的近似方法孰優孰劣時，就是在比較逼近速度，也就是說，誰可以用比較少的腳步或比較少的時間達到相同的準確度。

現在，如圖，的右方隨便挑一個數a 的近似值，第1步取多少並不是太重要，重要的是如何從第1步得到第2步，再從第2步得到第3步，然後以此類推。

的第1個近似值a 之後，我們從(),()a f a 作一切線，這個切線和x 軸的交點b 的第2個近似值。像這樣子，從每一個近似值可以引出一條切線，這條切線和x 軸的交點就是下一個近似值。

的必要條件，即使是十分逼近法這種沒有效率的方法也有這個性質，我們想知道牛頓法的效率如

何？

首先注意到

因此，近似值b的誤差為

我們發現，第2步的誤差可直接從第1步的誤差看出來，粗略地說，如果第1步的誤差是0.1，則第2步的誤差大約是0.1的平方0.01；如果第1步的誤差是0.01，則第2步的誤差大約為0.01的平方0.0001。

可以這樣說，十分逼近法每走一步，其精確程度只能增加1個小數位，是個等速運動。但牛頓法每走一步，其精確位數的增加幅度會越來越大，下一步的精確位數是前一步的2倍，精確位數呈指數型態成長。

=1.414213562373095048801688724209…）作為例子來體會一下牛頓法的威力。

2

=-=的第1個近似值為1.5的右方），於是

f x x

()20

我們不妨將上述程序稍微修改一下，一方面可以減少計算負擔，一方面也更容易看出精確度的成長狀況：

這個例子的計算量雖然很大，但計算公式卻很簡單，若配合電腦軟體進行操作，可以讓學生很自然

作為習題讓學生練習，並將估計結果和電算器得出的結果加以比較。