高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.

二、求下列函数的定义域：

1、2

221)

1(),(y

x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x

y

z arcsin

= };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限：

1、2

22)0,0(),(sin lim y x y

x y x +→ （0） 2、

x y x x y

3)2,(),()1(lim

+∞→ (6e )

四、证明极限 2

42)0,0(),(lim y x y

x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2

x y =趋于（0，0）时，极限为2

1

, 二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧

=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，

)0,0(01sin lim 2

2

)

0,0(),(f y

x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数

42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：

在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222

§ 2 偏导数

1、设z=x

y xe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂y

z y x z x

证明：x y

x y

x y

e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y

+=++=∂∂+∂∂y

z

y x z x

2、求空间曲线⎪⎩⎪

⎨⎧=+=Γ2

1:2

2y y x z 在点（

1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y

x

y xy y x f arcsin

)1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y

z

x u =, 求

x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，z

u ∂∂

解：1

-=∂∂y z

x y z x u ，

x x y

z y u y z

ln 2-=∂∂ x x y z u y z

ln 1=∂∂ 5、设2

2

2

z y x u ++=，证明 : u z

u y u x u 2

222222=∂∂+∂∂+∂∂

6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由

⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,

00,1sin ),(222

22

2y x y x y

x x y x f )0,0(0),(lim 0

0f y x f y x ==→→ 连续； 2

01

sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000

0lim

)0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x

b x a f b x a f x )

,(),(lim

--+→

（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________

(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

1）x

y e z = )1(2

dy x dx x y e

dz x

y +-

=

2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=

3）z

y

x u = 解：xdz x z

y

xdy x z dx x z y du z y

z y

z y

ln ln 121-+=-

3、设)2cos(y x y z -=， 求)4

,0(π

dz

解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4

,

0(|π

dz =

dy dx 2

4

π

π

-

4、设2

2),,(y

x z

z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--