电路的频率响应和谐振现象

第七章

例10．1 电路如图10.4（a ）所示：

（1）试求出电压比H(j ω)=1

2/U U （2）判断电路有何种性质，简画幅频特性。

图10.4 例10.1用图

（3）若R 1=R 2=1K,L 1=10mH,C 2=0.0μf 时，求截止频率ω0 及品质因数Q 。

分析:这是典型的二阶电路。通过阻抗分压求出输出比输入的频率响应,与标准形式相比,就可判断出电路属于何性质电路，可大致画出其幅频特性，并且由标准形式可求出电路的截止频率和品质因数。

解 ：(1) 2.

U =

22112

21

1C j G L j R C j G ωωω++

++1.

U

H(jω) =

1

)1

)((1

22

11.1

.

2+++=

C j R L j R U U ωω

=

1

)((1

2

12121212++++)R R

j R L C R C L j ωω

=

2

12122112212

12

1

)

)1()(1)1(C L R R j C R L R j LC

R R R R R +(1++++

+ωω

(2)由滤波器电路的标准形式可判断此电路为低通滤波器电路，其幅频特性如图10.4

（b ）。

（3）当R 1=R 2=1k,L 1=10mH,C 2=0.01 uf 时

ω0=2×105

rad/s

Q =

707.02

2

==

10*25

ω 〔评注〕：在截止频率处，频率响应等于最大值的0.707

倍，此点也称为半功率点。从品质因数较低可看

出，电路从通带到止带的过渡是很缓慢的，与理想特性相差甚远，因此实际电路通常采用有源滤波或其它形式的电路，以改进频率响应。

例10.2 滤波器电路如图10.5所示，欲设计中心频率ω =1000Hz,带宽为100Hz,试确定各元件的值。

图10.5 例10.2用图

分析：这是一个有源滤波电路,首先必须根据节点方程和理想运算放大器的特性,求出输出电压与输入电压之比,再于标准形式比较,得到中心频率和带宽与元件的关系,求出元件值。

解：设节点电位u 1, 列节点电位方程：

0)()(1)()211(

01

121=--++s sCU s Ui R s U sC R R 0)

()(3

01=+

R s U s sCU 消去U 1(s), 得到 H(s) =

)

()

(0s Ui s U H(s) =3

212

2132

121R R R C R R s C R s s C

R +++-

H(jω) =

3

21221

3212

(1

R R R C R R j C R j j C

R +++)-

ωωω

可见这是个带通滤波电路。

)11(11

213R R R C +=0ω B=

C

R Q

32=

ω

设 C= 0.1μ f 则 200101.01002

26

3=⨯⨯=⨯=

-C B R k Ω 假定 R 1 >>R 2 3

21

1R R C

=

0ω 2

0=ω2321

C R R =614310

10102001⨯⨯⨯-=0.5k Ω 取R 1 =100 k Ω 即可。

〔评注〕利用各变量的拉普拉斯变换，使推导和计算更为方便。另外，在设计元件时，往往需要一些近似，或者先确定某个元件值，再由公式确定另外一些元件值。

例10.3 一个RLC 串联谐振电路，电源电压Us=1V ,且保持不变。当调节电源频率，使电路达到谐振时，f =100kHz,这时回路电流I=100mA;当频率改变为f =99kHz 时，回路电流I=70.7mA 。求回路的品质因数和电路r,L,C 参数值。

分析：当外加电源振幅不变，但频率变化时，由于L,C 的存在，使电路响应发生不同的变化。电路达到谐振时，回路电流最大，当失谐时，电流相应减小，且f =99kHz 时，电流为谐振时的0.707倍，此频率点为电路的截止频率。

解： ∵ f 0=

LC

121π

∴ LC=

2

0)2(1

f π

又 ∵ f 1为99kHz , 回路电流 I= 2

0I =0.707 ×I 0

∴ f 1为回路的截止频率。 B=2(f 0－f 1)=2kHz L r

r

L Q f B ππωω20=

2==

0 而 I 0= Us/r

联立求解，得：

r=10Ω L=796mH C=3180μf Q=20

〔评注〕：做题时,要熟知串联谐振电路的特性与一些公式,如谐振时,回路电流最大,且与电源电压同相,电阻上电压就等于电源电压,所以I 0= Us/r ,以及谐振角频率与通频带的公式,则求解就很方便了。

例 10.4 电路如10.6所示，图中0

图10.6 例10.4用图

分析：当电路谐振时总阻抗为纯电阻,因此通过求等效阻抗或等效导纳,使虚部为零来寻找谐振频率与元件的关系。

解：设电流 I = .1U R +

.

1U L

j ω +j ωC(..U k U -) = .)1(1

1U C j k L j R ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++ωω

Y=

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

--+L k C j R

ωω1)1(1 令其虚部为零，则 )

1(1

k LC -=

2

0ω

)

1(210k L f -=

π

〔评注〕：如果是规则的串联或并联谐振电路,则谐振频率只要带入公式求即可,对于本题这种电路,只能通过谐振电路的本质特性去求,也就要求对谐振电路的谐振现象有更深刻的理解。

例10.5 如图10.7（a ）所示谐振电路。已知谐振回路本身Q 0=40, 信号源内阻Ri=40k Ω, C=100pf, L=100μH 。

（a ） 图10.7 例10.5用图 （b ） 求（1）谐振频率 f 0 及电路通频带。

（2）当接上负载R L =40k Ω, 电路通频带有何变化？

分析：并联谐振电路在接入电源后，其电路的谐振频率不变,谐振频率仅与电路参数有关。Q 0是回路本身仅与电阻r 有关的品质因数，

内阻的引入使总电路的品质因数和通频带