第05章__主成分分析
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主成分分析法PPT课件
6
3.832E-16
2.017E-15 100.000
7
3.351E-16
1.764E-15 100.000
8
2.595E-16
1.366E-15 100.000
000
10
1.683E-16
8.860E-16 100.000
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7.026E-17
3.698E-16 100.000
• 因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测 变量中存在的复杂关系,它不是对原始变量的重新组合,而 是对原始变量进行分解,分解为公共因子与特殊因子两部分. 公共因子是由所有变量共同具有的少数几个因子；特殊因 子是每个原始变量独自具有的因子.
3、应用中的优缺点比较
• 主成分分析 优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替 原始多个变量,这些综合变量集中了原始变量的大部分信 息.其次它通过计算综合主成分函数得分,对客观经济现象 进行科学评价.再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综 合评价. 缺点：当主成分的因子负荷的符号有正有负时,综合评价 函数意义就不明确.命名清晰性低.
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2.750E-19
1.447E-18 100.000
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-7.503E-17 -3.949E-16 100.000
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-1.291E-16 -6.794E-16 100.000
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-1.742E-16 -9.168E-16 100.000
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-2.417E-16 -1.272E-15 100.000
四、主成分分析法的步骤
1数据归一化处理：数据标准化Z 2计算相关系数矩阵R： 3计算特征值；
特征值越大说明重要程度越大.
4计算主成分贡献率及方差的累计贡献率； 5计算主成分载荷与特征向量：
第五节 主成分分析
•
•
其中Li为p维正交化向量（Li*Li=1），zi之间互 不相关且按照方差由大到小排列，则称Zi为X的第 I个主成分。设X的协方差矩阵为Σ，则Σ必为半正 定对称矩阵，求特征值λi（按从大到小排序）及 其特征向量，可以证明，λi i所对应的正交化特征 向量，即为第I个主成分Zi所对应的系数向量Li， 而Zi的方差贡献率定义为λi/Σλj,通常要求提取的主 成分的数量k满足Σλk/Σλj>0.85。
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
68.337 95.416 62.901 86.624 91.394 76.912 51.274 68.831 77.301 76.948 99.265 118.505 141.473 137.761 117.612 122.781
0.408 0.255 -0.755 0.069 -0.93 -0.046 0.156 -0.078 -0.109 -0.031 0.744 0.094 -0.924 0.073
（2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个 主成分的贡献率与累计贡献率（见表 3.5.2）。由表3.5.2可知，第一，第二，第 三主成分的累计贡献率已高达86.596% （大于85%），故只需要求出第一、第二、 第三主成分z1，z2，z3即可。
8.128 8.135 18.352 16.861 18.279 19.793 4.005 9.11 19.409 11.102 4.383 10.706 11.419 9.521 18.106 26.724
4.065 4.063 2.645 5.176 5.643 4.881 4.066 4.484 5.721 3.133 4.615 6.053 6.442 7.881 5.789 7.162
主成份分析含时序立体数据的主成分分析
Fl轴上,对数据中包含的信息起到了浓缩作用.
Fl,F2除了可以对包含在Xl,X2中的信息起着浓 缩作用之外,还具有不相关的性质,这就使得在研 究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性. 二维平面上的个点的方差大部分都归结在Fl轴上, 而F2轴上的方差很小.Fl和F2称为原始变量x1和x2 的综合变量.F简化了系统结构,抓住了主要矛盾.
y y1 2 cso in sc sio n sx x1 2 U x
U为旋转变换正 矩交 阵矩 ，阵 它， 是即
U U 1,U U I
旋转变换的目的是为了使得n个样品点在
Fl轴方向上的离 散程度最大,即Fl的方差最大.变 量Fl代表了原始数据的绝大 部分信息,在研究某 经济问题时,即使不考虑变量F2也无损大局.经 过上述旋转变换原始数据的大部分信息集中到
0
U
2
0
1
0 .924
U
3
0
.383
0 .000
第个主成分的贡献率为5.83/5.83+2.00+0.17=72.875%, 尽管第个主成分的贡献率并不小,但在本题中第主成分不 含第三个原始变量的信息,所以应该取两个主成分.
Xi与F1的 相关系数
平方 Xi与F2的相关 平方 信息提
V a r ( x i ) V a r ( u i 1 F 1 u i 2 F 2 u i p F p )
则 u i 2 1 1 u i 2 2 2 u i 2 m m u i 2 p p i 2
u
2 ij
j
是Fj 能说明的第i 原始变量的方差
ui2jj /i2 是Fj 提取的第i 原始变量信息的比重
系数
取率
xi
(xi,F 1)i1
Fl,F2除了可以对包含在Xl,X2中的信息起着浓 缩作用之外,还具有不相关的性质,这就使得在研 究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性. 二维平面上的个点的方差大部分都归结在Fl轴上, 而F2轴上的方差很小.Fl和F2称为原始变量x1和x2 的综合变量.F简化了系统结构,抓住了主要矛盾.
y y1 2 cso in sc sio n sx x1 2 U x
U为旋转变换正 矩交 阵矩 ，阵 它， 是即
U U 1,U U I
旋转变换的目的是为了使得n个样品点在
Fl轴方向上的离 散程度最大,即Fl的方差最大.变 量Fl代表了原始数据的绝大 部分信息,在研究某 经济问题时,即使不考虑变量F2也无损大局.经 过上述旋转变换原始数据的大部分信息集中到
0
U
2
0
1
0 .924
U
3
0
.383
0 .000
第个主成分的贡献率为5.83/5.83+2.00+0.17=72.875%, 尽管第个主成分的贡献率并不小,但在本题中第主成分不 含第三个原始变量的信息,所以应该取两个主成分.
Xi与F1的 相关系数
平方 Xi与F2的相关 平方 信息提
V a r ( x i ) V a r ( u i 1 F 1 u i 2 F 2 u i p F p )
则 u i 2 1 1 u i 2 2 2 u i 2 m m u i 2 p p i 2
u
2 ij
j
是Fj 能说明的第i 原始变量的方差
ui2jj /i2 是Fj 提取的第i 原始变量信息的比重
系数
取率
xi
(xi,F 1)i1
何晓群版—多元统计分析课后练习答案
计算：边远及少数民族聚居区社会经济发展水平的指标数据.xls
T 2 =9* (-2003.23 2.25 -1006.11 2.71 12.01)*s^-1* (-2003.23 2.25
-1006.11 2.71 12.01)’=9*50.11793817=451,06144353 F 统计量=45.2>6.2 拒绝零假设，边缘及少数民族聚居区的社会经济发展水平与 全国平均水平有显著差异。
零假设的拒绝区域 {（n-p）/[(n-1)*p]}*T 2 > Fp,np ( )
1/10*T 2 >F5,4(5) μ0=（ 6212.01 32.87 2972 9.5 15.78）’ 样本均值（4208.78 35.12 1965.89 12.21 27.79）’
（样本均值-μ0）’=(-2003.23 2.25 -1006.11 2.71
4、如果正态随机向量 X (X1, X2, X p ) 的协方差阵为对角阵，证明 X 的分量 是相互独立的随机变量。
解： 因为 X (X1, X2, X p ) 的密度函数为
f
(
x1
,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1 2
(x
μ)Σ1(x
μ)
12
又由于
Σ
2 2
2 p
Σ
12
2 2
2 p
1
2 1
1
Σ 1
2 2
1
2 p
则 f (x1,..., xp )
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
p
1
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Σ
主成分分析法及其应用PPT课件
x4 -0.34 0.644 0.07 1 0.383 0.069 -0.05 -0.031 0.073
x5 0.309 0.42 -0.74 0.383 1
0.734 0.672 0.098 0.747
x6 0.408 0.255 -0.755 0.069 0.734
1 0.658 0.222 0.707
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
荷的平方
三个主成分的
占方差的百分数
“占方差的百分
z1
z2
z3
（%）
数:各个主成分提 取了第i个指标的
x1
0.739
-0.532 -0.0061
82.918
“效率”之和， 它等于各个主成
x2
0.123
0.887 -0.0028
x3
-0.964 0.0096 0.0095
80.191 92.948
分在第i个指标上 的载荷的平方之
x 2：人 均耕地 面积
(ha)
0.352
2 141.5 1.684
3 100.7 1.067
4 143.74 1.336
5 131.41 1.623
x 3：森 林覆盖 率(%)
16.101
x 4：农 民人均 纯收入 (元/人)
192.11
x 5：人 均粮食 产量 (kg/
人)
295.34
x 6：经济 作物占农 作物播面 比例(％)
表3.5.1 相关系数矩阵
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x1
1 -0.327 -0.714 -0.336 0.309 0.408 0.79 0.156 0.744
主成分分析
就是找出转换矩阵U ，而进行主成分分析的作用与几何意义 也就很明了了。下面我们用遵从正态分布的变量进行分析，
以使主成分分析的几何意义更为明显。为方便，我们以二元
正态分布为例。对于多元正态总体的情况，有类似的结论。
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设变量X1、X 2遵从二元正态分布，分布密度为:
2020/7/24
2
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§5.1 主成分分析的基本思想与理论 §5.1.1 主成分分析的基本思想 §5.1.2 主成分分析的基本理论
2020/7/24
3
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§5.1.1 主成分分析的基本思想
考虑多个指标对某一问题进行分析的时候会产生如下问 题：
• 为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标；
2020/7/24
4
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既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定 的相关性，就必然存在着起支配作用的共同因素， 根据这一点，通过对原始变量相关矩阵或协方差矩 阵内部结构关系的研究，利用原始变量的线性组合 形成几个综合指标（主成分），在保留原始变量主 要信息的前提下起到降维与简化问题的作用，使得 在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。
合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息，这样， 在以损失很少部分信息为代价的前提下，达到简化数据结构， 提高分析效率的目的。这一节，我们着重讨论主成分分析的几 何意义，为了方便，我们仅在二维空间中讨论主成分的几何意 义，所得结论可以很容易地扩展到多维的情况。
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2
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')X
以使主成分分析的几何意义更为明显。为方便，我们以二元
正态分布为例。对于多元正态总体的情况，有类似的结论。
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设变量X1、X 2遵从二元正态分布，分布密度为:
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§5.1 主成分分析的基本思想与理论 §5.1.1 主成分分析的基本思想 §5.1.2 主成分分析的基本理论
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§5.1.1 主成分分析的基本思想
考虑多个指标对某一问题进行分析的时候会产生如下问 题：
• 为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标；
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既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定 的相关性，就必然存在着起支配作用的共同因素， 根据这一点，通过对原始变量相关矩阵或协方差矩 阵内部结构关系的研究，利用原始变量的线性组合 形成几个综合指标（主成分），在保留原始变量主 要信息的前提下起到降维与简化问题的作用，使得 在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。
合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息，这样， 在以损失很少部分信息为代价的前提下，达到简化数据结构， 提高分析效率的目的。这一节，我们着重讨论主成分分析的几 何意义，为了方便，我们仅在二维空间中讨论主成分的几何意 义，所得结论可以很容易地扩展到多维的情况。
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2
2
')X
主成分分析完整版
主成分分析完整版一、主成分分析的原理1.标准化数据：先对原始数据进行标准化处理，以确保不同变量的尺度一致。
2.计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算协方差矩阵，矩阵中的元素表示不同变量之间的相关性。
3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4.选择主成分：按照特征值的大小选择最重要的k个特征值和它们对应的特征向量，称之为主成分。
5.数据转换：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。
二、主成分分析的方法1.方差解释比：主成分分析通过特征值展示了每个主成分的重要性。
方差解释比是计算每个主成分的方差所占总方差的比例。
选择解释总方差的比例较高的主成分，可以保留更多的信息。
2.累计方差解释比：累计方差解释比是计算前n个主成分的方差解释比之和。
通过选择累计方差解释比较高的主成分，可以保留更多的原始数据信息。
3.维度选择：主成分分析可以通过选择合适的主成分数来实现数据降维。
通过观察特征值的大小和累计方差解释比，可以选择合适的主成分数。
三、主成分分析的应用1.数据可视化：主成分分析可以将高维度的数据转换为低维度的数据，从而方便可视化。
通过在二维或三维空间中绘制主成分，可以更好地理解数据的分布和关系。
2.特征提取：主成分分析可以提取数据中的最重要特征，从而减少数据维度并保留主要信息。
特征提取可以在分类、聚类等问题中提高算法的效果。
3.数据压缩：主成分分析可以将高维度的数据压缩为低维度的数据，从而节省存储空间和计算时间。
压缩后的数据可以用于后续分析和处理。
4.噪音过滤：主成分分析通过保留数据中最重要的特征，可以减少噪音的影响。
通过滤波后的数据可以提高实验测量的准确性和稳定性。
综上所述，主成分分析是一种强大的数据降维技术，可以在许多领域中应用。
熟悉主成分分析的原理、方法和应用，对于理解数据和提升数据分析的能力具有重要意义。
什么是主成分分析精选全文
可编辑修改精选全文完整版主成分分析（principal component analysis, PCA）如果一组数据含有N个观测样本，每个样本需要检测的变量指标有K个, 如何综合比较各个观测样本的性质优劣或特点？这种情况下，任何选择其中单个变量指标对本进行分析的方法都会失之偏颇，无法反映样本综合特征和特点。
这就需要多变量数据统计分析。
多变量数据统计分析中一个重要方法是主成份分析。
主成分分析就是将上述含有N个观测样本、K个变量指标的数据矩阵转看成一个含有K维空间的数学模型，N个观测样本分布在这个模型中。
从数据分析的本质目的看，数据分析目标总是了解样本之间的差异性或者相似性，为最终的决策提供参考。
因此，对一个矩阵数据来说，在K维空间中，总存在某一个维度的方向，能够最大程度地描述样品的差异性或相似性(图1)。
基于偏最小二乘法原理，可以计算得到这个轴线。
在此基础上，在垂直于第一条轴线的位置找出第二个最重要的轴线方向，独立描述样品第二显著的差异性或相似性；依此类推到n个轴线。
如果有三条轴线，就是三维立体坐标轴。
形象地说，上述每个轴线方向代表的数据含义，就是一个主成份。
X、Y、Z轴就是第1、2、3主成份。
由于人类很难想像超过三维的空间，因此，为了便于直观观测，通常取2个或者3个主成份对应图进行观察。
图（1）PCA得到的是一个在最小二乘意义上拟合数据集的数学模型。
即，主成分上所有观测值的坐标投影方差最大。
从理论上看，主成分分析是一种通过正交变换，将一组包含可能互相相关变量的观测值组成的数据，转换为一组数值上线性不相关变量的数据处理过程。
这些转换后的变量，称为主成分（principal component, PC）。
主成分的数目因此低于或等于原有数据集中观测值的变量数目。
PCA最早的发明人为Karl Pearson，他于1901年发表的论文中以主轴定理（principal axis theorem）衍生结论的形式提出了PCA的雏形，但其独立发展与命名是由Harold Hotelling于1930年前后完成。
多元统计分析课后练习答案
2 p
1
2 1
1
Σ1
2 2
1
2 p
则 f ( x1,..., xp )
p
1
Σ
2
22 12
2 p
1/2
exp
1 (x
μ) Σ1
2
1
2 1
1
2 2
( x μ)
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2 p
p
1
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1 (x1 1 )2
2
2 1
1 ( x2 2
3) 2
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...
1 (xp 2
p )2
2 p
p
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( xi
计算： 边远及少数民族聚居区社会经济发展水平的指标数据 .xls
T 2 =9* (-2003.23 2.25 -1006.11 2.71 12.01)*s^-1* (-2003.23 2.25
-1006.11 2.71 12.01)’=9*50.11793817=451,06144353 F 统计量 =45.2>6.2 拒绝零假设，边缘及少数民族聚居区的社会经济发展水平与 全国平均水平有显著差异。
4、什么是逐步判别分析？ 答：具有筛选变量能力的判别方法称为逐步判别分析法。 逐步判别分析法就是先 从所有因子中挑选一个具有最显著判别能力的因子， 然后再挑选第二个因子， 这 因子是在第一因子的基础上具有最显著判别能力的因子， 即第一个和第二个因子 联合起来有显著判别能力的因子； 接着挑选第三个因子， 这因子是在第一、 第二 因子的基础上具有最显著判别能力的因子。 由于因子之间的相互关系， 当引进了 新的因子之后， 会使原来已引入的因子失去显著判别能力。 因此， 在引入第三个 因子之后就要先检验已经引入的因子是否还具有显著判别能力， 如果有就要剔除 这个不显著的因子；接着再继续引入，直到再没有显著能力的因子可剔除为止， 最后利用已选中的变量建立判别函数。
主成分分析(principal component analysis)
一、主成分分析的思想主成分分析是数据处理中常用的降维方法。
我们需要处理的数据往往是高维数据，把它看成是由某个高维分布产生。
高维分布的不同维之间可能具有较强的相关性，这也就为数据降维提供了可能。
为了叙述清楚主成分分析的思想，我们通过二维数据进行叙述，即数据是由随机向量 (X_1,X_2) 产生，并假设X_1=X_2 。
通过该分布得到的样本点如图下所示：如果我们把每个数据点用 (x_1,x_2) 表示，那么，每个数据是二维的。
实际上，容易发现，我们只需要将坐标系进行旋转，旋转到红色坐标系位置，此时，每个数据点在新坐标系下的表示形式为为 (x_1^{'},0) ，由于每个数据点的第二维坐标都是 0 ，所以每个数据点只需要用一个数表示就行了，这样就把数据的维数从二维降到了一维。
接下来考虑不是完全线性关系，但是具有强相关性的情况，如下图所示：在这种情况下，我们不可能通过坐标系的平移与旋转，使所有点都落在一根轴上，即不可能精确地把数据用一维表示。
但是注意到 (X_1,X_2) 仍然有强相关性，我们仍然将坐标轴旋转到红色位置，可以看出，将数据在 x_1^{'} 上的投影近似代表原数据，几乎可以完全反映出原数据的分布。
直观看，如果要将数据投影到某根轴，并用投影来表示原数据，将数据压缩成一维，那么投影到 x_1^{'} 是最好的选择。
因为投影到这跟轴，相比于投影到其他轴，对原数据保留的信息量最多，损失最小。
如何衡量保留的信息量呢？在主成分分析中，我们用数据在该轴的投影的方差大小来衡量，即投影后方差越大（即投影点越分散），我们认为投影到该轴信息保留量最多。
从这种观点看，投影到 x_1^{'} 确实是最好的选择，因为投影到这根轴，可使得投影点最分散。
我们将数据的中心平移到原点（即新坐标轴的原点在数据的中心位置），为了消除单位的影响，我们将数据的方差归一化。
进一步考虑如下数据分布：根据上述，如果要将数据压缩为一维的，那么应该选择 F_1 轴进行投影，如果用该投影表示原数据的损失过大，我们可以再选择第二根轴进行投影，第二根轴应该与 F_1 垂直（保证在两根轴上的投影是不相关的）并且使得数据在该轴上投影方差最大，即图中的 F_2 轴（如果是二维情况，第一根轴确定后，第二根轴就确定了。
主成分分析完整版
2 0.84,e2 (0.999, 0.040)T .
X的两个主成分分别为 第一主成分的贡献率为
Y1 0.040X1 0.999X2, Y2 0.999X1 0.040X2.
1 100.16 99.2% 1 2 101
R 型分析
R型分析的概念
为消除量纲影响，在计算之前先将原始数据标准化。标准
4. 由此我们可以写出三个主成分的表达式：
F1 0.56(x1 161 .2) 0.42(x2 77.3) 0.71(x3 51.2) F2 0.81(x1 161 .2) 0.33(x2 77.3) 0.48(x3 51.2) F3 0.03(x1 161 .2) 0.85(x2 77.3) 0.53(x3 51.2)
主 旋转坐标轴
x 2
F 1
成 分 分 析 的 几 何 解
F 2
•
•••
•••
• •
•
•••••••••••••••••••••••
• •
F1 x1 cos x2 sin
F2 x1 sin x2 cos
F1
F2
cos sin
sin x1
cos
x2
x2
旋转变换的目的是为了使得n个
很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容 易得多。
在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降 维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性 组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面 的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是：
(1) 基于相关系数矩阵/协方差矩阵做主成分分析？ (2) 选择几个主成分？ (3) 如何解释主成分所包含的实际意义？
2. 求解协方差矩阵的特征方程 S I 0
X的两个主成分分别为 第一主成分的贡献率为
Y1 0.040X1 0.999X2, Y2 0.999X1 0.040X2.
1 100.16 99.2% 1 2 101
R 型分析
R型分析的概念
为消除量纲影响，在计算之前先将原始数据标准化。标准
4. 由此我们可以写出三个主成分的表达式：
F1 0.56(x1 161 .2) 0.42(x2 77.3) 0.71(x3 51.2) F2 0.81(x1 161 .2) 0.33(x2 77.3) 0.48(x3 51.2) F3 0.03(x1 161 .2) 0.85(x2 77.3) 0.53(x3 51.2)
主 旋转坐标轴
x 2
F 1
成 分 分 析 的 几 何 解
F 2
•
•••
•••
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F1 x1 cos x2 sin
F2 x1 sin x2 cos
F1
F2
cos sin
sin x1
cos
x2
x2
旋转变换的目的是为了使得n个
很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容 易得多。
在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降 维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性 组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面 的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是：
(1) 基于相关系数矩阵/协方差矩阵做主成分分析？ (2) 选择几个主成分？ (3) 如何解释主成分所包含的实际意义？
2. 求解协方差矩阵的特征方程 S I 0
第五章主成分分析 (2)PPT课件
（3）如何解释主成分所包含的实际意义。
12
第二节 总体主成分
主成分分析也称主分量分析，是由Hotelling于 1933年首先提出的。由于多个变量之间往往存在着 一定程度的相关性。人们自然希望通过线性组合的 方式，从这些指标中尽可能快地提取信息。当第一 个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二 个线性组合继续这个快速提取的过程，……，直到 所提取的信息与原指标相差不多时为止。这就是主 成分分析的思想。一般说来，在主成分分析适用的 场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。 以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向 量；因此，通过主成分既可以降低数据“维数”又 保留了原数据的大部分信息。
假定有n个样本每个样本共有p个变量构成一个np阶的数据矩阵2221121151假设我们所讨论的实际问题中有p个指标我们把这p个指标看作p个随机变量记为x主成分分析就是要把这p个指标的问题转变为讨论p个指标的线性组合的问题而这些新的指标ykp按照保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息并且相互不相关
主成分分析
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x1
释
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23
为了方便，我们在二维空间中讨论主成分的几何意义。 设有n个样品，每个样品有两个观测变量xl和x2，在由变 量xl和x2 所确定的二维平面中，n个样本点所散布的情况 如椭圆状。由图可以看出这n个样本点无论是沿着xl 轴方 向或x2轴方向都具有较大的离散性，其离散的程度可以分 别用观测变量xl 的方差和x2 的方差定量地表示。显然，如 果只考虑xl和x2 中的任何一个，那么包含在原始数据中的 经济信息将会有较大的损失。
12
第二节 总体主成分
主成分分析也称主分量分析，是由Hotelling于 1933年首先提出的。由于多个变量之间往往存在着 一定程度的相关性。人们自然希望通过线性组合的 方式，从这些指标中尽可能快地提取信息。当第一 个线性组合不能提取更多的信息时，再考虑用第二 个线性组合继续这个快速提取的过程，……，直到 所提取的信息与原指标相差不多时为止。这就是主 成分分析的思想。一般说来，在主成分分析适用的 场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。 以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向 量；因此，通过主成分既可以降低数据“维数”又 保留了原数据的大部分信息。
假定有n个样本每个样本共有p个变量构成一个np阶的数据矩阵2221121151假设我们所讨论的实际问题中有p个指标我们把这p个指标看作p个随机变量记为x主成分分析就是要把这p个指标的问题转变为讨论p个指标的线性组合的问题而这些新的指标ykp按照保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息并且相互不相关
主成分分析
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为了方便，我们在二维空间中讨论主成分的几何意义。 设有n个样品，每个样品有两个观测变量xl和x2，在由变 量xl和x2 所确定的二维平面中，n个样本点所散布的情况 如椭圆状。由图可以看出这n个样本点无论是沿着xl 轴方 向或x2轴方向都具有较大的离散性，其离散的程度可以分 别用观测变量xl 的方差和x2 的方差定量地表示。显然，如 果只考虑xl和x2 中的任何一个，那么包含在原始数据中的 经济信息将会有较大的损失。
主成分分析课件
考虑(X μ)Σ ' 1(X μ)d2 （d为常数），为方便，不妨设
μ 0 上式有如下展开形式：
1 1 2 X 1 1 22 X 1 1 X 2 2 X 2 2 2 d2
Y1 u11X1 u12X2 u1p Xp Y2 u21X1 u22X2 u2p Xp Yp up1X1 up2X2 uppXp
(5.1)
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§1.2 主成分分析的基本理论
由于可以任意地对原始变量进行上述线性变换， 由不同的线性变换得到的综合变量 的统Y计特性也 不尽相同。因此为了取得较好的效果，我们总是希 望 Yi 的ui方'X差尽可能大且各 之间Y i 互相独立， 由于
主成分分析
•§1 主成分分析的基本思想与理论 •§2 主成分分析的几何意义 •§3 总体主成分及其性质 •§4 样本主成分的导出 •§5 有关问题的讨论 •§6 主成分分析步骤及框图 •§7 主成分分析的上机实现
2019/11/20
1
主成分分析
主成分分析（principal components analysis）也称主分量 分析，是由霍特林（Hotelling）于1933年首先提出的。主成 分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下把多个 指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成 的综合指标称之为主成分，其中每个主成分都是原始变量的 线性组合，且各个主成分之间互不相关，这就使得主成分比 原始变量具有某些更优越的性能。这样在研究复杂问题时就 可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更 容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时 使问题得到简化，提高分析效率。本章主要介绍主成分分析 的基本理论和方法、主成分分析的计算步骤及主成分分析的 上机实现。
μ 0 上式有如下展开形式：
1 1 2 X 1 1 22 X 1 1 X 2 2 X 2 2 2 d2
Y1 u11X1 u12X2 u1p Xp Y2 u21X1 u22X2 u2p Xp Yp up1X1 up2X2 uppXp
(5.1)
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§1.2 主成分分析的基本理论
由于可以任意地对原始变量进行上述线性变换， 由不同的线性变换得到的综合变量 的统Y计特性也 不尽相同。因此为了取得较好的效果，我们总是希 望 Yi 的ui方'X差尽可能大且各 之间Y i 互相独立， 由于
主成分分析
•§1 主成分分析的基本思想与理论 •§2 主成分分析的几何意义 •§3 总体主成分及其性质 •§4 样本主成分的导出 •§5 有关问题的讨论 •§6 主成分分析步骤及框图 •§7 主成分分析的上机实现
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主成分分析
主成分分析（principal components analysis）也称主分量 分析，是由霍特林（Hotelling）于1933年首先提出的。主成 分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下把多个 指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成 的综合指标称之为主成分，其中每个主成分都是原始变量的 线性组合，且各个主成分之间互不相关，这就使得主成分比 原始变量具有某些更优越的性能。这样在研究复杂问题时就 可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更 容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时 使问题得到简化，提高分析效率。本章主要介绍主成分分析 的基本理论和方法、主成分分析的计算步骤及主成分分析的 上机实现。
第五讲-主成分分析
Y1 T1X 。
第二主成分为，满足 T2T2 1 ，且 Cov(Y2 , Y1 ) Cov(T2X, T1X) 0 ， 使得 D(Y2 ) T2ΣT2 达到最大的 Y2 T2 X 。 一般情形，第 k 主成分为，满足 TkTk 1， 且 Cov(Yk , Yi ) Cov(TkX, TiX) 0 （ i k ） ，使得 D(Yk ) TkΣTk 达 到最大的 Yk Tk X 。 （显然是一些求条件极值问题）
•• •• •• ••• •• • •• •
x1
平移、转坐标轴 主 成 分 分 析 的 几 何 解 释
F2
x2
•
F1
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即有 iTiTi 0 ，那么， i 0 （ i 1, 2, k 1 ） 。从而
(Σ I)Tk 0
(6.15) (6.16)
而且
对于 X 的协差阵 Σ 的特征根 1 2 为 Tk 。
TkΣTk
p 0 。由(6.15)和(6.16)
知道 Yk 的最大方差值为第 k 大特征根 k ， 其相应的单位化的特征向量
(6.12)
这样说明， 如果 X 的协差阵 Σ 的特征根为 1 2
p 0 。
化的特征向量为 T2 。
由(6.12)知道 Y2 的最大方差值为第二大特征根 2 ，其相应的单位 针 对 一 般 情 形 ， 第 k 主 成 分 应 该 是 在 TkTk 1 且 TkTi 0 或
第五章 主成分分析课件
0
p
性质2 主成分的总方差等于原始变量的总方
差， p
p
i
2 i
i 1
i 1
性质3 主成分 Yk 与原始变量 X i 的相关系数
Yk , X i
k i
uki, k, i 1,2,
,
p
为并称其为主成分载
荷。
§5.3 主成分的选取
称
k
k i
为第
i 个主成分的方差贡献率
m
称
m
i
i
i1 p
X1, X 2 , , X p 的线性组合中方差最大者（即
cov Yp ,Yi 0,i p, DYp 最大）。
其中： DYi DUiX UiDX Ui Ui Ui
DX 协方差阵
cov Yi ,Yj cov U iX ,U j X U i covX , X U j U i U j
Y1,Y2 , ,Yp 分别称为原始变量 X 的第 一主成分、第二主成分、…、第 p 主成分。
二、主成分的推导
第一主成分：构造目标函数
1U1, U1 U1 U1U1 1
对 U1 求导
1
U 1
2 U1
2U1
0
得 U1 U1 即 U 为正交阵， 为 Y1 的方差值，
若 的特征根为 1 2 p 0，Y1的最大 方差值为 1，相应的单位化特征向量为 U1 。
u22 X 2
u2p X p
Yp u p1 X1 u p2 X 2 u pp X p
其中
即 Y U X
uk21 uk22 uk2p 1,即UkUk 1, k 1,2, , p
原则：
1、Yi 与 Y j 不相关 i j,i, j 1,2, , p 2、 Y1 是 X1, X 2 , , X p 的线性组合中方差最大者 （即 DY1 最大）；Y2 与 Y1不相关的 X1, X 2 , , X p 的线性组合中方差最大者（即 covY1,Y2 0, DY2 最大）；…；Y p 与 Y1,Y2 , ,Yp1 都不相关的
主成分分析简介课件
取值在0.5 ~ 1之间
4、如未收敛则回到步骤3
注：其中 k和 k 是两个待调整的参数；
函数g(y)的选择见参考文献[2]P68
逐次提取独立成分
—投影追踪方法
度量非正态性（非高斯性）：
可以认为，两个独立变量之和形成的分布比两 个原始变量中的任意一个都更接近于正态分布
由于Z是Y的线性组合，只要找到一个度 量非正态性的量，使达到最大，就可以 使Y中各分量独立性最大
所找到的矩阵起到将 Qz (M ) 对角化的作 用
基于四阶累积量的JADE法
步骤： 1、取一组矩阵 M i ， 由定义分别求 Qz (M i ) （矩阵的简单取法：取N*N个矩阵，分别
只有一个元素为1，或取一组对称/反对 称的基矩阵，引自[2]P53） 通过优化求解U，使各 Qz (M i ) 联合 对角化（使 (M i ) 中非对角元素的平方 和最小）
此法的矩阵集合可取为 Z [K ijkliikk ijkl (Z )]2
分解结果：
Aˆ W U , Bˆ Aˆ 1 U W , Y BX U WX
非线性PCA的自适应算法
以均方误差最小作为收敛判据， 非线性PCA引入非线性因素等效于考虑高
阶矩 算法具体步骤为： 1、对观测值求均值，用递归法求白化阵
—投影追踪方法
5、归一化： ui (k 1) ui (k 1) 2
ui (k 1)
如果 u p 未收敛，回到步骤3；
令p加1，当p<=m时，回到步骤3。
参考文献
[1] A.Hyvarinen等著，周宗潭等译，独 立成分分析，北京：电子工业出版社， 2007年
[2]杨福生、洪波著，独立分量分析的原 理与应用，北京：清华大学出版社， 2006年
4、如未收敛则回到步骤3
注：其中 k和 k 是两个待调整的参数；
函数g(y)的选择见参考文献[2]P68
逐次提取独立成分
—投影追踪方法
度量非正态性（非高斯性）：
可以认为，两个独立变量之和形成的分布比两 个原始变量中的任意一个都更接近于正态分布
由于Z是Y的线性组合，只要找到一个度 量非正态性的量，使达到最大，就可以 使Y中各分量独立性最大
所找到的矩阵起到将 Qz (M ) 对角化的作 用
基于四阶累积量的JADE法
步骤： 1、取一组矩阵 M i ， 由定义分别求 Qz (M i ) （矩阵的简单取法：取N*N个矩阵，分别
只有一个元素为1，或取一组对称/反对 称的基矩阵，引自[2]P53） 通过优化求解U，使各 Qz (M i ) 联合 对角化（使 (M i ) 中非对角元素的平方 和最小）
此法的矩阵集合可取为 Z [K ijkliikk ijkl (Z )]2
分解结果：
Aˆ W U , Bˆ Aˆ 1 U W , Y BX U WX
非线性PCA的自适应算法
以均方误差最小作为收敛判据， 非线性PCA引入非线性因素等效于考虑高
阶矩 算法具体步骤为： 1、对观测值求均值，用递归法求白化阵
—投影追踪方法
5、归一化： ui (k 1) ui (k 1) 2
ui (k 1)
如果 u p 未收敛，回到步骤3；
令p加1，当p<=m时，回到步骤3。
参考文献
[1] A.Hyvarinen等著，周宗潭等译，独 立成分分析，北京：电子工业出版社， 2007年
[2]杨福生、洪波著，独立分量分析的原 理与应用，北京：清华大学出版社， 2006年
《主成分分析法》课件
目的
主成分分析法的目的是减少数据的维 度，同时保留数据中的主要信息，以 便更好地理解和分析数据。
历史与发展
1901年
由英国统计学家Karl Pearson提出主成分的概 念。
1933年
美国统计学家Harold Hotelling将主成分分析 法应用于心理学和教育学领域。
20世纪70年代
随着计算机技术的发展，主成分分析法在各个领域得到广泛应用。
04
主成分分析法的步骤
数据标准化
总结词
消除量纲和数量级对分析的影响
详细描述
在进行主成分分析之前，需要对数据进行标准化处理，即将各指标的均值调整为0，标准差调整为1， 以消除不同量纲和数量级对分析的影响。
计算相关系数矩阵
总结词
衡量变量间的相关性
VS
详细描述
通过计算原变量之间的相关系数矩阵，可 以了解各变量之间的相关性。相关系数矩 阵中的元素表示各指标之间的相关系数， 用于衡量变量间的线性关系。
详细描述
市场细分是主成分分析法在市场营销领域中的重要应 用。通过对市场数据进行主成分分析，可以提取出影 响市场需求的共同因素，进而将市场划分为不同的子 市场。这种分析方法有助于企业识别不同子市场的需 求特点、消费行为和竞争状况，为制定针对性的营销 策略提供依据。
实例二：客户分类
要点一
总结词
利用主成分分析法对客户进行分类，有助于企业更好地了 解客户群体特征，提高客户满意度和忠诚度。
01
数学模型
主成分分析通过线性变换将原始 变量转换为彼此独立的主成分， 这种变换是线性的。
变换矩阵
02
03
特征向量
线性变换需要一个变换矩阵，该 矩阵由原始变量和主成分之间的 系数构成。
主成分分析法的目的是减少数据的维 度，同时保留数据中的主要信息，以 便更好地理解和分析数据。
历史与发展
1901年
由英国统计学家Karl Pearson提出主成分的概 念。
1933年
美国统计学家Harold Hotelling将主成分分析 法应用于心理学和教育学领域。
20世纪70年代
随着计算机技术的发展，主成分分析法在各个领域得到广泛应用。
04
主成分分析法的步骤
数据标准化
总结词
消除量纲和数量级对分析的影响
详细描述
在进行主成分分析之前，需要对数据进行标准化处理，即将各指标的均值调整为0，标准差调整为1， 以消除不同量纲和数量级对分析的影响。
计算相关系数矩阵
总结词
衡量变量间的相关性
VS
详细描述
通过计算原变量之间的相关系数矩阵，可 以了解各变量之间的相关性。相关系数矩 阵中的元素表示各指标之间的相关系数， 用于衡量变量间的线性关系。
详细描述
市场细分是主成分分析法在市场营销领域中的重要应 用。通过对市场数据进行主成分分析，可以提取出影 响市场需求的共同因素，进而将市场划分为不同的子 市场。这种分析方法有助于企业识别不同子市场的需 求特点、消费行为和竞争状况，为制定针对性的营销 策略提供依据。
实例二：客户分类
要点一
总结词
利用主成分分析法对客户进行分类，有助于企业更好地了 解客户群体特征，提高客户满意度和忠诚度。
01
数学模型
主成分分析通过线性变换将原始 变量转换为彼此独立的主成分， 这种变换是线性的。
变换矩阵
02
03
特征向量
线性变换需要一个变换矩阵，该 矩阵由原始变量和主成分之间的 系数构成。
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但是，对于取值范围相差不大或度量相同的指标建议从协方
差阵求解主成分。
二、主成分分析不要求数据来自正态总体 三主成分分析与重叠信息
（1）主成分分析方法适用于变量之间存在较强相关性的数据，如果原 始数据相关性较弱，运用主成分分析后不能起到很好的降维作用，即所 得到的各个主成分浓缩原始变量信息的能力差别不大，一般认为，当原 始数据大部分变量的相关系数都小于0.3时，运用主成分分析不会取到很 好的效果。 （2）若原始变量存在着多重共线性，主成分分析对重叠信息的剔除是 无能为力的 在进行主成分分析得出协方差阵或相关阵，发现最小特征根接近0时， 就要对初选的指标进行筛选。
差阵求得的主成分一般情况是不相同的。实际表明，这种差 异有时很大。我们认为，如果各指标之间的数量级相差悬殊， 特别是各指标有不同的物理量纲的话，较为合理的做法是使 用R代替∑。对于研究经济问题所涉及的变量单位大都不统 一，采用R代替∑后，可以看作是用标准化的数据做分析， 这样使得主成分有现实经济意义，不仅便于剖析实际问题， 又可以避免突出数值大的变量。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 特征根 3.1049 2.8974 0.9302 0.6421 0.3041 0.0866 0.0322 0.0024 方差贡献率% 38.8114 36.2180 11.6277 8.0265 3.8011 1.0825 0.4023 0.0305 累计贡献率% 38.8114 75.0294 86.6571 94.6836 98.4847 99.5672 99.9695 100.0000
一般来说，利用主成分分析得到的主成分与原始变量之间
的关系： （1）每一个主成分都是各原始变量的线性组合 （2）主成分的数目大大少于原始变量的数目 （3）主成分保留了原始变量绝大多数信息 （4）各主成分之间互不相关
我们知道，当一个变量只取一个数据时，这个变量（数据）
提供的信息量是非常有限的，当这个变量取一系列不同数据 时，我们可以从中读出最大值、最小值、平均数等信息。变 量的变异性越大，说明它提供的信息就更加充分，信息量就 越大。 主成分分析中的信息，就是指标的变异性，用标准差或方差 表示它。 主成分分析的数学模型是，设p个变量构成的p维随机向量为 X = （X1，…，Xp）′。对X作正交变换，令Y = T′X，其中T 为正交阵，要求Y的各分量是不相关的，并且Y的第一个分 量的方差是最大的，第二个分量的方差次之，……，等等。 为了保持信息不丢失，Y的各分量方差和与X的各分量方差 和相等。
主成分分析也称主分量分析，是由Hotelling于1933年首先提
出的。主成分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前 提下把多个指标转化为几个综合指标（主成分）的多元统计 方法
英国统计学家斯格特（scott）在1961年对157个英国城镇发
展水平进行调查时，原始测量的变量有57个。通过主成分分 析发现，只需5个新的综合变量（他们是原变量的线性组 合），就可以95%的精度表示原数据的变异情况，这样，对 问题的研究一下子从57维降到了5维。可以想象，在5维空间 对系统进行任何分析，都比在57维中更加快捷和有效。 另一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通（STONE） 在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929-1938年 各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素， 例如雇主补贴﹑消费资料和生产资料﹑纯公共支出﹑净增库 存﹑股息﹑利息和外贸平衡等。在进行主成分分析后，竟以 97.4%的精度，用3个新变量就取代了原17个变量。根据经 济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入﹑总收入 变化率和经济发展或衰退的趋势。这样，用3个综合变量取 代了原来的17个变量，问题得到了极大的简化。
图6.1 主成分的几何意义
如果我们将该坐标系按逆时针方向旋转某个角度 变成新坐
标系 y1Oy2 ， 这里 y1 是椭圆的长轴方向， y2 是椭圆的短轴方向。 旋转公式为 Y1 X 1 cos X 2 sin (6.1） Y2 X 1 sin X 2 cos 我们看到新变量 Y1 和 Y2 是原变量 X 1 和 X 2 的线性组合，它的 矩阵表示形 式为： Y1 cos Y sin 2
, Ym 的累计贡献率，累计贡献率表明 Y1 , , Ym 综
, X p 的能力。通常取 m ，使得累计贡献率达到一
个较高的百分数（如 85％以上） 。
第四节 主成分方法应用中应注 意的问题
一 实际应用中主成分分析的出发点
二 如何利用主成分分析进行综合评价
一、实际应用中主成分分析的出发点
这里我们需要进一步强调的是，从相关阵求得的主成分与协
Y1 T1X 。
第二主成分为，满足 T2T2 1 ，且 Cov(Y2 , Y1 ) Cov(T2X, T1X) 0 ， 使得 D(Y2 ) T2ΣT2 达到最大的 Y2 T2 X 。
一般情形，第 k 主成分为，满足 TkTk 1，
且 Cov(Yk , Yi ) Cov(TkX, TiX) 0 （ i k ） ，使得 D(Yk ) TkΣTk 达 到最大的 Yk Tk X 。
第二节 主成分的几何意义及数 学推导
一 主成分的几何意义
二 主成分的数学推导
一、主成分的几何意义
主成分分析数学模型中的正交变换，在几何上就是作一个坐
标旋转。因此，主成分分析在二维空间中有明显的几何意义。 假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1， X2），它们大致分布在一个椭圆内如图6.1所示。事实上， 散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这个方向就 把它看作椭圆的长轴方向。显然，在坐标系x1Ox2中，单独 看这n个点的分量X1和X2，它们沿着x1方向和x2方向都具有 较大的离散性，其离散的程度可以分别用的X1方差和X2的方 差测定。如果仅考虑X1或X2中的任何一个分量，那么包含在 另一分量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个分量不是 “降维”的有效办法。
பைடு நூலகம்第六章 主成分分析
第一节 第二节 引言 主成分的几何意义及数学 推导
第三节
第四节 第五节
主成分的性质
主成分方法应用中应注意 的问题 实例分析与计算机实现
第一节 引言
在对某一事物进行实证研究时，为了更全面、准确地反应
事物的特征及其规律，人们往往要考虑与其相关的多个指标， 这样就产生了如下问题：一方面人们为了避免遗漏重要的信 息而考虑尽可能多的指标，另一方面考虑指标的增多增加了 问题的复杂性，同时不可避免地造成信息的大量重叠，这种 重叠有时会抹杀事物的真正特征与内在规律。
Cov(Yi ,Yk ) Cov(TiX,TkX) TiCov(X, X)Tk Ti ΣTk i, k 1, 2, , m
这样，我们所要解决的问题为，在新的变量 Y1 ,
i 1, 2, 立的条件下， 求 Ti 使得 D(Yi ) Ti ΣTi ，
, Ym 相互独
第三节 主成分的性质
一 主成分的一般性质
二 主成分的方差贡献率
一、主成分的一般性质
性质 2 主成分的总方差等于原始变量的总方差。 性质 3 主成分 Yk 与原始变量 X i 的相关系数为
k (Yk , X i ) tki ii
并称之为因子负荷量（或因子载荷量） 。 性质 4
表6.1 某市工业部门13个行业8项指标
X1 冶金 电力 煤炭 化学 机器 建材 森工 食品 纺织 缝纫 皮革 造纸 文教 90342 4903 6735 49454 139190 12215 2372 11062 17111 1206 2150 5251 14341 X2 52455 1973 21139 36241 203505 16219 6572 23078 23907 3930 5704 6155 13203 X3 101091 2035 3767 81557 215898 10351 8103 54935 52108 6126 6200 10383 19396 X4 19272 10313 1780 22504 10609 6382 12329 23804 21796 15586 10870 16875 14691 X5 82 34.2 36.1 98.1 93.2 62.5 184.4 370.4 221.5 330.4 184.2 146.4 94.6 X6 16.1 7.1 8.2 25.9 12.6 8.7 22.2 41 21.5 29.5 12 27.5 17.8 X7 197435 592077 726396 348226 139572 145818 20921 65486 63806 1840 8913 78796 6354 X8 0.172 0.003 0.003 0.985 0.628 0.066 0.152 0.263 0.276 0.437 0.274 0.151 1.574
sin X 1 TX cos X 2
(6.2）
1
其中， T 为旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有 T T 或 TT I 。
经过这样的旋转之后， n个点在Y1轴上的离散程度最大， 变量Y1代表了原始数据绝大部分信息，这样，有时在研究时， 即使不考虑Y2也无损大局。因此，经过上述旋转变换就可以 把原始数据的信息集中到Y1轴上，对数据中包含的信息起到 了浓缩的作用。
(6.22）
2 （ k 1,2,, p ） 。 (Yk , X i ) ii k ， i 1
p
称
k k
k 1
p
k
为第 k 个主成分 Yk 的贡献率。 若只取 m( p) 个主成分，则称
m k
k 1
m
k 1
p
k
(6.24）
为主成分 Y1 , 合 X1 , X 2 ,
差阵求解主成分。
二、主成分分析不要求数据来自正态总体 三主成分分析与重叠信息
（1）主成分分析方法适用于变量之间存在较强相关性的数据，如果原 始数据相关性较弱，运用主成分分析后不能起到很好的降维作用，即所 得到的各个主成分浓缩原始变量信息的能力差别不大，一般认为，当原 始数据大部分变量的相关系数都小于0.3时，运用主成分分析不会取到很 好的效果。 （2）若原始变量存在着多重共线性，主成分分析对重叠信息的剔除是 无能为力的 在进行主成分分析得出协方差阵或相关阵，发现最小特征根接近0时， 就要对初选的指标进行筛选。
差阵求得的主成分一般情况是不相同的。实际表明，这种差 异有时很大。我们认为，如果各指标之间的数量级相差悬殊， 特别是各指标有不同的物理量纲的话，较为合理的做法是使 用R代替∑。对于研究经济问题所涉及的变量单位大都不统 一，采用R代替∑后，可以看作是用标准化的数据做分析， 这样使得主成分有现实经济意义，不仅便于剖析实际问题， 又可以避免突出数值大的变量。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 特征根 3.1049 2.8974 0.9302 0.6421 0.3041 0.0866 0.0322 0.0024 方差贡献率% 38.8114 36.2180 11.6277 8.0265 3.8011 1.0825 0.4023 0.0305 累计贡献率% 38.8114 75.0294 86.6571 94.6836 98.4847 99.5672 99.9695 100.0000
一般来说，利用主成分分析得到的主成分与原始变量之间
的关系： （1）每一个主成分都是各原始变量的线性组合 （2）主成分的数目大大少于原始变量的数目 （3）主成分保留了原始变量绝大多数信息 （4）各主成分之间互不相关
我们知道，当一个变量只取一个数据时，这个变量（数据）
提供的信息量是非常有限的，当这个变量取一系列不同数据 时，我们可以从中读出最大值、最小值、平均数等信息。变 量的变异性越大，说明它提供的信息就更加充分，信息量就 越大。 主成分分析中的信息，就是指标的变异性，用标准差或方差 表示它。 主成分分析的数学模型是，设p个变量构成的p维随机向量为 X = （X1，…，Xp）′。对X作正交变换，令Y = T′X，其中T 为正交阵，要求Y的各分量是不相关的，并且Y的第一个分 量的方差是最大的，第二个分量的方差次之，……，等等。 为了保持信息不丢失，Y的各分量方差和与X的各分量方差 和相等。
主成分分析也称主分量分析，是由Hotelling于1933年首先提
出的。主成分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前 提下把多个指标转化为几个综合指标（主成分）的多元统计 方法
英国统计学家斯格特（scott）在1961年对157个英国城镇发
展水平进行调查时，原始测量的变量有57个。通过主成分分 析发现，只需5个新的综合变量（他们是原变量的线性组 合），就可以95%的精度表示原数据的变异情况，这样，对 问题的研究一下子从57维降到了5维。可以想象，在5维空间 对系统进行任何分析，都比在57维中更加快捷和有效。 另一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通（STONE） 在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929-1938年 各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素， 例如雇主补贴﹑消费资料和生产资料﹑纯公共支出﹑净增库 存﹑股息﹑利息和外贸平衡等。在进行主成分分析后，竟以 97.4%的精度，用3个新变量就取代了原17个变量。根据经 济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入﹑总收入 变化率和经济发展或衰退的趋势。这样，用3个综合变量取 代了原来的17个变量，问题得到了极大的简化。
图6.1 主成分的几何意义
如果我们将该坐标系按逆时针方向旋转某个角度 变成新坐
标系 y1Oy2 ， 这里 y1 是椭圆的长轴方向， y2 是椭圆的短轴方向。 旋转公式为 Y1 X 1 cos X 2 sin (6.1） Y2 X 1 sin X 2 cos 我们看到新变量 Y1 和 Y2 是原变量 X 1 和 X 2 的线性组合，它的 矩阵表示形 式为： Y1 cos Y sin 2
, Ym 的累计贡献率，累计贡献率表明 Y1 , , Ym 综
, X p 的能力。通常取 m ，使得累计贡献率达到一
个较高的百分数（如 85％以上） 。
第四节 主成分方法应用中应注 意的问题
一 实际应用中主成分分析的出发点
二 如何利用主成分分析进行综合评价
一、实际应用中主成分分析的出发点
这里我们需要进一步强调的是，从相关阵求得的主成分与协
Y1 T1X 。
第二主成分为，满足 T2T2 1 ，且 Cov(Y2 , Y1 ) Cov(T2X, T1X) 0 ， 使得 D(Y2 ) T2ΣT2 达到最大的 Y2 T2 X 。
一般情形，第 k 主成分为，满足 TkTk 1，
且 Cov(Yk , Yi ) Cov(TkX, TiX) 0 （ i k ） ，使得 D(Yk ) TkΣTk 达 到最大的 Yk Tk X 。
第二节 主成分的几何意义及数 学推导
一 主成分的几何意义
二 主成分的数学推导
一、主成分的几何意义
主成分分析数学模型中的正交变换，在几何上就是作一个坐
标旋转。因此，主成分分析在二维空间中有明显的几何意义。 假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1， X2），它们大致分布在一个椭圆内如图6.1所示。事实上， 散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这个方向就 把它看作椭圆的长轴方向。显然，在坐标系x1Ox2中，单独 看这n个点的分量X1和X2，它们沿着x1方向和x2方向都具有 较大的离散性，其离散的程度可以分别用的X1方差和X2的方 差测定。如果仅考虑X1或X2中的任何一个分量，那么包含在 另一分量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个分量不是 “降维”的有效办法。
பைடு நூலகம்第六章 主成分分析
第一节 第二节 引言 主成分的几何意义及数学 推导
第三节
第四节 第五节
主成分的性质
主成分方法应用中应注意 的问题 实例分析与计算机实现
第一节 引言
在对某一事物进行实证研究时，为了更全面、准确地反应
事物的特征及其规律，人们往往要考虑与其相关的多个指标， 这样就产生了如下问题：一方面人们为了避免遗漏重要的信 息而考虑尽可能多的指标，另一方面考虑指标的增多增加了 问题的复杂性，同时不可避免地造成信息的大量重叠，这种 重叠有时会抹杀事物的真正特征与内在规律。
Cov(Yi ,Yk ) Cov(TiX,TkX) TiCov(X, X)Tk Ti ΣTk i, k 1, 2, , m
这样，我们所要解决的问题为，在新的变量 Y1 ,
i 1, 2, 立的条件下， 求 Ti 使得 D(Yi ) Ti ΣTi ，
, Ym 相互独
第三节 主成分的性质
一 主成分的一般性质
二 主成分的方差贡献率
一、主成分的一般性质
性质 2 主成分的总方差等于原始变量的总方差。 性质 3 主成分 Yk 与原始变量 X i 的相关系数为
k (Yk , X i ) tki ii
并称之为因子负荷量（或因子载荷量） 。 性质 4
表6.1 某市工业部门13个行业8项指标
X1 冶金 电力 煤炭 化学 机器 建材 森工 食品 纺织 缝纫 皮革 造纸 文教 90342 4903 6735 49454 139190 12215 2372 11062 17111 1206 2150 5251 14341 X2 52455 1973 21139 36241 203505 16219 6572 23078 23907 3930 5704 6155 13203 X3 101091 2035 3767 81557 215898 10351 8103 54935 52108 6126 6200 10383 19396 X4 19272 10313 1780 22504 10609 6382 12329 23804 21796 15586 10870 16875 14691 X5 82 34.2 36.1 98.1 93.2 62.5 184.4 370.4 221.5 330.4 184.2 146.4 94.6 X6 16.1 7.1 8.2 25.9 12.6 8.7 22.2 41 21.5 29.5 12 27.5 17.8 X7 197435 592077 726396 348226 139572 145818 20921 65486 63806 1840 8913 78796 6354 X8 0.172 0.003 0.003 0.985 0.628 0.066 0.152 0.263 0.276 0.437 0.274 0.151 1.574
sin X 1 TX cos X 2
(6.2）
1
其中， T 为旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有 T T 或 TT I 。
经过这样的旋转之后， n个点在Y1轴上的离散程度最大， 变量Y1代表了原始数据绝大部分信息，这样，有时在研究时， 即使不考虑Y2也无损大局。因此，经过上述旋转变换就可以 把原始数据的信息集中到Y1轴上，对数据中包含的信息起到 了浓缩的作用。
(6.22）
2 （ k 1,2,, p ） 。 (Yk , X i ) ii k ， i 1
p
称
k k
k 1
p
k
为第 k 个主成分 Yk 的贡献率。 若只取 m( p) 个主成分，则称
m k
k 1
m
k 1
p
k
(6.24）
为主成分 Y1 , 合 X1 , X 2 ,